高二數(shù)學(xué)不等式證明二人教版【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：不等式證明二二.重點(diǎn)、難點(diǎn)解析：不等式的其它證明方法反證法作出與命題結(jié)論相反的假設(shè)在假設(shè)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過合理的推理，導(dǎo)出矛盾肯定命題的正確性放縮法利用不等式的傳遞性，適當(dāng)放縮，對(duì)正分?jǐn)?shù)常用分子變大，整體變大，分母變大整體變小，進(jìn)行放縮。函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得到不等式。換元法在已知出現(xiàn)x2+y2=1,x2+y2<1時(shí)，經(jīng)常采用三角代換。判別式法構(gòu)造二次函數(shù)，或?qū)⒉坏仁秸頌槎魏瘮?shù)，利用判別式，得到不等式?！镜湫屠}】［例1］已知a、b、c&(0,1),求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，不能均大于丄。4證明：假設(shè)(1-a)-b，(1-b)-c，(1-c)-a均大于丄4???(1-a),b均為正???(1-""b'斗(1-a)?b>：-二-2\42

同理上￥二＞＜□)二＞占_2(1―c)+a>122.(1—a)+b(1—b)+c(1—c)+a'?++111同理上￥二＞＜□)二＞占_2(1―c)+a>122.(1—a)+b(1—b)+c(1—c)+a'?++111>+—+—233?.--不正確22???假設(shè)不成立原命題正確[例2]neN*,求證：-1)<1+吉++A+——<n—1。vn證明：反縮法：盤?無+岳、訐+\口_冷k—'k—1)22———>___2("+1-岳)1_vk\：k+pkk+y：k+1???1+丄+A+丄<1+2(邁—1)+2G;3-邁)+A+2(\萬-Jn—1)2n=2、：n—11+丄+A

v'2+丄>2(邁—1)+2^/3-冋+A+2Gn+1-栃)v'n二2(、.n+1—1)[例3]a、beR，求證：6a36a+1+16證明：函數(shù)法：左=6a_162a+2+166a+162(a+1)+16a+1+6a+1111<—?_-1-62*112右=b2-b+5=1(b--)3632112+>-1212[例4]a<1,b<1，求證:ab+、;(1—a2)(1—b2)W1。證明：令a二sinaJ豐kn+—2b=sinp兀pHk兀+keZ2左=sinasinp+|cosa-cosp=|sinasinp土cosacosp|=|cos(a±p)<1ab+J(1—a2)(1-b2)<1[例5]A、B、C為AABC的內(nèi)角，x、y、z為任意實(shí)數(shù),求證：x2+y2+z2>2yzcosA+2xzcosB+2xycosC。證明：構(gòu)造函數(shù)，判別式法令f(x)=x2+y2+z2—(2yzcosA+2xzcosB+2xycosC)=x2—2-x(zcosB+ycosC)+(y2+z2—2yzcosA)為開口向上的拋物線A=4(zcosB+ycosC)2—4(y2+z2—2yzcosA)=4(—z2sin2B—y2sin2C+2yzcosBcosC+2yzcosA)=—4[z2sin2B+y2sin2C—2yzcosBcosC+2yz(cosBcosC—sinBsinC)]=—4[z2sin2B+y2sin2C—2yzsinBsinC]=—4(zsinB—ycosC)2<0無論y、z為何值，A<0???xeRf(x)>0命題真[例6]a、b、ceR,a+b+c>0,ab+be+ca>0,a-b-c>0,求證：a、b、c均為正數(shù)。證明：反證法：假設(shè)a、b、c不均為正數(shù)又a-b-c>0a、b、c兩負(fù)一正不妨設(shè)a<0,b<0,c>0又a+b+c>0??c>—(a+b)>0同乘以(a+b)??c(a+b)<—(a+b)2即ac+bc+ab<—(a2+ab+b2)<0，與已矢口ab+bc+ca>0矛盾???假設(shè)不成立???a、b、c均為正數(shù)[例7]求證：(x2+y2+z2)3>(x+y+z)2(x2+y2+z2—xy—yz—zx)。11證明：*.*(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx設(shè)x+y+z二pxy+yz+zx二q原不等式為：(p2-2q)3>p2(p2—2q—q)2左一右二(p6—6p4q+12p2q2—8q3)—(p6—6p4q+9p2q2)=3p2q2—8q3二q2(3p2—8q)二q2-[3(p2—2q)—2q]二q2[3(x2+y2+z2)—2(xy+yz+zx)]二q2[(x2+y2+z2)+(x—y)2+(y—z)2+(z—x)2]>0模擬試題】1.x、ye（0，+g）且x+y1.x、yeB.x2+4x+4=(x+2)2>019xx2+4x+4=(x+2)2>019x2+6x+1=(3x+1)2>07.證明：2.a豐be(0，+g)則(abk+akb)—(ak+1+bk+1)的符號(hào)為(A.恒正B.恒負(fù)C.與a、b有關(guān)D.與k奇偶有關(guān)3.x、ye（0，+g），a=,b=+，貝Ua、b關(guān)系為1+x+y1+x1+y'4.a、a+2b二3，則2a+22b的最小值為5.a、b、c、de（0，+g），求證：6.求證：—4<x2—2x—3<12x2+2x+17.求證：1<x2—3x+4<77x2+3x+48.，aAae(2nabcS=+++a+b+db+c+ac+d+bd+a+c0，+g），求證對(duì)任意neN*(a+a+A+a)2<n(a2+a2+A12n12+a2)。n試題答案1.B2.B3.a<b4.4.25.證明：a,b,c,d>0abcd.?S=+++a+b+db+c+ac+d+bd+a+c

abcd+++——a+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+dabcd

+++

a+b+db+c+ac+d+bd+a+cabcd+++a+ba+bc+dc+d<26.證明：原不等式o<2x原不等式o<2x2+2x+1

xI2****7—2x—3<1>—4Ix2—2x—3<2x2+2x+1

o[x2—2x—3>—4(2x2+2x+1)=f=f(x)x=0y=0=(ax+1)2+A+(ax+1)2>01n又???y=f(x)二次函數(shù)開口向上???A<0即(a+a+A+a)2<n(a2+A+a2)12n1nx2一3x+4x2+3x