考察典型非線性系統(tǒng)通向混沌的途徑一混沌簡(jiǎn)介混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性一一不可重復(fù)、不可預(yù)測(cè)，這就是混沌現(xiàn)象。進(jìn)一步研究表明，混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。在非線性科學(xué)中，混沌現(xiàn)象指的是一種確定的但不可預(yù)測(cè)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。它的外在表現(xiàn)和純粹的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)很相似，即都不可預(yù)測(cè)。但和隨機(jī)運(yùn)動(dòng)不同的是，混沌運(yùn)動(dòng)在動(dòng)力學(xué)上是確定的，它的不可預(yù)測(cè)性是來源于運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定性?；蛘哒f混沌系統(tǒng)對(duì)無限小的初值變動(dòng)和微繞也具于敏感性，無論多小的擾動(dòng)在長(zhǎng)時(shí)間以后，也會(huì)使系統(tǒng)徹底偏離原來的演化方向。二通向混沌的途徑可由非線性動(dòng)力學(xué)方程求解通向考察混沌的道路，或者由非線性時(shí)間序列相空間重建方法通向考察混沌道路。具體方法如下：1倍周期分岔進(jìn)入混沌是一種典型的混沌產(chǎn)生途徑。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變化的周期行為是一種有序行為，但在一定的條件下，系統(tǒng)經(jīng)過周期加倍，會(huì)逐步喪失周期行為而進(jìn)入混沌。設(shè)系統(tǒng)有參數(shù)u，只考慮單參數(shù)并不失一般性。當(dāng)系統(tǒng)有多個(gè)參數(shù)時(shí)，可以設(shè)定其余參數(shù)而讓其中一個(gè)變化。如果u=uo時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)有周期T，隨著u變化，至血=氣時(shí)，穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的周期變?yōu)?T，這種運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的突然改變稱為倍周期分叉。一般的，u=u時(shí)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的周期為2m?mT，則u=um+i時(shí)發(fā)生倍周期分叉使系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷?m+「Y。由于周期不斷加倍，最后變?yōu)橹芷跓o窮大的運(yùn)動(dòng)，也就是非周期運(yùn)動(dòng)。從龐加萊映射可觀察到：1個(gè)點(diǎn)變?yōu)?個(gè)點(diǎn),2個(gè)點(diǎn)變?yōu)?個(gè)點(diǎn)等等，隨著倍周期分又的不斷進(jìn)行，最終變?yōu)闊o窮點(diǎn)集，周期運(yùn)動(dòng)相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為混沌運(yùn)動(dòng)。值得注意的是，倍周期分叉值u所構(gòu)成無窮序列｛ui｝的差商極限是一個(gè)常數(shù)，而且多種不同的系統(tǒng)可能有相同的常數(shù)，因而被稱作普適常數(shù)。普適常數(shù)的存在反映了倍周期分叉產(chǎn)生混沌途徑的特點(diǎn)。2陣發(fā)性是又一種典型的混沌產(chǎn)生途徑。這里的陣發(fā)性是指系統(tǒng)較長(zhǎng)時(shí)間尺度的規(guī)則運(yùn)動(dòng)和較短時(shí)間尺度的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)交替變化現(xiàn)象。若振動(dòng)系統(tǒng)在特定參數(shù)下呈現(xiàn)陣發(fā)性，隨著參數(shù)的變化，陣發(fā)性中無規(guī)則運(yùn)動(dòng)突發(fā)得越來越頻繁，系統(tǒng)由周期振動(dòng)轉(zhuǎn)化為混沌振動(dòng)。伴隨產(chǎn)生混沌的陣發(fā)性途徑也具有普適特性。3準(zhǔn)周期環(huán)面破裂也是一種典型的混沌產(chǎn)生途徑。初始處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)當(dāng)參數(shù)變化通過某一臨界值后可能由平衡轉(zhuǎn)化為周期運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的突變即為霍普夫分叉。參數(shù)繼續(xù)變化，系統(tǒng)再經(jīng)歷分叉而出現(xiàn)耦合的極限環(huán)而成為環(huán)面。若兩個(gè)極限環(huán)代表的周期運(yùn)動(dòng)的頻率不可有理通約，則系統(tǒng)做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。三典型例子Lorenz方程：dx/dt=-a(x-y)dy/dt=-xz+cx-ydz/dt=xy-bz取a=10，c=28，b=8/3,MATLAB程序編輯：functiondXYZ=lorfun(t,XYZ)X=XYZ(1)Y=XYZ(2)Z=XYZ(3)dX=10*(Y-X)dY=28*X-Y-X*ZdZ=-8/3*Z+X*YdXYZ=[dX;dY;dZ]取初值x=1.0,y=1.0,z=2.0,編程：XYZ0=[1.0;1.0;2.0]T=[0100][t,XYZ]=ode45('lorfun',T,XYZ0)X=XYZ(:,1)Y=XYZ(:,2)Z=XYZ(:,3)plot3(X,Y,Z)holdonxlabel('x')ylabel('y')zlabel('z')title('StrangAttactor')運(yùn)行結(jié)果：時(shí)間序列：X-Y-Z三維圖像:StrangAttactor改變初值：xi=1.0,yi=1.0,zi=2.00001運(yùn)行結(jié)果：時(shí)間序列：

兩次運(yùn)行結(jié)果對(duì)比：紅色為Zo=2.0,藍(lán)色為Z1=2.0001-JU-2UY從上述圖像可以看出混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)初始條件的強(qiáng)烈敏感性。反映了“蝴蝶效應(yīng)”（1979年12月，洛倫茲在華盛頓的美國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)翅膀，有可能會(huì)在美國(guó)的德克薩斯引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)。他的演講和結(jié)論給人們留下了極其深刻的印象。從此以后，所謂“蝴蝶效應(yīng)”之說就不脛而走，名聲遠(yuǎn)揚(yáng)