分析力學(xué)基礎(chǔ)第1頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月自由度和廣義坐標(biāo)是分析力學(xué)最基本的概念.虛位移原理的廣義坐標(biāo)描述便是:對(duì)應(yīng)于各廣義坐標(biāo)的廣義力分別為零是系統(tǒng)靜止平衡的充要條件.虛位移原理也稱靜力學(xué)普遍方程.虛位移原理與達(dá)朗伯原理的結(jié)合便得到動(dòng)力學(xué)普遍方程.動(dòng)力學(xué)普遍方程的廣義坐標(biāo)表達(dá)可得到拉格朗日方程.確切地說(shuō)是第二類拉格朗日方程.它是完整約束下的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程通式.第2頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§3–1自由度與廣義坐標(biāo)自由度:獨(dú)立的虛位移的個(gè)數(shù).廣義坐標(biāo):確定質(zhì)點(diǎn)系空間位置的獨(dú)立變量.★:在完整約束下,自由度的個(gè)數(shù)與廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)相等.完整約束下,若系統(tǒng)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),s個(gè)約束方程, 則自由度N=3n–s用直角坐標(biāo)系下的投影表達(dá)為:第3頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.廣義力.廣義力的定義須用數(shù)學(xué)式表達(dá).這里要說(shuō)的是:廣義力是質(zhì)點(diǎn)系中一群力和力偶的組合.它是分析力學(xué)中的一個(gè)基本概念.它與廣義坐標(biāo)直接相關(guān),不同的的廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著不同的廣義力.稱Qk為系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qk的廣義力.(k=1、2、3……N)對(duì)于完整的理想約束下的力學(xué)系統(tǒng),質(zhì)點(diǎn)系的虛功表達(dá)可作如下的演變:上式中令廣義力的求法:(1)在直角坐標(biāo)系下(2)虛功法:(k=1、2、3……N)則第4頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月xyabAOB例一(參見(jiàn)書上例17–6)雙擺桿系統(tǒng)如圖示.OA=a,AB=b,受已知力如圖示.選廣義坐標(biāo)φ1和φ2,

試求廣義力.

解:第5頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月xyabAOBxyabAOB第6頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§3–2以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件由虛位移原理:及Qk為系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qk的廣義力.(k=1、2、3……N)上式中令所以,由于各廣義坐標(biāo)是互相獨(dú)立的,而虛位移是不能為零的.因而有:即是:如果質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)平衡,則各廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力分別為零.第7頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例二.平行四桿機(jī)構(gòu),尺寸a、b、l及力P、F均為已知.求:平衡時(shí)α=?

β=?lPablFαββααxyACDB解:這是一個(gè)雙自由度的力學(xué)系統(tǒng).選廣義坐標(biāo)α、β.(α、β分別為與水平線的夾角).由本題的特點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,求出有關(guān)的虛位移.(不作功的虛位移不必求出).

由α、β的獨(dú)立性及δα≠0、δβ≠0必有:第8頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月lPablFαββααxyACDB注意前面這兩行虛位移原理方程的展開(kāi)式:廣義力Qα廣義力Qβ即是:上式是兩個(gè)自由度力學(xué)系統(tǒng)的虛位移原理用廣義坐標(biāo)的表達(dá)式.如果一個(gè)有N個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng),則虛位移原理的廣義坐標(biāo)的表達(dá)式為:對(duì)比例題的結(jié)果,不難理解這樣一個(gè)結(jié)論:對(duì)于完整理想約束的力學(xué)系統(tǒng),其靜止平衡的充要條件是:對(duì)應(yīng)于每一個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力分別為零.如果廣義力不為零,質(zhì)點(diǎn)系必然運(yùn)動(dòng).描述其運(yùn)動(dòng),我們可用后面將要講到的拉格朗日方程.第9頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解:系統(tǒng)有兩個(gè)自由度,選廣義坐標(biāo)x1和x2.習(xí)題選解:習(xí)17–15(P275)圖示系統(tǒng)中,重物P3,傾角,皆為已知.不計(jì)摩 擦,忽略滑輪和繩子的質(zhì)量.求平衡時(shí),重物P1和P2的大小.x1x2x3P1P3P2

θβ第10頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)17–17(P276)桿系在鉛垂面內(nèi)平衡,AB=BC=l,CD=DE,且AB,CE為水 平,CB為鉛垂.均質(zhì)桿CE與剛度為k1的彈簧相連,重為P的均質(zhì)桿AB 的左端A處裝有一剛度為k2的螺旋彈簧.BC桿上作用有線性分布載荷, 其最大的集度為q.BC桿的重量不計(jì).求此時(shí)水平彈簧的變形量和 螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)角.解:兩個(gè)自由度.選廣義坐標(biāo)φ(螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)角)和Δ(線彈簧的伸長(zhǎng)量)ABCEDk1k2qP由廣義坐標(biāo)的虛位移原理:對(duì)本題有:第11頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理:由虛位移原理:在理想約束下:即是:(1)式稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程.若用直角坐標(biāo)分量來(lái)表達(dá)則為:§3–3動(dòng)力學(xué)普遍方程(2)第12頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例一:(書上例18–2)兩個(gè)半徑為r的均質(zhì)輪質(zhì)量皆為m1,對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量各 為J.連桿的質(zhì)量為m2,其兩端與兩輪的輪心以鉸鏈相連.設(shè)圓輪在傾角為 的斜面上作純滾動(dòng),求輪心的加速度.m2gm1gm1g解:設(shè)輪心的加速度為a.系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析及達(dá)朗伯慣性力簡(jiǎn)化如圖所示.ax由動(dòng)力學(xué)普遍方程:第13頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例二(書上例18–3)圖中二均質(zhì)圓柱輪質(zhì)量皆為m,半徑皆為r.輪I繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng), 輪II上繞有細(xì)繩且細(xì)繩纏于輪I上.二輪在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng).若細(xì)繩的直線部分為鉛垂時(shí),求輪II的中心C的加速度.IIIOCmg解:運(yùn)動(dòng)分析及達(dá)朗伯慣性力簡(jiǎn)化如圖.根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍定理,則有:代入上式中可得:(接后頁(yè))第14頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月IIIOCmg第15頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§3–4拉格朗日方程(第二類)預(yù)備知識(shí):設(shè)一個(gè)完整約束的力學(xué)系統(tǒng)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)(i=1、2、3……n)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間的位置由N個(gè)廣義坐標(biāo)和時(shí)間唯一確定.即:于是,每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移是:●兩個(gè)經(jīng)典公式：證明:第16頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月又:對(duì)比可得:根據(jù)上式,下面有一個(gè)關(guān)系式在推證過(guò)程中要用到:第17頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在<虛位移原理>一章里,有一個(gè)關(guān)系式也要用到.下面便是講義里的一段:稱Qk為系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qk的廣義力.(k=1、2、3……N)對(duì)于完整的理想約束下的力學(xué)系統(tǒng),質(zhì)點(diǎn)系的虛功表達(dá)可作如下的演變:上式中令則第18頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月推證過(guò)程如下:由δqk的獨(dú)立性,則分別有:這就是著名的第二類拉格朗日方程.它是完整約束下的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)或剛體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的通式.系統(tǒng)有幾個(gè)自由度,就有幾個(gè)獨(dú)立的微分方程式.第19頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月AOmgmg例一.均質(zhì)圓環(huán)的半徑為R,質(zhì)量為m,可在水平面上只滾不滑.有一質(zhì)點(diǎn)A固結(jié) 在輪緣上,質(zhì)量也是m.初始平衡靜止.求:受初干擾后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程.OmgARmgOmgAR解:受干擾后,圓環(huán)在水平面上往復(fù)滾動(dòng).一個(gè)自由度,選φ角為廣義坐標(biāo).第20頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例二.(習(xí)18–6)三個(gè)齒輪的質(zhì)量分別為m1、m2、m3，相互嚙合.各輪可視為均 質(zhì)圓盤,其半徑分別為r1、r2、r3.三個(gè)齒輪上分別作用力偶M1、M2、M3, 其轉(zhuǎn)向如圖示.求齒輪1的角加速度.M2M3123O1O2O3M1解:系統(tǒng)為一個(gè)自由度選1輪的轉(zhuǎn)角φ1為廣義坐標(biāo).由定軸輪系的傳動(dòng)比可知:第21頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解答后的提示:此題求的是1輪的角加速度,似乎不是微分方程.其實(shí),最簡(jiǎn)單的微分方程就是相關(guān)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)與力、力偶的關(guān)系.(力、力偶或?yàn)槌Ａ炕驗(yàn)橄嚓P(guān)坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù)).可以證明:如果一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式僅為廣義速度的齊次函數(shù),則可通過(guò)拉 格朗日方程求得各個(gè)物體的加速度.第22頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例三.求圖示力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程.(參見(jiàn)P162例17–6)yOxabAB

解:這是兩個(gè)自由度系統(tǒng),選廣義坐標(biāo)和求廣義力的工作已在上一章完成.第23頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月▲:勢(shì)力場(chǎng)下的拉格朗日方程在勢(shì)力場(chǎng)下,勢(shì)能是廣義坐標(biāo)的函數(shù).第24頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例四.(習(xí)18–4)解:一個(gè)自由度,選廣義坐標(biāo)θ.選A處水平面為勢(shì)能零點(diǎn).mgORθθlA第25頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例五.圖示均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m,半徑為r;均質(zhì)桿質(zhì)量亦為m,長(zhǎng)l.設(shè)圓盤在水平面 上純滾動(dòng).求:系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程.·CBφφmgxAmg解:系統(tǒng)有兩個(gè)自由度,選廣義坐標(biāo)x、φ.選A處水平面為重力勢(shì)能零點(diǎn)第26頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月·CBφφmgxAmg第27頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例六.(習(xí)18–17)解:這是一個(gè)雙自由度的自由振動(dòng)系統(tǒng).以各自靜平衡的位置建立廣義坐標(biāo)x1 和x2.選靜平衡的位置為重力和彈力勢(shì)能零點(diǎn)

m1g

m2g由靜力平衡可得:代入上畫了藍(lán)線的式中可使之分別為零.于是:第28頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)18–10均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m,借助于其A端的輥?zhàn)友匦泵婊?斜面的 傾角為角.不計(jì)輥?zhàn)拥馁|(zhì)量和摩擦,求桿的運(yùn)動(dòng)微分方程.又,設(shè)桿AB 當(dāng)=0時(shí)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng),求開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)斜面所受到的壓力.解:兩個(gè)自由度,選廣義坐標(biāo)x和xABmgC--整理后可得:第29頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果計(jì)算系統(tǒng)的勢(shì)能,則選系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)過(guò)A點(diǎn)的水平面為重力的零勢(shì)面.BAx(A)mgC可得上面所求的結(jié)果.第30頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若系統(tǒng)在靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)=0.即是當(dāng)t=0時(shí)=0.且變成由(1)(2)聯(lián)立可得:ACBmgy為求A處的約束反力,分析質(zhì)心C的加速度如圖示:由沿y軸投影:則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程第31頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例七.綜–21(P190)解:雙自由度,選廣義坐標(biāo)x1、sr..

m1g

m2gθsrC選初始時(shí)圓柱的C點(diǎn)處為重力勢(shì)能零點(diǎn)第32頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例八.(習(xí)18–21)解:選廣義坐標(biāo)(設(shè)滑輪O的半徑為R).AROrB.第33頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第34頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)18–13質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在一半徑為r的圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng),圓環(huán)對(duì)AB軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J.欲使此環(huán)在矩為M的力偶的作用下以等角速度繞鉛直軸AB轉(zhuǎn)動(dòng).求力偶矩M和質(zhì)點(diǎn)m的運(yùn)動(dòng)微分方程.

Mr解:雙自由度,選廣義坐標(biāo)和.第35頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Mr第36頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ABkr補(bǔ)充習(xí)題:已知均質(zhì)圓盤質(zhì)量為M,半徑為r,在水平面上作純滾動(dòng).小球B質(zhì)量 為m,以細(xì)繩系與圓盤的中心C相連,繩