7.7機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用7.7機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用內(nèi)容:幾種表達(dá)式:EK2+EP2=EK1+EP1EK=－EP

即

E=0即EK+EP=0即知識(shí)回顧：機(jī)械能守恒定律在只有重力(或彈簧彈力)做功的情況下,物體的動(dòng)能和重力勢(shì)能(或彈性勢(shì)能)發(fā)生相互轉(zhuǎn)化,但機(jī)械能的總量保持不變.內(nèi)容:幾種表達(dá)式:EK2+EP2=EK1+EP1EK=－一、機(jī)械能守恒定律的守恒條件問題1.對(duì)機(jī)械能守恒條件的理解①只受重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力。（如忽略空氣阻力的拋體運(yùn)動(dòng)）②還受其他力，但其他力不做功。（如物體沿光滑的曲面下滑，盡管受到支持力，但支持力不做功）③有其他力做功，但做功的代數(shù)和為零。一、機(jī)械能守恒定律的守恒條件問題1.對(duì)機(jī)械能守恒條件的理解2.判斷機(jī)械能是否守恒的常用方法①用做功來判斷②用能量角度來判斷a.直接看對(duì)象總機(jī)械能是否變化b.看對(duì)象是否存在機(jī)械能與其他形式能量轉(zhuǎn)化或與其他對(duì)象機(jī)械能轉(zhuǎn)移2.判斷機(jī)械能是否守恒的常用方法①用做功來判斷②用能量角a例2.把一個(gè)小球用細(xì)繩懸掛起來,就成為一個(gè)擺,擺長(zhǎng)為L(zhǎng),最大偏角,小球運(yùn)動(dòng)到最低位置時(shí)的速度是多大?(不計(jì)空氣阻力)LBAO例2.把一個(gè)小球用細(xì)繩懸掛起來,就成為一個(gè)擺,擺長(zhǎng)為L(zhǎng),二、應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的方法和步驟①明確研究對(duì)象(物體或者系統(tǒng))②明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程,分析研究對(duì)象的受力情況以及各力做功的情況,判斷機(jī)械能是否守恒③恰當(dāng)?shù)剡x取參考平面(零勢(shì)能面),并確定研究對(duì)象在過程中的始末機(jī)械能④根據(jù)機(jī)械能守恒定律列出方程進(jìn)行求解，有時(shí)不夠時(shí)再輔之以其它方程二、應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的方法和步驟①明確研究對(duì)象(物體或單體機(jī)械能守恒定律表達(dá)式：或用增量式：?jiǎn)误w機(jī)械能守恒定律表達(dá)式：或用增量式：從同一高度以相同的初速率向不同方向拋出質(zhì)量相同的幾個(gè)物體，不計(jì)空氣阻力，則[]A．它們落地時(shí)的動(dòng)能都相同B．它們落地時(shí)重力的即時(shí)功率不一定相同C．它們運(yùn)動(dòng)的過程中，重力的平均功率不一定相同D．它們從拋出到落地的過程中，重力所做的功不相同ABC

從同一高度以相同的初速率向不同方向拋出質(zhì)量相同的幾個(gè)物體，不

例7.長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量分布均勻的繩子，對(duì)稱地懸掛在輕小的定滑輪上，如圖所示.輕輕地推動(dòng)一下，讓繩子滑下，那么當(dāng)繩子離開滑輪的瞬間，繩子的速度為

.解：由機(jī)械能守恒定律，取小滑輪處為零勢(shì)能面.例7.長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量分布均勻的繩子，對(duì)稱地懸掛在輕例10.一根內(nèi)壁光滑的細(xì)圓管，形狀如下圖所示，放在豎直平面內(nèi)，一個(gè)小球自A口的正上方高h(yuǎn)處自由落下，第一次小球恰能抵達(dá)B點(diǎn)；第二次落入A口后，自B口射出，恰能再進(jìn)入A口，則兩次小球下落的高度之比h1：h2=______hABO解：第一次恰能抵達(dá)B點(diǎn)，不難看出vB1=0由機(jī)械能守恒定律mgh1=mgR+1/2·mvB12

∴h1=R第二次從B點(diǎn)平拋R=vB2tR=1/2·gt2mgh2=mgR+1/2·mvB22h2=5R/4h1：h2=4：54：5例10.一根內(nèi)壁光滑的細(xì)圓管，形狀如下圖所示，放在豎直平例3.以10m/s的速度將質(zhì)量為m的物體豎直向上拋出,若空氣阻力忽略,g=10m/s2,則:(1)物體上升的最大高度是多少?(2)上升過程在何處重力勢(shì)能和動(dòng)能相等?(3)上升過程重力勢(shì)能和動(dòng)能相等時(shí)速率

多大?例3.以10m/s的速度將質(zhì)量為m的物體豎直向上拋出,若解：（1）設(shè)物體拋出時(shí)的速度為v0，物體上升的最大高度為h,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：1/2mv2=mgh解得：h=5m(2)設(shè)當(dāng)動(dòng)能和重力勢(shì)能相等的時(shí)候物體距地面高度為h1,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：mgh=2mgh1解得：h1=2.5m(3)設(shè)當(dāng)動(dòng)能和重力勢(shì)能相等的時(shí)候物體的速度為v1，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：mgh=mv12

解得：v1=5√2m/s解：拓展：木塊A和B用一只輕彈簧連接起來，放在光滑水平面上，A緊靠墻壁，彈簧質(zhì)量不計(jì)。在B上施加向左的水平力使彈簧壓縮，如圖所示，當(dāng)撤去外力后，下列說法中正確的是（）A.A離開墻壁前，A的機(jī)械能守恒B.A離開墻壁前，A、B及彈簧這一系統(tǒng)的機(jī)械能守恒C.A離開墻后，A的機(jī)械能守恒D.A離開墻后，A、B及彈簧這一系統(tǒng)的機(jī)械能守恒ABF拓展：木塊A和B用一只輕彈簧連接起來，放在光滑水平面上，A緊例2、如圖所示，在長(zhǎng)1m的線下吊一個(gè)質(zhì)量為1㎏的小球。當(dāng)線受到19N的拉力時(shí)就被拉斷，現(xiàn)將小球拉起一定高度后放開，小球到懸點(diǎn)正下方時(shí)線剛好被拉斷，(g=10m/s2）求：（1）球被拉起的高度（2）線被拉斷后，球落于懸點(diǎn)正下方5m的水平面上的位置。5ms三、機(jī)械能守恒定律的綜合應(yīng)用問題（一）一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)問題例2、如圖所示，在長(zhǎng)1m的線下吊一個(gè)質(zhì)量為1㎏的小球。當(dāng)線受解：剛好被拉斷瞬間，向心力為所以從釋放至剛好被拉斷瞬間，機(jī)械能守恒：所以斷開后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，所以解：剛好被拉斷瞬間，向心力為所以從釋放至剛好被拉斷瞬間，機(jī)械例3、在高為h=1.2m的光滑平臺(tái)上有一個(gè)質(zhì)量m為0.5kg的小球被一細(xì)繩拴在墻上，球與墻之間有一被壓縮的輕彈簧，彈簧的彈性勢(shì)能Ep1=2J，當(dāng)細(xì)線被燒斷后，小球被彈出，求：(1)小球被彈出后的速度v1多大？(2)小球的落地速度v2多大？（g=10m/s2）h解：小球被彈出的過程機(jī)械能守恒例3、在高為h=1.2m的光滑平臺(tái)上有一個(gè)質(zhì)量m為0.5kg小球被彈出后的速度為：之后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒小球被彈出后的速度為：之后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒AB300例4、如圖所示,用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩懸掛一質(zhì)量為m的小球,再把小球拉到A點(diǎn),使懸線與水平方向成30°夾角,然后松手。問:小球運(yùn)動(dòng)到懸點(diǎn)正下方B點(diǎn)時(shí)懸線對(duì)球的拉力多大?解:小球釋放后,首先在重力作用下自由下落至C點(diǎn)細(xì)繩再次伸直,由幾何關(guān)系可知,此時(shí)細(xì)繩與水平方向夾角為30°,小球下落高度h=L。AB300例4、如圖所示,用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩懸掛一質(zhì)量為m的小球ABC300VcVc1Vc2F0mgF根據(jù)機(jī)械能守恒定律得:在C點(diǎn)細(xì)繩突然張緊對(duì)小球施以沿細(xì)繩的沖量,使小球沿細(xì)繩方向的分運(yùn)動(dòng)立即消失,其速度由Vc變?yōu)閂c1之后,小球沿圓弧運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn),在此過程中,只有重力做功,機(jī)械能守恒小球運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí),細(xì)繩的拉力與重力提供向心力所以F=3.5mgABC300VcVc1Vc2F0mgF根據(jù)機(jī)械能守恒定律得:ABEFD例5、質(zhì)量為m的小球由長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線系住,細(xì)線的另一端固定在A點(diǎn),AB是過A的豎直線,E為AB上的一點(diǎn),且AE=L/2,過E做水平線EF,在EF上釘鐵釘D,如圖所示.若線所能承受的最大拉力是9mg,現(xiàn)將小球和懸線拉至水平,然后由靜止釋放,若小球能繞鐵釘在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),求鐵釘位置在水平線上的取值范圍.不計(jì)線與鐵釘碰撞時(shí)的能量損失.ABEFD例5、質(zhì)量為m的小球由長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線系住,細(xì)線的另一分析:首先需注意到題目中有兩個(gè)約束條件,一個(gè)是細(xì)線承受的拉力最大不能超過9mg,再就是必須通過最高點(diǎn)做豎直面上的完整的圓周運(yùn)動(dòng).這樣鐵釘在水平線上的取值范圍就由相應(yīng)的兩個(gè)臨界狀態(tài)決定.解:設(shè)鐵釘在位置D時(shí),球至最低點(diǎn)細(xì)線所承受的拉力剛好為9mg,并設(shè)DE=X1,由幾何關(guān)系可求得碰釘子后球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分析:首先需注意到題目中有兩個(gè)約束條件,一個(gè)是細(xì)線承受的拉力解以上各式得:球由C點(diǎn)至D點(diǎn)正下方的過程中,遵守機(jī)械能守恒定律,有球至D點(diǎn)正下方時(shí),由細(xì)線拉力和球的重力的合力提供向心力.根據(jù)向心力公式得:再設(shè)鐵釘在D`點(diǎn)時(shí),小球剛好能夠繞鐵釘通過最高點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng),并設(shè)D`E=X2,由幾何關(guān)系可求得球的運(yùn)動(dòng)半徑為解以上各式得:球由C點(diǎn)至D點(diǎn)正下方的過程中,遵守機(jī)械能守恒定解以上各式得:鐵釘在水平線EF上的位置范圍是:球由C至圓周最高點(diǎn)過程中,遵守機(jī)械能守恒定律,有:球至圓周最高時(shí),其向心力由球的重力提供,根據(jù)向心力公式得:解以上各式得:鐵釘在水平線EF上的位置范圍是:球由C至圓周最（三）“流體”問題例7、如圖所示,一粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有同種液體豎直放置,右管口用蓋板A密閉一部分氣體,左管口開口,兩液面高度差為h,U形管中液柱總長(zhǎng)為4h,現(xiàn)拿去蓋板,液柱開始流動(dòng).當(dāng)兩側(cè)液面恰好相齊時(shí)右側(cè)液面下降的速度大小為

.Ah解:應(yīng)用“割補(bǔ)”法：液面相齊時(shí)等效于把右側(cè)中h/2的液柱移到左側(cè)管中,其減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)變?yōu)檎麄€(gè)液柱的動(dòng)能.（三）“流體”問題例7、如圖所示,一粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有根據(jù)機(jī)械能守恒定律得:設(shè)液體密度為ρ有:所以:根據(jù)機(jī)械能守恒定律得:設(shè)液體密度為ρ有:所以:（四）系統(tǒng)機(jī)械能守恒的問題處理這類問題時(shí),一是要注意應(yīng)用系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒的判斷方法;再是要靈活選取機(jī)械能守恒的表達(dá)式.常用的是:例8、如圖所示,兩小球mA、mB通過繩繞過固定的半徑為R的光滑圓柱,現(xiàn)將A球由靜止釋放,若A球能到達(dá)圓柱體的最高點(diǎn),求此時(shí)的速度大小(mB=2mA).（四）系統(tǒng)機(jī)械能守恒的問題處理這類問題時(shí),一是要注意應(yīng)用系統(tǒng)解:B球下落得高度為A球上升得高度為2R由A→B根據(jù)能量轉(zhuǎn)化守恒定律ΔEK=-ΔEP得所以解:B球下落得高度為A球上升得高度為2R由A→B根據(jù)能量轉(zhuǎn)化例9、如圖光滑圓柱被固定在水平平臺(tái)上，質(zhì)量為m1的小球甲用輕繩跨過圓柱與質(zhì)量為m2的小球乙相連，開始時(shí)讓小球甲放在平臺(tái)上，兩邊繩豎直，兩球均從靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)甲上升到圓柱最高點(diǎn)時(shí)繩子突然斷了，發(fā)現(xiàn)甲球恰能做平拋運(yùn)動(dòng)，求甲、乙兩球的質(zhì)量關(guān)系。m1m2分析：與上題相似，只是甲乙的末速度為，所以例9、如圖光滑圓柱被固定在水平平臺(tái)上，質(zhì)量為m1的小球甲用輕例9、如圖示，長(zhǎng)為l的輕質(zhì)硬棒的底端和中點(diǎn)各固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球，為使輕質(zhì)硬棒能繞轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)，則底端小球在如圖示位置應(yīng)具有的最小速度v=

。vO解：系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，ΔEP+ΔEK=0因?yàn)樾∏蜣D(zhuǎn)到最高點(diǎn)的最小速度可以為0，所以，例9、如圖示，長(zhǎng)為l的輕質(zhì)硬棒的底端和中點(diǎn)各固定一個(gè)質(zhì)量為如圖所示，一固定的楔形木塊，其斜面的傾角θ=30o，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪。一柔軟的細(xì)線跨過定滑輪，兩端分別與物塊A、B連接，A的質(zhì)量為4m，B質(zhì)量為m，開始時(shí)將B按在地面上不動(dòng)，然后放開手，讓A沿斜面下滑而B上升。物塊A與斜面間無摩擦。設(shè)當(dāng)A沿斜面下滑距離s后，細(xì)繩突然斷了，求物塊B上升的最大距離H如圖所示，一固定的楔形木塊，其斜面的傾角θ=30o，另一邊與（思考題）如圖所示，物體A、B用繩子連接穿過定滑輪，已知mA=2mB,繩子的質(zhì)量不計(jì)，忽略一切摩擦，此時(shí)物體A、B距地面高度均為H，釋放A，求當(dāng)物體A剛到達(dá)地面時(shí)的速度多大？（設(shè)物體B到滑輪的距離大于H）例與練（思考題）如圖所示，物體A、B用繩子連接穿過定滑輪，已知mA如圖所示，A、B兩球質(zhì)量分別為4m和5m,其間用輕繩連接，跨放在光滑的半圓柱體上(半圓柱體的半徑為R)．兩球從水平直徑的兩端由靜止釋放．已知重力加速度為g，圓周率用π表示。當(dāng)球A到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)，求：(1)球A的速度大?。?2)球A對(duì)圓柱體的壓力如圖所示，A、B兩球質(zhì)量分別為4m和5m,其間用輕繩連接，跨

【例7】將質(zhì)量為M和3M的兩小球A和B分別拴在一根細(xì)繩的兩端，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，開始時(shí)B球靜置于光滑的水平桌面上，A球剛好跨過桌邊且線已張緊，如圖所示．當(dāng)A球下落時(shí)拉著B球沿桌面滑動(dòng)，桌面的高為h，且h＜L．若A球著地后停止不動(dòng)，求：（1）B球剛滑出桌面時(shí)的速度大小．（2）B球和A球著地點(diǎn)之間的距離．機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用【例7】將質(zhì)量為M和3M的兩小球A和B分別拴在一根細(xì)繩的兩【例4】一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻鏈條，放在光滑水平桌面上，鏈條的一半垂于桌邊，如圖所示現(xiàn)由靜止開始使鏈條自由滑落，當(dāng)它全部脫離桌面時(shí)的速度為多大?【解析】因桌面光滑，鏈條雖受桌面的支持力，但支持力對(duì)鏈條不做功，在鏈條下滑過程中只有重力對(duì)鏈條做功，故鏈條下滑過程中機(jī)械能守恒

設(shè)鏈條總質(zhì)量為ｍ，由于鏈條均勻，因此對(duì)鏈條所研究部分可認(rèn)為其重心在它的幾何中心，選取桌面為零勢(shì)能面，則初、末狀態(tài)的機(jī)械能分別為：初態(tài)：末態(tài)：【例4】一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻鏈條，放在光滑水平桌面上，鏈條的一半例10、如圖所示，質(zhì)量分別為4m和m的A和B物體用細(xì)繩連接，并跨過裝在斜面頂端的無摩擦滑輪上，A放在傾角為30°的光滑斜面上，開始時(shí)將B按在地面上不動(dòng),然后放開手,讓A沿斜面下滑而B上升,設(shè)當(dāng)A沿斜面下滑s距離后,細(xì)線突然斷了,求物塊B上升的最大距離H。

解：取A、B及地球?yàn)橄到y(tǒng)：對(duì)B：且所以例10、如圖所示，質(zhì)量分別為4m和m的A和B物體用細(xì)繩連接，例11、如圖所示，長(zhǎng)為2L的輕桿OB，O端裝有轉(zhuǎn)軸，B端固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球B，OB中點(diǎn)A固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，若OB桿從水平位置靜止開始釋放轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中，求A、B球擺到最低點(diǎn)的速度大小各是多少。解：選A、B及地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，此系統(tǒng)中只有動(dòng)能和重力勢(shì)能發(fā)生轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：又所以例11、如圖所示，長(zhǎng)為2L的輕桿OB，O端裝有轉(zhuǎn)軸，B端固定例12、如圖所示,半徑為r,質(zhì)量不計(jì)的圓盤與地面垂直,圓心處有一個(gè)垂直盤面的光滑水平固定軸O,在盤的最右邊緣固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A,在O點(diǎn)的正下方離O點(diǎn)r/2處固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小球B.放開盤讓其自由轉(zhuǎn)動(dòng),求：（1）A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度是多少？（2）在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？AB例12、如圖所示,半徑為r,質(zhì)量不計(jì)的圓盤與地面垂直,圓心處解：(1)該系統(tǒng)在自由轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,只有重力做功,機(jī)械能守恒.設(shè)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度為VA,B球的速度為VB,則據(jù)機(jī)械能守恒定律可得:AB據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)可知:VA=2VB所以AB解：(1)該系統(tǒng)在自由轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,只有重力做功,機(jī)械能守恒.所以θ(2)設(shè)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是θ(如所示),則據(jù)機(jī)械能守恒定律可得:所以θ(2)設(shè)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度例13、如圖所示,將楔木塊放在光滑水平面上靠墻邊處并用手固定,然后在木塊和墻面之間放入一個(gè)小球,球的下緣離地面高度為H,木塊的傾角為θ,球和木塊質(zhì)量相等,一切接觸面均光滑,放手讓小球和木塊同時(shí)由靜止開始運(yùn)動(dòng),求球著地時(shí)球和木塊的速度.V1V2解：因?yàn)榍蛳侣涞拇怪庇谛泵娴姆炙俣扰c斜面該方向的分速度相等，即例13、如圖所示,將楔木塊放在光滑水平面上靠墻邊處并用手固定由機(jī)械能守恒定律可得聯(lián)立方程可得由機(jī)械能守恒定