第十四章整式的乘法與因式分解

學(xué)練優(yōu)八年級(jí)數(shù)學(xué)上（RJ）教學(xué)課件復(fù)習(xí)課知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專題復(fù)習(xí)課堂小結(jié)課堂訓(xùn)練第十四章整式的乘法與因式分解學(xué)練1冪的運(yùn)算性質(zhì)整式的乘法整式的除法互逆運(yùn)算乘法公式（平方差、完全平方公式）特殊形式相反變形因式分解（提公因式、公式法）相反變形知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)冪的運(yùn)算性質(zhì)整式的乘法整式的除法互逆乘法公式特殊相反變形因式2專題一冪的運(yùn)算性質(zhì)【例1】計(jì)算(2a)3(b3)2÷4a3b4.【解析】冪的混合運(yùn)算中，先算乘方，再算乘除.【答案】原式=8a3b6÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.專題復(fù)習(xí)專題復(fù)習(xí)專題一冪的運(yùn)算性質(zhì)【例1】計(jì)算(2a)3(b3)2÷43【例2】計(jì)算(-8)2016×(0.125)2015.【解析】此題可先用同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算，將（-8）2016化為（-8）×（-8）2015，再用積的乘方的性質(zhì)的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算.【答案】原式=（-8）×（-8）2015×（0.125）2015=（-8）[（-8）×0.125]2015=（-8）×（-1）2015=8.【點(diǎn)撥】運(yùn)用冪的運(yùn)算公式，可將問題化繁為簡，負(fù)數(shù)乘方結(jié)果的符號(hào)，奇次方得負(fù)，偶次方得正.【例2】計(jì)算(-8)2016×(0.125)2015.【解4【歸納拓展】冪的運(yùn)算性質(zhì)包括同底數(shù)冪的乘方、冪的乘方、積的乘方及同底數(shù)冪的除法.這四種運(yùn)算性質(zhì)貫穿全章，是整式乘除及因式分解的基礎(chǔ).其逆向運(yùn)用可以使一些計(jì)算簡便，從而培養(yǎng)一定的計(jì)算技巧，達(dá)到學(xué)以致用的目的.【配套訓(xùn)練】1.下列計(jì)算不正確的是（）A.2a3÷a=2a2B.(-a3)2=a6C.a4·a3=a7D.a2·a4=a82.(1)計(jì)算：0.252015×（-4）2015-8100×0.5301；（2）比較大?。?20與1510.D【答案】（1）原式=[0.25×（-4）]2015-（23）100×0.5300×0.5=-1-（2×0.5）300×0.5=-1-0.5=-1.5；（2）∵420=（42）10=1610，1610>1510,∴420>1510.【歸納拓展】冪的運(yùn)算性質(zhì)包括同底數(shù)冪的乘方、冪的乘方、積的乘5專題二整式的運(yùn)算【例3】計(jì)算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y,其中x=1,y=3.【解析】在計(jì)算整式的加、減、乘、除、乘方的運(yùn)算中，一要注意運(yùn)算順序；二要熟練正確地運(yùn)用運(yùn)算法則.【答案】原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷3x2y=(2x3y2-2x2y)÷3x2y=.當(dāng)x=1,y=3時(shí)，原式=.專題二整式的運(yùn)算【例3】計(jì)算：[x(x2y2-xy)-6【歸納拓展】整式的乘除法主要包括單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，其中單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式是整式乘除的基礎(chǔ)，必須熟練掌握它們的運(yùn)算法則，整式的混合運(yùn)算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加減的順序進(jìn)行，有括號(hào)的要算括號(hào)里的.【配套訓(xùn)練】(1)一個(gè)長方形的面積是a2-2ab+a,寬為a,則長方形的長為

；（2）已知多項(xiàng)式2x3-4x2-1除以一個(gè)多項(xiàng)式A,得商為2x，余式為x-1,則這個(gè)多項(xiàng)式是

.a2-2b+1【歸納拓展】整式的乘除法主要包括單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以7專題三整式的乘法公式的運(yùn)用【例4】先化簡再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x,其中x=3,y=1.5.【解析】運(yùn)用平方差公式和完全平方公式，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再計(jì)算整式的除法運(yùn)算.【答案】原式=(x2-2xy+y2+x2-y2)÷2x=(2x2-2xy)÷2x=x-y.當(dāng)x=3,y=1.5時(shí)，原式=3-1.5=1.5.專題三整式的乘法公式的運(yùn)用【例4】先化簡再求值：[(x8【歸納拓展】整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分為兩個(gè)：兩數(shù)和的完全平方公式和兩數(shù)差的完全平方公式，在計(jì)算多項(xiàng)式的乘法時(shí)，對(duì)于符合這三個(gè)公式結(jié)構(gòu)特征的式子，運(yùn)用公式可減少運(yùn)算量，提高解題速度.【配套訓(xùn)練】(1)求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解；（2）已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值.【答案】(1)原方程可化為-5x+5=0,解得x=1.(2)∵x2+9y2+4x-6y+5=0,∴(x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0，∴(x+2)2+(3y-1)2=0.∴x+2=0,3y-1=0,解得x=-2,y=,【歸納拓展】整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完9專題四分解因式【例5】判斷下列各式變形是不是分解因式，并說明理由：(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;(3)x2-6x+9=(x-3)2(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.【答案】(1)不是，因?yàn)樽詈蟛皇亲龀朔ㄟ\(yùn)算，不是積的形式；（2）不是，因?yàn)閺淖筮叺接疫吺亲龀朔ㄟ\(yùn)算；（3）是；（4）不是，因?yàn)榱顇=2,y=1,左邊=10，右邊=32，不是恒等變形.這種方法叫賦值法.是一種比較好的方法，希望掌握！專題四分解因式【例5】判斷下列各式變形是不是分解因式，10【點(diǎn)撥】（1）多項(xiàng)式的因式分解的定義包含兩個(gè)方面的條件，第一，等式的左邊是一個(gè)多項(xiàng)式；其二，等式的右邊要化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這里指等式的整個(gè)右邊化成積的形式；（2）判斷過程要從左到右保持恒等變形.【歸納拓展】因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，它與整式乘法互為逆運(yùn)算，分解因式的方法主要是提公因式法和公式法，因式分解時(shí)，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止.【點(diǎn)撥】（1）多項(xiàng)式的因式分解的定義包含兩個(gè)方面的條件，第一11【配套訓(xùn)練】(1)下列變形，是因式分解的是（）A.a(x+y)=ax+ay

B.x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1)C.am2-a=a(m+1)(m-1)D.m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3.（2）分解因式：（x+y)2-4(x+y-1).解：原式=（x+y)2-4(x+y)+4=(x+y-2)2.C【配套訓(xùn)練】(1)下列變形，是因式分解的是（）解12專題五實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型【例6】如圖所示，在邊長為a的正方形中剪去邊長為b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形的陰影部分的面積，驗(yàn)證公式是

.baaaabbbbba-b專題五實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型【例6】如圖所示，在邊長為13【解析】通過圖形面積的計(jì)算，驗(yàn)證乘法公式，從圖形中的陰影部分可知其面積是兩個(gè)正方形的面積差（a2-b2),又由于圖的梯形的上底是是2b,下底是2a,高為a-b,所以梯形的面積是（2a+2b)(a-b)÷2=(a+b)(a-b),根據(jù)面積相等，得乘法公式a2-b2=(a+b)(a-b).【答案】a2-b2=(a+b)(a-b).【點(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它為驗(yàn)證某些公式提供了方便.【歸納拓展】通過應(yīng)用公式，我們可以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，提高了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.【解析】通過圖形面積的計(jì)算，驗(yàn)證乘法公式，從圖形中的陰影部14【配套訓(xùn)練】

我們已知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實(shí)際上還有一個(gè)代數(shù)恒等式也可以用這種形式來表示，例如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用圖①和圖②等圖形的面積表示.aaabbabababa2a2b2圖①b2a2a2abababaaabb圖②【配套訓(xùn)練】我們已知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面15（2）請(qǐng)畫一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.（1）請(qǐng)寫出圖③所表示的代數(shù)恒等式；bbaabaabababababa2a2b2b2圖③【答案】(1)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2;(2)如圖④.圖④a2baababababb2b2b2（2）請(qǐng)畫一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（a+b)(a+3b16整式乘除與因式分解冪的運(yùn)算性質(zhì)①am·an=am+n②(am)n=amn③(ab)n=anbn④am÷an=am-n(m,n都是正整數(shù)）整式的乘除法①單×單②單×多③多×式單÷單⑤多÷單乘法公式因式分解定義搞清楚與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系步驟一提二套三檢查(a+b)(a-b)=a2-b2(a±b)2=a2±2ab+b2課堂小結(jié)課堂小結(jié)整式乘除與因式分解冪的運(yùn)①am·an=am+n整式的乘171.已知（a+b)2=11,(a-b)2=7,則ab等于（）A.1B.-1C.0D.1或-1A2.

如果4x2+12xy+k是一個(gè)關(guān)于x、y的完全平方式，則k等于（）A.3y2B.9y2C.yD.36y2B3.

如果a+=3,那么a2+=

.7課堂訓(xùn)練課后訓(xùn)練1.已知（a+b)2=11,(a-b)2=7,則ab等于（184.已知,,求（a+b）2-(a-b)2的值.

解:(a+b)2-(a-b)2=