第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第一節(jié)典型的測試信號第二節(jié)一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)第三節(jié)二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)第四節(jié)高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)第五節(jié)線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性第六節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)第七節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差7/31/20231第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第一節(jié)典型的測試信號7/31/第一節(jié)典型的測試信號典型的測試信號一般應(yīng)具備兩個(gè)條件自動(dòng)控制理論（1）信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式要簡單（2）信號易于在實(shí)驗(yàn)室中獲得一、階躍輸入圖3-1典型試驗(yàn)信號a)階躍信號b)斜坡信號c)等加速度信號

二、斜坡信號(3-1)7/31/20232第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第一節(jié)典型的測試信號典型的測試信號一般應(yīng)具備兩個(gè)條件自動(dòng)四、脈沖信號自動(dòng)控制理論圖3-2三、等加速度信號等加速度信號是一種拋物線函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為五、正弦信號正弦信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式為7/31/20233第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析四、脈沖信號自動(dòng)控制理論圖3-2三、等加速度信號等加速度信號第二節(jié)一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)一階系統(tǒng)的方框圖如圖3-3所示，它的傳遞函數(shù)為

圖3-3一階系統(tǒng)的框圖a)一階系統(tǒng)框圖b)等效框圖一、單位階躍響應(yīng)自動(dòng)控制理論7/31/20234第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第二節(jié)一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)一階系統(tǒng)的方框圖如圖3-3所示，表示階躍響應(yīng)曲線C(t)上升到其終值的63.2%時(shí)，對應(yīng)的時(shí)間就是系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T二、單位斜坡響應(yīng)自動(dòng)控制理論7/31/20235第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析表示階躍響應(yīng)曲線C(t)上升到其終值的63三、單位脈沖響應(yīng)線性定常系統(tǒng)的性質(zhì)（1）一個(gè)輸入信號導(dǎo)數(shù)的時(shí)域響應(yīng)等于該輸入信號的時(shí)域響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)（2）一個(gè)輸入信號積分的時(shí)域響應(yīng)等于該輸入信號的時(shí)域響應(yīng)的積分結(jié)論：了解一種典型信號的響應(yīng)，就可知道其它信號作用下的響應(yīng)。自動(dòng)控制理論7/31/20236第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析三、單位脈沖響應(yīng)線性定常系統(tǒng)的性質(zhì)（1）一個(gè)輸入信號導(dǎo)數(shù)的時(shí)第三節(jié)二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)一、傳遞函數(shù)的推導(dǎo)圖3-6位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理圖自動(dòng)控制理論圖3-6中:7/31/20237第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第三節(jié)二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)一、傳遞函數(shù)的推導(dǎo)圖3-6位置圖3-7圖3-6所示系統(tǒng)的框圖a)圖3-6所示系統(tǒng)的框圖b)系統(tǒng)的簡化框圖二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)形式：自動(dòng)控制理論7/31/20238第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析圖3-7圖3-6所示系統(tǒng)的框圖二圖3-8二階系統(tǒng)的框圖1、自動(dòng)控制理論其拉氏反變換為:7/31/20239第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析圖3-8二階系統(tǒng)的框圖1、自動(dòng)控制理論其拉氏反變換為:7或?qū)懽?、自動(dòng)控制理論其拉氏反變換為:7/31/202310第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析或?qū)懽?、自動(dòng)控制理論其拉氏反變換為:7/31/2023103、二階過阻尼系統(tǒng)的近似處理自動(dòng)控制理論圖3-9二階系統(tǒng)的實(shí)極點(diǎn)7/31/202311第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析3、二階過阻尼系統(tǒng)的近似處理自動(dòng)控制理論圖3-9二階系統(tǒng)近似計(jì)算值：三、二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)1、上升時(shí)間當(dāng)被控制量c(t)首次由零上升到其穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，稱上升時(shí)間tr。自動(dòng)控制理論7/31/202312第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析近似計(jì)算值：三、二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)1、上升時(shí)間求得：2、峰值時(shí)間瞬態(tài)響應(yīng)第一次出現(xiàn)峰值的時(shí)間叫峰值時(shí)間,用tp表示自動(dòng)控制理論簡化上式，求得因?yàn)椋簣D3-13二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)7/31/202313第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析求得：2、峰值時(shí)間瞬態(tài)響應(yīng)第一次出現(xiàn)峰值的時(shí)間叫峰值時(shí)間,用3、超調(diào)量Mp4、調(diào)整時(shí)間ts階躍響應(yīng)曲線開始進(jìn)入偏離穩(wěn)態(tài)值±Δ的誤差范圍(一般Δ為5%或2%),并從此不現(xiàn)超越這個(gè)范圍的時(shí)間稱為系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間,用ts表示之。自動(dòng)控制理論圖3-14二階系統(tǒng)的Mp與關(guān)系曲線7/31/202314第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析3、超調(diào)量Mp4、調(diào)整時(shí)間ts階躍響應(yīng)曲線開始進(jìn)求得：近似計(jì)算：5、穩(wěn)態(tài)誤差自動(dòng)控制理論7/31/202315第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析求得：近似計(jì)算：5、穩(wěn)態(tài)誤差自動(dòng)控制理論7/31/20231四、二階系統(tǒng)階的動(dòng)態(tài)校正1、比例微分(PD)校正由圖3-7b可知，校正前系統(tǒng)的特征方程為：圖3-15具有PD校正的二階系統(tǒng)對應(yīng)的加上PD校正后，系統(tǒng)特征方程為：自動(dòng)控制理論于是有：7/31/202316第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析四、二階系統(tǒng)階的動(dòng)態(tài)校正1、比例微分(PD)校正由圖3-7b2、測速反饋校正圖3-16隨動(dòng)系統(tǒng)框圖圖3-17圖3-16的等效框圖自動(dòng)控制理論調(diào)節(jié)Kp值,使之滿足穩(wěn)態(tài)誤差ess要求,然后調(diào)節(jié)Kp值使之滿足的要求。7/31/202317第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析2、測速反饋校正圖3-16隨動(dòng)系統(tǒng)框圖圖3-17圖3例3-1圖3-18控制系統(tǒng)的框圖圖3-19圖3-18的等效圖解：據(jù)此畫出圖3-19所示的方框圖。自動(dòng)控制理論7/31/202318第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析例3-1圖3-18控制系統(tǒng)的框圖圖3-19圖3-18第四節(jié)高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)設(shè)高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式自動(dòng)控制理論一、高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)7/31/202319第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第四節(jié)高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)設(shè)高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式求拉氏反變換，得：高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的瞬態(tài)分量是由一階和二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)函數(shù)組成，其中控制信號的極點(diǎn)所對應(yīng)的拉氏反變換為系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量，傳遞函數(shù)極點(diǎn)所對應(yīng)的拉氏反變換為系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。由此可知自動(dòng)控制理論（3-45）如果所有的閉環(huán)極點(diǎn)均有負(fù)實(shí)部，由式(3-45)可知，隨著時(shí)間的推移，式中所有的瞬態(tài)分量將不斷地衰減，當(dāng)時(shí)間時(shí)，該式等號右方只剩下控制信號極點(diǎn)所確定的穩(wěn)態(tài)分量A0項(xiàng)。這表示在過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)的被控制量僅與控制量有關(guān)。這種閉環(huán)極點(diǎn)均位于s左半平面的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能正常工作的必要條件，有關(guān)這方面的內(nèi)容，將在本章第五節(jié)中作專題闡述。7/31/202320第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析求拉氏反變換，得：高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的瞬態(tài)分量是由一階和二階系自動(dòng)控制理論二、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對于穩(wěn)定的的高階系統(tǒng)，其瞬態(tài)響應(yīng)不僅與其閉環(huán)極點(diǎn)有關(guān)，而且也與其零點(diǎn)有關(guān)。即系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的類型（指數(shù)型或振蕩型）系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間的長短主要取決于最靠近虛軸的閉環(huán)極點(diǎn)（假設(shè)它們附近沒有閉環(huán)零點(diǎn)）；如果系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點(diǎn)均遠(yuǎn)于虛軸，則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量就衰減得很快，從而大大縮短了系統(tǒng)的過渡時(shí)間。不難看出，閉環(huán)零點(diǎn)只影響瞬態(tài)分量幅值的大小正負(fù)和符號的正負(fù)。如果系統(tǒng)中有一實(shí)數(shù)極點(diǎn)(或一對復(fù)數(shù)極點(diǎn))距虛軸最近,且其附近沒有閉環(huán)零點(diǎn)；而其他閉環(huán)極點(diǎn)與虛軸的距離都比這個(gè)（或這對）極點(diǎn)與虛軸的距離大5倍以上，則此系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)可近似地視為由這個(gè)（或這對）極點(diǎn)所產(chǎn)生。這是因?yàn)檫@種極點(diǎn)所決定的瞬態(tài)分量不僅持續(xù)時(shí)間最長，而且其初值幅值也大，充分體現(xiàn)了它在系統(tǒng)響應(yīng)中的主導(dǎo)作用，故稱其這系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。7/31/202321第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析自動(dòng)控制理論二、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對于穩(wěn)定的的高階系統(tǒng)，其瞬態(tài)響應(yīng)解：用部分分式法將上式展開，由拉氏反變換得顯然，由極點(diǎn)s3=-15產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)項(xiàng)一僅幅值小，而且衰減得快，因而對系統(tǒng)的輸出響應(yīng)很小，故可把它略去。于是，系統(tǒng)的輸出可近似地用下式表示：例3-3已知一系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為自動(dòng)控制理論三、偶極子如果閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)零點(diǎn)與一個(gè)極點(diǎn)彼此十分靠近，人們常稱這樣的閉環(huán)7/31/202322第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析解：用部分分式法將上式展開，由拉氏反變換得顯然，自動(dòng)控制理論零、極點(diǎn)為偶極子。不難證明，只要偶極子不十分靠近坐極原點(diǎn)，則它們對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響就很小，因而可忽略它們的存在。例3-4已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為式中。求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。（3-46）解：該系統(tǒng)有一對復(fù)數(shù)極點(diǎn)、一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和一個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)。1）假設(shè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)不十分靠近坐標(biāo)原點(diǎn)，且令，使實(shí)數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)十分靠近，以構(gòu)成一對偶極子，則式（3-46）所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為7/31/202323第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析自動(dòng)控制理論零、極點(diǎn)為偶極子。不難證明，只要偶極子不十分靠近自動(dòng)控制理論考慮到，上式經(jīng)簡化得（3-47）（3-48）基于上述對a和的假設(shè)，式（3-47）可進(jìn)一步近似表示為由式（3-48）可知，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)主要由一對主導(dǎo)極點(diǎn)決定，偶極子對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響十分微小，故可略去不計(jì)。假設(shè)，即一對偶極子十分靠近坐標(biāo)原點(diǎn)，則式（3-47）可改寫為由于的值是可比的，故項(xiàng)不能略去。綜上所述，得出如下結(jié)論：①如果偶極子不靠近坐標(biāo)原點(diǎn)，則它們對系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)可略去不計(jì)②如果偶極子十分靠近坐標(biāo)原點(diǎn)，則應(yīng)考慮它們對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響，但不會(huì)改變主導(dǎo)極點(diǎn)的作用。7/31/202324第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析自動(dòng)控制理論考慮到，上式經(jīng)簡化得（3-第五節(jié)線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它在瞬間受到某一擾動(dòng)而偏離了原有的平衡狀態(tài)。當(dāng)此擾動(dòng)撤消后，系統(tǒng)借助于自身的調(diào)節(jié)作用，如能使偏差不斷的減小，最后仍能回到原來的平衡狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之，則稱為不穩(wěn)定。如圖3-22所示。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它與輸入信號無關(guān)只取決其本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)用系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)來描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果則系統(tǒng)是穩(wěn)定的自動(dòng)控制理論圖3-22穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的響應(yīng)曲線7/31/202325第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第五節(jié)線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件設(shè)一線性定常若，表示方程的所有根全位于S平面的左方，這是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。它不僅是零輸入時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，而且也是在給定信號作用下系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件自動(dòng)控制理論（3-49）7/31/202326第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析若，表示方程的所有根全位于S平面的左方，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件令控制系統(tǒng)特征方程為如果式（3-51）的根都是負(fù)實(shí)根和實(shí)部為負(fù)的復(fù)數(shù)根，則方程中各項(xiàng)系數(shù)均為正值，且無零系數(shù)。對此說明如下：自動(dòng)控制理論（3-51）7/31/202327第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件令控制系統(tǒng)特征方程為如果式（3-51）的根對于一階和二階系統(tǒng)，其特征方程式的多項(xiàng)系數(shù)全為正值是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件。對三階及三階以上系統(tǒng)，特征方程的多項(xiàng)系數(shù)均為正值僅是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充分條件。結(jié)論自動(dòng)控制理論由于上式等號右方所有因式的系數(shù)都為正值，因而它們相乘后S的多次項(xiàng)示數(shù)必然都為正值，且不會(huì)有零系數(shù)出現(xiàn)。7/31/202328第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析對于一階和二階系統(tǒng)，其特征方程式的多項(xiàng)系數(shù)全為第六節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)令系統(tǒng)特征方程為排勞斯表：自動(dòng)控制理論7/31/202329第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第六節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)令系統(tǒng)特征方程為排勞斯表：自動(dòng)控制理論結(jié)論（1）若勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值,則系統(tǒng)穩(wěn)定（2）如果表中第一列的系數(shù)有正、負(fù)符號變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S右半平面上的個(gè)數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定例3-5

一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程為由于該表第一列系數(shù)的符號變化了兩次，所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的例3-6

已知系統(tǒng)的特征方程為自動(dòng)控制理論7/31/202330第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析結(jié)論（1）若勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值,則系統(tǒng)穩(wěn)定例3-5求系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍欲使系統(tǒng)穩(wěn)定則應(yīng)滿足排勞斯表時(shí)，有兩種可能出現(xiàn)的特殊情況：1）勞斯表中某一行中的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不全為零。解決的辦法是以一個(gè)很小正數(shù)ε來代替為零的這項(xiàng)。然后完成勞斯表的排列。自動(dòng)控制理論解不等式組得：7/31/202331第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析求系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍欲使系統(tǒng)穩(wěn)定則應(yīng)滿足排勞斯表時(shí)，有兩種可結(jié)論：如果第一列ε上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，則表示方程中有一對共軛虛根存在；如果第一列系數(shù)中有符號變化，其變化的次數(shù)等于該方程在S平面右半面上根的數(shù)目。例3-7

已知系統(tǒng)的特征方程為，試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：列勞斯表方程中有對虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例3-8

已知系統(tǒng)的特征方程為，試用勞斯判據(jù)確定方程式的根在S平面上的具體分布自動(dòng)控制理論7/31/202332第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析結(jié)論：如果第一列ε上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，則表示方程解：列勞斯表2）如果勞斯表的某一行中所有的系數(shù)都為零，則表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等，徑向位置相反的根。結(jié)論：有兩個(gè)根在S的右半平面。例：勞斯列表：自動(dòng)控制理論7/31/202333第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析解：列勞斯表2）如果勞斯表的某一行中所有的系數(shù)都為零，則表例3-9

用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線S=-1的右方？自動(dòng)控制理論7/31/202334第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析例3-9用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列方程是否有根在S的右半平面上解：列勞斯表有一個(gè)根在垂直線S=-1的右方。自動(dòng)控制理論7/31/202335第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析解：列勞斯表有一個(gè)根在垂直線S=-1的右方。自動(dòng)控制理論7/第七節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差的定義圖3-24控制系統(tǒng)框圖給定輸入下的穩(wěn)定誤差自動(dòng)控制理論7/31/202336第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第七節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差的定義圖3-2