高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)實(shí)踐探索獲獎(jiǎng)科研報(bào)告【摘要】在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，涉及到數(shù)形結(jié)合的思想方法有很多，而直線與圓的位置關(guān)系是一個(gè)很好的案例。本文對(duì)高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)案例進(jìn)行了全面分析，并且對(duì)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行了總結(jié)及反思。希望通過本文可以為相關(guān)工作提供一些參考。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;教學(xué)實(shí)踐;直線與圓位置關(guān)系

1高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)案例分析

就當(dāng)前的高中教材而言，很多內(nèi)容都涉及到了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)方法，直線和圓的位置關(guān)系這一內(nèi)容是一個(gè)很好的案例。在教學(xué)活動(dòng)實(shí)際進(jìn)行中，筆者通過這樣的方式對(duì)該節(jié)內(nèi)容進(jìn)行有效引入：大家都在初中學(xué)習(xí)過直線與圓的相切、相交以及相離三種位置關(guān)系。當(dāng)時(shí)是通過公共點(diǎn)個(gè)數(shù)以及直線到圓的距離兩個(gè)角度對(duì)該問題進(jìn)行學(xué)習(xí)。將直線和圓的位置關(guān)系化為基于r大小以及交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題。這節(jié)課程將從解析幾何的角度對(duì)直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行深入研究。看看高中階段會(huì)給這種問題搭建怎樣的溝通橋梁。

在課程實(shí)際進(jìn)行中，首先讓學(xué)生對(duì)位置關(guān)系進(jìn)行有效判斷，并且引導(dǎo)其從熟悉的幾何角度入手，利用簡(jiǎn)單直觀的圖形隊(duì)圓和直線位置之間的距離進(jìn)行有效判斷。接下來利用剛剛學(xué)習(xí)的方程思想對(duì)問題進(jìn)行全面分析，把方程解的個(gè)數(shù)作為解決問題的切入點(diǎn)，這一方式負(fù)責(zé)符合學(xué)生的思維發(fā)展過程。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中很容易對(duì)該節(jié)課程內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)想，并且利用形解決的問題轉(zhuǎn)化為利用數(shù)進(jìn)行解決，從而達(dá)到第1個(gè)思維跳躍。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)切線方程進(jìn)行求解，對(duì)弦長(zhǎng)進(jìn)行求解。這樣可以將塑形圖形與數(shù)量關(guān)系密切結(jié)合起來，讓學(xué)生思維產(chǎn)生二次鏈接。利用同一思維模式解決不同問題情景，從而讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想產(chǎn)生更加深入的思考。最后在課堂當(dāng)中為學(xué)生引入一些實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生利用這種思想對(duì)這些實(shí)際問題進(jìn)行有效的求解活動(dòng)，將文字性的問題通過學(xué)生的思維加工，最終達(dá)到應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方式解決問題，讓學(xué)生思維產(chǎn)生第三次鏈接。具體的教學(xué)過程如下所示：

首先，教師為了將學(xué)生引入本次課程，應(yīng)當(dāng)為學(xué)生利用多媒體播放了直線與圓之間的位置關(guān)系。

教師：第1種方法通過數(shù)形結(jié)合的有效應(yīng)用，將直線與圓位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系。通過d和r之間的大小判斷直線和圓之間的位置關(guān)系，從幾何的角度對(duì)問題進(jìn)行有效分析。最終從數(shù)量關(guān)系去對(duì)問題進(jìn)行有效解決，然后把求解的數(shù)量關(guān)系翻譯為幾何問題。這種思想方法叫做幾何法解題。通過對(duì)課本前幾章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，同學(xué)們認(rèn)為如何才能更加有效的求解其中的d和r呢？

學(xué)生則結(jié)合已有知識(shí)對(duì)該該問題進(jìn)行解答。

教師：很好，該名同學(xué)的思路非常清晰，接下來看另一種解題思路。利用圓與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)對(duì)其位置關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確判斷，有心的同學(xué)可能已經(jīng)猜到老師接下來要問什么問題了。

學(xué)生：發(fā)表意見討論高中方法如何對(duì)圓與直線之間的位置關(guān)系進(jìn)行判斷，并且說出這種方法叫什么如何去轉(zhuǎn)化。

教師：回答教師，將兩個(gè)方程聯(lián)立變成一個(gè)一元二次方程對(duì)位置關(guān)系進(jìn)行有效判斷。因?yàn)橐辉畏匠逃袔讉€(gè)問題解的問題可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為根的判別式問題，因此位置關(guān)系問題和根的判別式就產(chǎn)生了直接聯(lián)系。

教師與同學(xué)們?cè)谡n堂上非?；钴S，能勇敢發(fā)表自己的看法。下面對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行一個(gè)小節(jié)并且為學(xué)生出示小結(jié)提綱。

例1：已知直線1：3x+y-6=0和圓心為c的圓對(duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷。如果相交得出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)

變式訓(xùn)練1：已知圓的方程是，直線y=x+b。

求解：

當(dāng)b為何值時(shí)，圓與直線相切

當(dāng)b為何值時(shí)，圓與直線相離

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行思考、求解以及展示。教師則根據(jù)學(xué)生的活動(dòng)進(jìn)行有效點(diǎn)評(píng)：這幾個(gè)同學(xué)在求解的過程當(dāng)中非常認(rèn)真，而且最終解答的敘述完整，思路清晰，相信這些同學(xué)的良好習(xí)慣將會(huì)在今后高考時(shí)取得一個(gè)好成績(jī)。

2鞏固新知，形成技能

教師這種求解思路在對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解時(shí)有著很好的效果，接下來我們利用這種求解思路來研究圓的切線方程以及相交弦長(zhǎng)問題，大家一起看圖。

你認(rèn)為對(duì)于這類問題應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行有效求解？

學(xué)生則發(fā)表自己對(duì)這類問題如何求解發(fā)表自己的看法。

教師則稱贊學(xué)生：分析的非常到位，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)這種思路在活頁(yè)紙上對(duì)例2、例3進(jìn)行求解。

在學(xué)生練習(xí)的過程當(dāng)中，教師對(duì)這個(gè)課堂進(jìn)行巡視，對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)。

例2直線3x+y-6=0和圓心為o的圓，相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度

教師：剛才大家對(duì)這一問題進(jìn)行解答的過程當(dāng)中，老師在下面收集到了幾個(gè)同學(xué)的檢查過程，假如你是閱卷老師你會(huì)給這些同學(xué)判多少分。

然后教師利用實(shí)物投影投出學(xué)生的檢查過程，并且在班級(jí)內(nèi)部進(jìn)行評(píng)比活動(dòng)。

學(xué)生對(duì)這些解答過程進(jìn)行觀看并且發(fā)表自己的看法。

教師：剛才同學(xué)們積極的發(fā)表了自己的看法，解答過程中有問題的同學(xué)及時(shí)改正，沒有的同學(xué)繼續(xù)努力。接下來大家分析變式2中的問題。

然后教師再次進(jìn)行巡視學(xué)生，個(gè)別輔導(dǎo)

變式訓(xùn)練2：已知過一點(diǎn)M（-3，-3）的直線1被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求解直線1的方程。

3教學(xué)總結(jié)及反思

在本節(jié)課堂實(shí)際進(jìn)行的過程當(dāng)中，為了加深學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解程度筆者在學(xué)生對(duì)知識(shí)的了解基礎(chǔ)上通過螺旋上升的教學(xué)方式讓學(xué)生能夠在教師的指導(dǎo)下對(duì)問題進(jìn)行愈加深入的學(xué)習(xí)。筆者認(rèn)為，要想有效保障教學(xué)質(zhì)量，教師應(yīng)當(dāng)在對(duì)課堂內(nèi)容進(jìn)行全面了解的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)好教學(xué)環(huán)節(jié)，防止碎片化教學(xué)。要進(jìn)行整單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)以及問題串的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師要對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行全