曲面方程：D:有界閉區(qū)域求曲面的面積A曲面方程：D:有界閉區(qū)域求曲面的面積A設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D上的投影為d

,(稱為面積元素)則(見P99)設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積d故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且曲面面積其中D是曲面在坐標(biāo)面z=0上的投影區(qū)域求曲面面積的步驟：（1）求曲面在坐標(biāo)面z=0上的投影區(qū)域D（2）在區(qū)域D上計算二重積分：曲面面積其中D是曲面在坐標(biāo)面z=0上的投影區(qū)域求曲面面積的步同理可得設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：曲面球面的面積A為上半球面面積的兩倍

解例1求半徑為R的球的表面積

反常積分球面的面積A為上半球面面積的兩倍解aaxz

y0設(shè)圓柱面為例2.考慮第一卦限aaxzy0設(shè)圓柱面為例2.考慮第一卦限例2.Daa..xz

y0aaxoyD.....設(shè)圓柱面為.例2.Daa..xzy0aaxoyD.....設(shè)圓柱面為.練習(xí).求球面含在柱面中的那部分面積.解：為所截曲面的面積，為在第一卦限部分的曲面的面積.在面上的投影為：即由對稱性得練習(xí).求球面含在柱面中的那部分面積.解：為所截曲面的面積，為例3.xyzo1例3.xyzo11xyzo1.例3.1xyzo1.例3.xyzo11DS.......例4.xyzo11DS.......例4.例6.ayxzo例6.ayxzo例6.xyzoDS=共同的D:...例6.xyzoDS=共同的D:...小結(jié)曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：

小結(jié)曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：第十章習(xí)題課一、重積分計算的基本方法二、重積分計算的基本技巧三、重積分的應(yīng)用第十章習(xí)題課一、重積分計算的基本方法二、重積分計算的基本技一、重積分計算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2.選擇易計算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內(nèi)到外:面、線、點)3.掌握確定積分限的方法——累次積分法一、重積分計算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐例1

計算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:利用極坐標(biāo)原式例1計算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:利用例2.

把積分化為三次積分,其中由曲面提示:積分域為原式及平面所圍成的閉區(qū)域.例2.把積分化為三次積分,其中由曲面提示:積分域為原例3.計算積分其中是兩個球(R>0)的公共部分.提示:由于被積函數(shù)缺x,y,原式=利用“先二后一”計算方便.例3.計算積分其中是兩個球(R>0)的公共部分二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性簡化計算3.消去被積函數(shù)絕對值符號二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順利用對稱性來簡化重積分的計算是十分有效的，它與利用奇偶性來簡化定積分的計算是一樣的，不過重積分的情況比較復(fù)雜，在運用對稱性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面，不可誤用對①若D關(guān)于x

軸對稱利用對稱性來簡化重積分的計算是十分有效的，它與利用奇第十章第三節(jié)三重積分習(xí)題課剖析ppt課件②若D關(guān)于

y軸對稱③若D關(guān)于原點對稱④若D關(guān)于直線

y=x對稱②若D關(guān)于y軸對稱③若D關(guān)于原點對稱④若D例4.

計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:

(1)

利用對稱性.圍成.例4.計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得(2)積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得其它情形依此類推.三重積分計算的簡化其它情形依此類推.三重積分計算的簡化例5

設(shè)有空間閉區(qū)域

則有（）例5設(shè)有空間閉區(qū)域則有（）例6

解例6解

例7

解利用柱面坐標(biāo)例7解利用柱面坐標(biāo)2a2a0xz

ya.L聯(lián)立柱面坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)？例8.2a2a0xzya.L聯(lián)立柱面坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)？例8.例8.2a0xz

ya.L聯(lián)立D...柱面坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)？.例8.2a0xzya.L聯(lián)立D...柱面坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)？.2xzy例9.o2xzy例9.o例9.xzy2問題：曲面向哪個坐標(biāo)面投影？.o只能向xoz平面投影例9.xzy2問題：.o只能向xoz平面投影xzy2得