第二章幾何造型2.1引言2.2幾何造型理論和方法2.3特征造型2.4參數(shù)化造型第二章幾何造型2.1引言1第一節(jié)引言●幾何模型的作用：（1）為圖形的顯示和輸出提供信息；（2）作為設計和制造的基礎，為分析應用程序提供信息?！駧缀卧煨停豪糜嬎銠C系統(tǒng)描述零件幾何形狀及其相關信息，建立零件計算機模型的技術稱為幾何造型。第一節(jié)引言●幾何模型的作用：2造型理論和方法的發(fā)展過程造型理論和方法的發(fā)展過程3第二節(jié)幾何造型理論和方法2.2.1幾何造型中常用的一些概念●形體的信息結構：通常采用五層信息結構?！癫紶栠\算：是一種正則化的幾何運算，它保證兩個基本元素經(jīng)過運算后所得結果是有意義的，并可進一步參與布爾運算。第二節(jié)幾何造型理論和方法2.2.1幾何造型中常用的一4第二節(jié)幾何造型理論和方法2.2.2幾何造型方法一、線框造型：就是利用零件形體的棱邊和頂點表示零件幾何形狀的一種造型方法。第二節(jié)幾何造型理論和方法2.2.2幾何造型方法5線框造型線框造型6線框造型優(yōu)點：線框造型的方法及其模型都較簡單，便于處理，具有圖形顯示速度快，容易修改優(yōu)點。缺點：（1）圖形的二義性（不能唯一表示一個圖形）；（2）難以進行形體表面交線計算和物性計算，不便于消除隱藏線，不能滿足表面特性組合和存儲及多坐標數(shù)控加工刀具軌跡的生成等。圖形的二義性線框造型優(yōu)點：圖形的二義性7第二節(jié)幾何造型理論和方法2.2.2幾何造型方法二、表面造型：是在線框模型基礎上發(fā)展起來的，利用形體表面描述物體形狀的造型方法。第二節(jié)幾何造型理論和方法2.2.2幾何造型方法8表面造型表面造型9表面造型優(yōu)點：（1）可以識別和顯示復雜的曲面；（2）可以識別表面特征；（3）可以進行高級刀具軌跡的仿真。缺點：（1）不能完整全面地表達物體形狀；（2）難以直接用于物性計算，內部結構不易顯示。表面造型優(yōu)點：10第二節(jié)幾何造型理論和方法2.2.2幾何造型方法三、實體造型：不僅描述形體的幾何信息，而且還描述其各部分之間的聯(lián)系信息以及表面的哪一側存在實體等信息。第二節(jié)幾何造型理論和方法2.2.2幾何造型方法11實體造型優(yōu)點：（1）全面完整地定義立體圖形；（2）可以自動計算物性、檢測干涉、消隱和剖切形體。實體造型優(yōu)點：12第二節(jié)幾何造型理論和方法2.2.3自由曲線、自由曲面造型曲線的分類規(guī)則曲線自由曲線隨機曲線自由曲線：通常指不能直線、圓弧和二次曲線描述的任意形狀的曲線。自由曲線生成方法：擬合、逼近和插值第二節(jié)幾何造型理論和方法2.2.3自由曲線、自由曲面13如何表示象飛機、汽車、輪船等具有復雜外形產(chǎn)品的表面是工程中必須解決的問題。1963年美國波音（Boeing）飛機公司的佛格森（Ferguson）最早引入?yún)?shù)三次曲線，將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，構造了組合曲線和由四角點的位置矢量、兩個方向的切矢定義的佛格森雙三次曲面片。1964年，美國麻省理工學院（MIT）的孔斯（Coons）用封閉曲線的四條邊界定義一張曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝塞爾（Bezier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。同期，法國雪鐵龍（Citroen）汽車公司的德卡斯特里奧（deCastelijau）也獨立地研究出與Bezier類似的方法。自由曲線曲面的發(fā)展過程如何表示象飛機、汽車、輪船等具有復雜外形產(chǎn)品的141972年，德布爾（deBoor）給出了B樣條的標準計算方法。1974年，美國通用汽車公司的戈登（Gorden）和里森費爾德（Riesenfeld）將B樣條理論用于形狀描述，提出了B樣條曲線曲面。1975年，美國錫拉丘茲（Syracuse）大學的佛斯普里爾（Versprill）提出了有理B樣條方法。80年代后期皮格爾（Piegl）和蒂勒（Tiller）將有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條方法，并已成為當前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術。

1972年，德布爾（deBoor）給出了B樣條的標準計算方15參數(shù)曲線基礎（1/6）曲線的表示形式非參數(shù)表示顯式表示隱式表示參數(shù)曲線基礎（1/6）曲線的表示形式16參數(shù)曲線基礎（2/6）參數(shù)表示參數(shù)的含義時間，距離，角度，比例等等規(guī)范參數(shù)區(qū)間[0，1]參數(shù)曲線基礎（2/6）參數(shù)表示17參數(shù)曲線基礎（3/6）參數(shù)矢量表示形式例子：直線段的參數(shù)表示參數(shù)曲線基礎（3/6）參數(shù)矢量表示形式18參數(shù)曲線基礎（4/6）參數(shù)連續(xù)性傳統(tǒng)的、嚴格的連續(xù)性稱曲線P=P(t)在處n階參數(shù)連續(xù)，如果它在處n階左右導數(shù)存在，并且滿足記號參數(shù)曲線基礎（4/6）參數(shù)連續(xù)性19參數(shù)曲線基礎（5/6）幾何連續(xù)性直觀的、易于交互控制的連續(xù)性0階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處0階幾何連續(xù)，如果它在處位置連續(xù)，即記為1階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處1階幾何連續(xù)，如果它在該處,并且切矢量方向連續(xù)記為參數(shù)曲線基礎（5/6）幾何連續(xù)性20參數(shù)曲線基礎（6/6）2階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處2階幾何連續(xù)，如果它在處（1）（2）副法矢量方向連續(xù)（3）曲率連續(xù)參數(shù)曲線基礎（6/6）2階幾何連續(xù)21參數(shù)表示的好處有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算設計或表示形狀更直觀，許多參數(shù)表示的基函數(shù)如Bernstein基和B樣條函數(shù)，有明顯的幾何意義參數(shù)表示的好處有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀22曲線曲面擬合方法已知條件的表示方法一系列有序的離散數(shù)據(jù)點型值點控制點邊界條件連續(xù)性要求曲線曲面擬合方法已知條件的表示方法23曲線曲面擬合方法生成方法插值點點通過型值點插值算法：線性插值、拋物樣條插值、Hermite插值逼近提供的是存在誤差的實驗數(shù)據(jù)最小二乘法、回歸分析提供的是構造曲線的輪廓線用的控制點Bezier曲線、B樣條曲線等擬合曲線曲面擬合方法生成方法24參數(shù)多項式曲線（1/4）為什么采用參數(shù)多項式曲線表示最簡單理論和應用最成熟定義--n次多項式曲線參數(shù)多項式曲線（1/4）為什么采用參數(shù)多項式曲線25參數(shù)多項式曲線（2/4）矢量表示形式加權和形式缺點沒有明顯的幾何意義與曲線的關系不明確，導致曲線的形狀控制困難參數(shù)多項式曲線（2/4）矢量表示形式26參數(shù)多項式曲線（3/4）矩陣表示矩陣分解幾何矩陣控制頂點基矩陣M

確定了一組基函數(shù)參數(shù)多項式曲線（3/4）矩陣表示27參數(shù)多項式曲線（4/4）例子—直線段的矩陣表示P0P1P0+P1幾何矩陣G基矩陣MT參數(shù)多項式曲線（4/4）例子—直線段的矩陣表示P0P1P0+28三次Hermite曲線(1/7)定義給定2個矢量，稱滿足條件的三次多項式曲線P(t)為Hermite曲線－插值樣條P0P1R0R1三次Hermite曲線(1/7)定義P0P1R0R129三次Hermite曲線(2/7)矩陣表示條件三次Hermite曲線(2/7)矩陣表示30三次Hermite曲線(3/7)合并解三次Hermite曲線(3/7)合并31三次Hermite曲線(4/7)基矩陣與基函數(shù)（調和函數(shù)）三次Hermite曲線(4/7)基矩陣與基函數(shù)（調和函數(shù)）32三次Hermite曲線(5/7)形狀控制改變端點位置矢量調節(jié)切矢量的方向調節(jié)切矢量的長度三次Hermite曲線(5/7)形狀控制33三次Hermite曲線(6/7)三次參數(shù)樣條曲線樣條?曲線的定義給定參數(shù)節(jié)點，型值點，求一條的分段三次參數(shù)曲線，使。P(t)稱為三次參數(shù)樣條曲線三次Hermite曲線(6/7)三次參數(shù)樣條曲線34三次Hermite曲線(7/7)優(yōu)點：簡單，易于理解缺點：難于給出兩個端點處的切線矢量作為初始條件不方便所有參數(shù)插值曲線的缺點：只限于作一條點點通過給定數(shù)據(jù)點的曲線只適用于插值場合，如外形的數(shù)學放樣不適合于外形設計三次Hermite曲線(7/7)優(yōu)點：所有參數(shù)插值曲線的缺點35自由曲線空間參數(shù)曲線可以看作是一個動點在空間的軌跡，它可以用位置矢量連續(xù)不斷的描述各瞬間位置。如圖所示，曲線的參數(shù)方程一般可以寫為：工程中常見的直線、圓弧、螺旋線等規(guī)則曲線也可以用上述參數(shù)方程表達。自由曲線空間參數(shù)曲線可以看作是一個動點在空間的軌跡，它可以用36Ferguson曲線Ferguson曲線37Ferguson曲線Ferguson曲線38Ferguson曲線Ferguson曲線39由于幾何外形設計的要求越來越高,傳統(tǒng)的曲線曲面表示方法,已不能滿足用戶的需求。1962年，法國雷諾汽車公司的P.E.Bezier構造了一種以逼近為基礎的參數(shù)曲線和曲面的設計方法，并用這種方法完成了一種稱為UNISURF的曲線和曲面設計系統(tǒng)，1972年，該系統(tǒng)被投入了應用。Bezier方法將函數(shù)逼近同幾何表示結合起來，使得設計師在計算機上就象使用作圖工具一樣得心應手。

由于幾何外形設計的要求越來越高,傳統(tǒng)的曲線曲面表示方40Bezier曲線Bezier曲線的遞推(deCasteljau)算法

計算Bezier曲線上的點，可用Bezier曲線方程，但使用deCasteljau提出的遞推算法則要簡單得多。

如圖3.1.10所示，設P0、P02、P2是一條拋物線上順序三個不同的點。過P0和P2點的兩切線交于P1點，在P02點的切線交P0P1和P2P1于P01和P11，則如下比例成立：這是所謂拋物線的三切線定理。

Bezier曲線Bezier曲線的遞推(deCastelj41圖3.1.10拋物線三切線定理

圖3.1.10拋物線三切線定理42當P0，P2固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為t:(1-t)，即有：

t從0變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們是兩條一次Bezier曲線。將一、二式代入第三式得：

當P0，P2固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為t:(1-t)，即43當t從0變到1時，它表示了由三頂點P0、P1、P2三點定義的一條二次Bezier曲線。并且表明：這二次Bezier曲線P02可以定義為分別由前兩個頂點(P0,P1)和后兩個頂點(P1,P2)決定的一次Bezier曲線的線性組合。依次類推，由四個控制點定義的三次Bezier曲線P03可被定義為分別由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)確定的二條二次Bezier曲線的線性組合，由(n+1)個控制點Pi(i=0,1,...,n)定義的n次Bezier曲線P0n可被定義為分別由前、后n個控制點定義的兩條(n-1)次Bezier曲線P0n-1與P1n-1的線性組合：當t從0變到1時，它表示了由三頂點P0、P1、P2三點定44由此得到Bezier曲線的遞推計算公式：這便是著名的deCasteljau算法。用這一遞推公式，在給定參數(shù)下，求Bezier曲線上一點P(t)非常有效。上式中：Pi0=Pi是定義Bezier曲線的控制點，P0n即為曲線P(t)上具有參數(shù)t的點。deCasteljau算法穩(wěn)定可靠，直觀簡便，可以編出十分簡捷的程序，是計算Bezier曲線的基本算法和標準算法。

由此得到Bezier曲線的遞推計算公式：45當n=3時，decasteljau算法遞推出的Pik呈直角三角形，對應結果如圖3.1.11所示。從左向右遞推，最右邊點P03即為曲線上的點。

圖3.1.11n=3時，Pin的遞推關系

當n=3時，decasteljau算法遞推出的Pik呈直角46長度為t:(1-t)的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點就是第一級遞推生成的中間頂點Pi1(i=0,1,...,n-1)，對這些中間頂點構成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點Pi2(i=0,1,...,n-2)。重復進行下去，直到n級遞推得到一個中間頂點P0n即為所求曲線上的點P(t)，如圖3.1.12所示。

長度為t:(1-t)的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同47圖3.1.12幾何作圖法求Bezier曲線上一點（n=3，t=1/4）

圖3.1.12幾何作圖法求Bezier曲線上一點（n=3，48Bezier曲線Bezier曲線49Bezier曲線Bezier曲線50Bezier曲線Bezier曲線51B樣條曲線B樣條曲線52B樣條曲線B樣條曲線53B樣條曲線B樣條曲線54B樣條曲線B樣條曲線55B樣條曲線B樣條曲線56B樣條曲線B樣條曲線57非均勻有理B樣條（NURBS）曲線非均勻有理B樣條（NURBS）曲線58非均勻有理B樣條（NURBS）曲線非均勻有理B樣條（NURBS）曲線59第二節(jié)幾何造型理論和方法●

自由曲面：是指不能基本立體要素（棱柱、棱錐、球、一般回轉體、有界平面等）描述的呈自然形狀的曲面。第二節(jié)幾何造型理論和方法●自由曲面：是指不能基本立體60自由曲面自由曲面61Coons曲面Coons曲面62Coons曲面Coons曲面63Beizer曲面Beizer曲面64B樣條曲面B樣條曲面65NURBS曲面曲面的反算、拼接和互化NURBS曲面曲面的反算、拼接和互化66實例實例67實例實例68實例實例69實例實例70實例實例71第二節(jié)幾何造型理論和方法2.2.4實體造型的特點因為實體模型具有關于立體的各種信息，因而可用來計算物體質量、質心、體積、轉動慣量等物質特性，還可對物體進行實體剖切、有限元網(wǎng)格劃分分析，優(yōu)化設計等。實體模型被廣泛用于CAD／CAM的各領域中。

作為立體的一種表示方法，實際上實體造型通常并不是如上所述的按點一線一面一體的過程來完成物體的造型(盡管這樣也可以完成造型)，而是由一些基本體素(volumeprimitive)、(如圓柱、長方體、……等)的交(Product)、并(Unin)、差(Difference)組合來表示物體的形狀，即所謂的體素幾何造型。

第二節(jié)幾何造型理論和方法2.2.4實體造型的72

一、實體模型的有效性在70年代末期以前，在三維幾何造型技術方面尚未建立起完營的理論，對大多數(shù)幾何造型系統(tǒng)來說，實體模型的有效性、無二義性、完善性都要依靠用戶自己來檢查，隨著實體模型復雜程度的提高，人的這種干預性檢查就難以進行。同時，CAD／CAM系統(tǒng)的迅速發(fā)展要求實體模型有時能作為某種應用的輸入而必須能被自動地修改和處理。因此，對實體及其有效性作出嚴格的定義就成為十分必要。一、實體模型的有效性731、實體的定義和正則幾何體我們說，幾何體是空間點的集合，所謂正則幾何體是由幾何體內部的點集和緊包著這些點的表面組成。正則幾何體就是有效實體。1）．有效實體的性質(1)剛性一個有效實體的形狀必須保持不變，即其形狀與其位置和取向無關；(2)維數(shù)的均勻性一個有效實體的各部分應是三維的．懸點、懸邊和懸面；〔3)有界性一個有效實體必須占有一個有限空間；(4)邊界的確定性根據(jù)一個有效實體的邊界可區(qū)別出實體的內部和外部；(5)一個有效實體經(jīng)過一系列剛體運動或任意序列的正則集合運算，仍保持為有效實體。1、實體的定義和正則幾何體742．實體表面的性質(1)連通性實體表面上任意兩點都可用該表面上的一條路徑連接起來；(2)有界性一個實體的表面把空間分為互不連通的兩部分，其中實體內的部分是有限的；(3)非自相交性一個實體的表面不可自相交；(4)可取向性一個實體的表面兩側可明確定義出實體的內側和外側；(5)封閉性對多面體言，一個實體表面的封閉性是由表面上多邊形網(wǎng)格各元素的拓撲關系確定的，即每條邊連接且僅連接兩個面，每條邊有且僅有兩個端點，圍繞每個面的環(huán)具有相同數(shù)量的頂點和邊。2．實體表面的性質75二、正則集合運算能產(chǎn)生正則幾何體的集合運算稱為正則集合運算，又稱為正則布爾運算，相應的正則集合算于有；“∪*”(正則并)，“∩*”(正則交)，“＼*”(正則差)。二、正則集合運算76第二章-幾何造型及自由曲面ppt課件77（如圖7—10(a)、(b)所示，設三維空間有兩個圓柱體A和B。圖7—l0(c)表示A與B的普通集合交，其結果是一條直線，這條線段不是有效實體，稱為懸邊，但在正則集合運算中不允許保留懸邊。如果A和B理解為兩個球，則圖7—10[c]所示A與B的普通集合交的結果是一個點，點也不是有效實體，稱為懸點，懸點在正則集合運算中也是不允許保留的。圖7—10(f)所示C∩D結合含有懸面，圖(g)為正則集合運算C∩*D的結果。（如圖7—10(a)、(b)所示，設三維空間有兩個圓柱體A和78在正則集合運算中，要考慮如何消除或不產(chǎn)生懸點，懸邊和懸面．在實體造型中，實現(xiàn)正則集合運算有兩種方法：(1)先按普通集合運算求出結果，后用一些規(guī)則判斷，消除不符合正則幾何定義的部分(即懸邊、懸面等)，從而得到正則幾何體，這是間接法。(2)定義正則集合算子的表達式，用以直接得出符合正則幾何體定義的結果。

在正則集合運算中，要考慮如何消除或不產(chǎn)生懸點，懸邊和79三、歐拉公式和歐拉操作

一個實體的表面是封閉的。一實體的表面上多邊形網(wǎng)格各拓撲元素(頂點、邊、面)之間的關系應滿足一定的約束條件，我們可用歐拉公式來檢驗這種拓撲關系是否滿足條件，從而在幾何造型過程中應用歐拉公式來檢驗新產(chǎn)生的實體是否為有效實體。

三、歐拉公式和歐拉操作801．簡單多面體的歐拉公式多面體一般是指由平面多邊形為面組成的物體。簡單多面體是指經(jīng)過連續(xù)幾何形變可轉換成球體的多面體，元孔無槽的物體都是簡單多面體，也可以說，簡單多面體是與球具有拓撲等價的多面體，例如．長方體、三棱錐等都是簡單多面體。設簡單多面體的頂點數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)分別為V、E、F，則有下面的關系V-E+F=2這就是著名的歐拉公式。

1．簡單多面體的歐拉公式81如圖7—11(a)、(b)所示，對于長方體和三棱錐，歐拉公式均成立。如圖7—11(a)、(b)所示，對于長方體和三棱錐，歐拉公式822．一般多面體的歐拉公式簡單多面體的歐拉公式不適用于圖7—11(c)、(d)所示非簡單多面體。我們設L為多面體上不連通的孔環(huán)數(shù)，B為互不連接的多面體數(shù)量，H為貫穿多面體的孔數(shù)，則擴展后的歐拉公式為：V–E+F=2(B–H)+L此公式又稱為歐拉—泊因萊公式圖7－11示出了—般多面體歐拉公式的應用情況。(實際上，式(7—1)是式(7—2)的一種特殊情況。因此滿足式(7—1)的物體，也必然滿足式(7—2)2．一般多面體的歐拉公式832.2.5實體造型方法

●

常用的實體造型方法：體素調用法、空間點列法、單元分解法、掃動法、邊界表示法、構造實體幾何法

2.2.5實體造型方法

●常用的實體造型方法：體素調用法84第二章-幾何造型及自由曲面ppt課件85第二章-幾何造型及自由曲面ppt課件86第二章-幾何造型及自由曲面ppt課件87第二節(jié)幾何造型理論和方法●

體素調用法：這種表示模式采用規(guī)范化的幾何形體及其形狀參數(shù)描述形體。該表示方法就是用一組參數(shù)來定義一族形狀類似但大小不同的物體。用這種方法時，新的實體是某一類純體素的一個例子，而每一類純體素是用參數(shù)形式定義的，若要定義這一類的某個物體零件，只要給出它所屬的類別以及一組參數(shù)值．例如，一個正棱柱可定義為：

棱柱＝(棱數(shù)，棱高、外接圓柱直徑)第二節(jié)幾何造型理論和方法●體素調用法：這種表示模式采88體素調用法對這些規(guī)范化的幾何形體作變比或者定義不同的參數(shù)值，將可產(chǎn)生不同的形體。體素調用法對這些規(guī)范化的幾何形體作變比或者定義不同的89優(yōu)缺點：這種表示方法比較簡單，但它能表示的物體范圍很小，只限于造型系統(tǒng)中預先定義的那些物體類，不能構造出其結構不同于預定義的物體類的物體，這種表示方法主要應用于采用成組技術的制造業(yè)及工業(yè)上已定型的標準件的表示。

優(yōu)缺點：90第二節(jié)幾何造型理論和方法●

空間點列法：這種表示模式將形體所在空間分割成具有固定形狀（如立方體）的、彼此相連的一系列單元，每個單元可用其形心坐標（x,y,z）表示。通過記錄形體對單元的占據(jù)狀態(tài)可描述形體的幾何形狀。這種表示模式是坐標參數(shù)的有序集合，即空間點列。第二節(jié)幾何造型理論和方法●空間點列法：這種表示模式將91空間點列法空間點列法空間點列法空間點列法92第二章-幾何造型及自由曲面ppt課件93優(yōu)缺點：這是一種數(shù)字化的近似表示法。很明顯，單元的大小直接影響到模型的分辨率。占空單元枚舉法要求有大量的存儲空間。此外，它不能表達一個物體任意兩部分之間的關系，也沒有關于點、線、面的概念，而僅僅是一種空間的近似。該表示法的優(yōu)點是它的算法比較簡單，同時也是物性計算和有限元計算的基礎。優(yōu)缺點：94第二節(jié)幾何造型理論和方法●

單元分解法：就是首先將形體分解為一些列單元，然后表示這些單元及其相互間的連接關系。

單元分解法第二節(jié)幾何造型理論和方法●單元分解法：就是首先將形體95

八叉樹是單元分解法的主要形式。下面對此作進一步介紹八叉樹是一種層次結構。八叉樹表示是用遞歸劃分將研究的空間劃分成八個封限，且組成八分支的樹的形式(八叉樹因此得名)，圖7—14(a)為八卦限劃分。八叉樹是單元分解法的主要形式。下面對此作進一步介紹96八叉樹表示一個實體原理如何用八叉樹表示一個實體的信息呢?我們先將實體所在空間用一個立方體表示。后按“一個分割成八個小立方體”的規(guī)則，檢查實體與每個小立方體的占有關系，決定是否需要作進一步分割。如果當前一個立方體完全被實體占有，則該立力體表示為“滿”，如果該立方體根本不被實體占有，則該立方體表示為“空”；如果實體僅占有該立方體的部分空間，則將該立方體分割成八個更小的立方體。如此分割、檢查、再分割、再檢查、……，這是一個遞歸的過程。每產(chǎn)生八個立方體時，就對這些立方體進行編號。圖7—14(b)表示用八叉樹結構圖例實體的遞歸過程。樹根結點表示實體所在空間。

八叉樹表示一個實體原理如何用八叉樹表示一個實體的信息呢?我們97如果顯示器分辨率為1024×1024，樹根為第0層，則遞歸分割10次后，得到最大的空間體單元陣列，這時體單元的二維投影是一個像素。節(jié)點數(shù)為2×2×2，若這時仍有體單元被實體部分地占有，則可設置該體單元為“滿”或“空”。因此，樹的終止節(jié)點，即葉節(jié)點，只能是“滿”節(jié)點或“空”節(jié)點，）而那些非“滿”非“空”的節(jié)點是表示體單元被進一步分割的節(jié)點。由上述可以看出，八叉樹表示形式是一種近似方法。如果顯示器分辨率為1024×1024，樹根為第0層，則遞歸分98用八叉樹結構表示實體有如下優(yōu)點：’①可以用統(tǒng)一而簡單的立方體表示任意的三維形狀的實體，因此數(shù)據(jù)結構簡單劃一；②易于實行實體之間的集合運算，如交、并、差等；③易于檢查實體間的運動干涉問題；④易于進行物體的物性計算，如體積、表面積、質量⑤由于各小立方體在數(shù)據(jù)結構中總是排序的，

用八叉樹結構表示實體有如下優(yōu)點：’99用八叉樹結構表示實體亦有下述弱點。①難以進行某些幾何變換，如旋轉、變比等；②八叉樹表示只是實體的一種近似表示方法，它很難轉換成精確的邊界表示以實現(xiàn)繪圖輸出；

③存儲量比較大，盡管只需要存儲“滿”的立方體單元．但所需要的體單元數(shù)量和計算機存儲量正比于實體表面積(而不是體積)。在實體邊界上約分割可能使小立方體數(shù)量急劇增加，出現(xiàn)所謂“單元爆炸”。

用八叉樹結構表示實體亦有下述弱點。100第二節(jié)幾何造型理論和方法●

用掃描法時，一個實體的形狀是一個簡單物體或具有一定形狀的一個圖形沿一條軌跡運動所掃出的空間。因此，用掃描法表示一個實體時，必須具有下列兩個要素：①一個簡單物體或一個平面圖形；②—條運動軌跡。

★基體的定義★基體掃動軌跡●掃動方式：★平移掃動—掃動軌跡為直線★旋轉掃動—掃動軌跡為圓或圓弧

第二節(jié)幾何造型理論和方法●用掃描法時，一個實體的形狀101掃動法平移掃動掃動法平移掃動102掃動法旋轉掃動掃動法旋轉掃動103第二章-幾何造型及自由曲面ppt課件104掃動法掃動法105應用實例1-硼鋁復合材料管拉伸實驗硼鋁復合材料管有限元模擬HarbinInstituteofTechnology應用實例1-硼鋁復合材料管拉伸實驗硼鋁復合材料管有限元模擬H106應用實例1-硼鋁復合材料管拉伸實驗硼鋁復合材料管接頭HarbinInstituteofTechnology應用實例1-硼鋁復合材料管拉伸實驗硼鋁復合材料管接頭Harb107應用實例1-硼鋁復合材料管拉伸實驗硼鋁復合材料管接頭HarbinInstituteofTechnology應用實例1-硼鋁復合材料管拉伸實驗硼鋁復合材料管接頭Harb108掃描法的優(yōu)點是：①使用比較方便，例如，建筑物的實體模型可通過先設計建筑平面團，然后作平移掃描得到；⑨掃描表示形式可方便地作為三維實體造型的一種輸入手段。掃描法在加工過程模擬和運動干涉檢查中也十分有用。掃描法的優(yōu)點是：109第二節(jié)幾何造型理論和方法●

邊界表示法（B-reps）：是以形體表面的細節(jié)，即以頂點、邊、面等幾何元素及其相互間的連接關系來表示形體的。

第二節(jié)幾何造型理論和方法●邊界表示法（B-reps）110第二章-幾何造型及自由曲面ppt課件111邊界表示法邊界表示法112邊界表示法邊界表示法數(shù)據(jù)結構邊界表示法邊界表示法113邊界表示法的一個很重要的特點是在該表示法中特物體的幾何信息和拓撲信息分開來表示。這樣做的好處是：①便于具體查詢物體中的各幾何元素，獲取它們的有關信息。②容易支持對物體的各種局部操作。比如進行倒角，我們不必去修改物體的整體數(shù)據(jù)結構，而只需提取被倒角的校邊及其相鄰兩表面的有關信息，然后施加倒角運算就可以了。③對于具有相同拓撲結構而只是大小，尺寸不同的一類物體，可以用統(tǒng)一的數(shù)據(jù)結構加以表示。這對于處理機械工程中具有相同型別的一委零件有很大的實際意義。

④便于在數(shù)據(jù)結構上附加各種非幾何信息，如物體表面的粗糙度、硬度等。

邊界表示法的一個很重要的特點是在該表示法中特物體的幾何信息和114邊界表示法的主要優(yōu)點是：由于實體的面、環(huán)、邊、頂點的拓撲和幾何信息被充分地表示出來，因此集合運算的中間結果可繼續(xù)參加集合運算，從而可構造較復雜的實體，也便于顯示和畫出圖形。因而該表示法在幾何造型系統(tǒng)中得到了最廣泛的應用。該表示法的主要缺點是數(shù)據(jù)存儲量較大，但在存儲硬件和技術有較大發(fā)展的今天，存儲空間已不是什么大問題。

前述各鐘表示方法都有其優(yōu)缺點，任何單一表示法均難以滿足對造型物體的各種需要。實際幾何造型系統(tǒng)中應用的往往都是一種采用了不同形式表達方法的混合模式。常見的是CSG法與邊界表示法的混合。

邊界表示法的主要優(yōu)點是：由于實體的面、環(huán)、邊115構造實體幾何法（CSG）●它的全稱是ConstructivSolidGeometry，意譯為體素構造法。這是在幾何造型中得到廣泛應用的一種表示方法。該方法的基本思想是t任何復雜形體都可用若干簡單形體的加、減組合來表示?；蛘撸粋€復雜形體可通過簡單形體之間的正則集合運算得到。

使用布爾算子實現(xiàn)這種組合?！駱嬙鞂嶓w幾何法主要包括：★體素的定義★體素之間的組合（布爾運算）構造實體幾何法（CSG）●它的全稱是Constructiv116簡單形體稱為體素(vo1umeprimitive)。常用的造型體素有長方體、圓柱體、球、圓錐、圓環(huán)、楔、棱錐等。圖7—16示出了它們的形狀及其定義參數(shù)。此外，還可通過前述掃描法的表示形式作為輸入來產(chǎn)生新的體素。簡單形體稱為體素(vo1umeprimitive)。常用的117第二章-幾何造型及自由曲面ppt課件118CSG法的優(yōu)點是：①用戶操作方便，造型概念直觀。在造型過程中，通過輸入或調用體素庫中的體素以及選擇布爾算子來構造復雜實體的模型。②能夠表示的實體范圍較大。體素種類越多，則能夠構造出的實體越復雜。

CSG法也有其缺點：①集合運算的中間結果很難用簡單的代數(shù)方程表示，因而難以繼續(xù)參與集合運算。第—次集合運算所以能進行，是因為用戶輸入體素時，輸入了體系的有關定義參數(shù)，然后由造型系統(tǒng)確定該體素的表面方程。當進行集合運算時，例如求交運算，便可通過表面方程求交。②此法不便于圖形輸出。

在實際應用中，往往是把CSG法與下面將要介紹的邊界表示法相結合。

CSG法的優(yōu)點是：119B-reps/CSG混合法●

B-reps法在圖形處理上有明顯優(yōu)勢，根據(jù)B-reps數(shù)據(jù)可迅速轉換為線框模型，尤其在曲面造型領域，便于計算機處理、交互設計與修改。此外，B-reps多面體系統(tǒng)在生成濃淡圖時也有特點。但數(shù)據(jù)結構復雜?！馛SG表示法在幾何形體定義方面具有精確、嚴格的優(yōu)點。其數(shù)據(jù)結構比較簡單。CSG表示法模型誤差很小。CSG表示法在形成產(chǎn)品模型方面具有優(yōu)勢。但其邊界信息不完整，不能做局部修改?！馚-reps（內部模型）和CSG（外部模型）混合法B-reps/CSG混合法●B-reps法在圖形處理上有明120第二章-幾何造型及自由曲面ppt課件121第二章-幾何造型及自由曲面ppt課件122第二章-幾何造型及自由曲面ppt課件123第三節(jié)特征造型●幾何造型法存在問題：★零件定義不完整；★信息定義的層次低?！裉卣髟煨停菏且詫嶓w模型為基礎，用具有一定設計或加工功能的特征作為造型的基本單元建立零件的幾何模型。-使實體賦于生命的特征第三節(jié)特征造型●幾何造型法存在問題：124應用特征造型技術具有很大的意義。它使產(chǎn)品設計工作在更高的層次上進行，設計人員的操作對象不再是原始的線條和體宗，而是產(chǎn)品的功能要素，如螺紋孔、定位孔、倒角等。特征的引用直接體現(xiàn)了設計意圖，使得建立的產(chǎn)品模型更容易為別人理解和組織生產(chǎn)，設計的圖樣也更容易修改。設計人員可以將更多精力用在創(chuàng)造性構思上；它有助于加強產(chǎn)品設計、分析、工藝準備、加工、檢驗各部門間的聯(lián)系，更好地將產(chǎn)品的設計意圖貫徹到各個后續(xù)環(huán)節(jié)并及時得到其意見反饋，為開發(fā)新一代的基于統(tǒng)一產(chǎn)品信息模型的CAD／CAPP／CAM集成系統(tǒng)創(chuàng)造前提；它有助于推動行業(yè)內的產(chǎn)品設計和工藝方法的規(guī)范化、標準化和系列化，使得產(chǎn)品設計中及早考慮制造要求，保證產(chǎn)品結構有良好的工藝性；它將推動各行業(yè)實踐經(jīng)驗的歸納、總結，從中提煉出更多規(guī)律性知識，以此豐富各種領域專家系統(tǒng)的規(guī)則庫和知識庫，促進智能CAD系統(tǒng)和智能制造系統(tǒng)的逐步實現(xiàn)。應用特征造型技術具有很大的意義。它使產(chǎn)品設計工作在更高的層次125特征造型(Feature)●常用的特征信息：★形狀特征：與公稱幾何相關的概念（槽、凸臺、孔、殼、壁）★精度特征：可接受的公稱形狀和大小的偏移量★技術特征：性能參數(shù)★材料特征：材料、熱處理和條件等★裝配特征：零件相關方向、相互作用面和配合關系特征造型(Feature)●常用的特征信息：126以機械行業(yè)為例，零件是由特征形狀的幾何實體組成的。常用的特征形狀稱之為“主特征”，如圓栓、圓錐、長方體、三角塊等。主特征之間經(jīng)過布爾運算形成毛坯，毛坯再經(jīng)過機械加工(如鉆孔、開槽、銑平面等)就可以得到零件的外形。內機械加工形成的特定形狀叫作“輔助特征”，每個輔助特征對應一組或幾組加工工藝。除形狀信息之外，機械零件中還包含許多其它信息，如尺寸公差、形位公差、表面粗糙度以及零件的材料、熱處理等，這些也稱之為輔助特征。以機械行業(yè)為例，零件是由特征形狀的幾何實體組成的。常用的特征127特征造型●特征造型的優(yōu)點：(1)特征造型著眼于更好地表達產(chǎn)品的完整的技術和生產(chǎn)管理信息，為建立產(chǎn)品的集成信息服務。(2)它使產(chǎn)品設計工作在更高的層次上進行，設計人員的操作對象不再是原始的線條和體素，而是產(chǎn)品的功能要素，象螺紋孔、定位孔、鍵槽等。(3)它有助于加強產(chǎn)品設計、分析、工藝準備、加工、檢驗各個部門間的聯(lián)系，更好地將產(chǎn)品的設計意圖貫徹到各個后續(xù)環(huán)節(jié)并且及時得到后者的意見反饋，為開發(fā)新一代基于統(tǒng)一產(chǎn)品信息模型的CAD／CAPP／CAM集成系統(tǒng)創(chuàng)造前提。特征造型●特征造型的優(yōu)點：128特征造型●特征造型方法：（1）交互特征標定（2）自動特征識別（3）基于特征設計特征造型●特征造型方法：129特征的定義方法可歸結為三種：在幾何模型上人工定義特征、由計算機自動識別幾何模型中的特征和實體造型上的寄生特征造型特征的定義方法可歸結為三種：在幾何模型上人工定義特征、由計算130由計算機自動識別幾何模型中特征的定義方法是在CAD系統(tǒng)將零件的幾何模型生成之后，再由計算機對幾何模型進行處理，在幾何模型中抽取出特征，再與已定義好的特征結構進行比較．以確定抽取出的特征的正確性。整個過程包含了幾何體的幾何信息及拓撲信息的抽取、幾何體的分類、相鄰幾何體之間關系的確定、以及特征的匹配工作。由于識別工作非常復雜，所以現(xiàn)階段只限于有限的簡單特征的識別，如圖7—48。由計算機自動識別幾何模型中特征的定義方法是在CAD系統(tǒng)將零件131實體造型是現(xiàn)有CAD系統(tǒng)的核心部分，技術己比較成熟，具有較強的功能，如幾何體之間的交、并、差運算，各種顯示和編輯功能(如增、刪、改等)，以及有限元分析、裝配、運動干涉檢查、數(shù)據(jù)管理等。這些功能在特征造型中也是相同的。利用現(xiàn)有功能，并在原CAD系統(tǒng)基礎上再開發(fā)特征用戶界面及特征造型功能，就形成了實體造型上的寄生特征造型，見圖7—49實體造型是現(xiàn)有CAD系統(tǒng)的核心部分，技術己比較成熟，具有較強132第四節(jié)參數(shù)化造型●參數(shù)化造型：是用幾何約束、工程方程與關系來說明產(chǎn)品模型的形狀特征，從而達到設計一簇在形狀或功能上具有相似性的設計方案。目前能處理的幾何約束類型基本上是組成形體的幾何實體公稱尺寸關系和尺寸之間的工程關系，因此，參數(shù)化造型技術又稱