第三章、非線性粘彈流體的本構(gòu)方程第一節(jié)、本構(gòu)方程第二節(jié)、空間描述法和物質(zhì)描述法第三節(jié)、廣義Maxwell模型第三章、非線性粘彈流體的本構(gòu)方程第一節(jié)、本構(gòu)方程1聚合物具有多層次內(nèi)部結(jié)構(gòu)，當(dāng)其在加工流場中受外力作用時(shí)，它們的變化相當(dāng)復(fù)雜，表現(xiàn)出與之相關(guān)聯(lián)的各種宏觀流變行為。（1）不同類型流體的流動(dòng)曲線聚合物具有多層次內(nèi)部結(jié)構(gòu)，當(dāng)其在加工流場中受外力作用時(shí)，它們2（2）weissenberg效應(yīng)（2）weissenberg效應(yīng)3（3）出口脹大（3）出口脹大4（4）二次流動(dòng)當(dāng)聚合物流動(dòng)在一橢圓形截面的管子中流動(dòng)時(shí)，除了軸向流動(dòng)外，還可能出現(xiàn)圖中對稱于橢圓兩軸線的環(huán)流。稱為二次流動(dòng)。第二法向應(yīng)力差的存在是出現(xiàn)二次流動(dòng)的必要條件。第二次法向應(yīng)力差與聚合物大分子鏈被拉伸的程度相關(guān)。對于聚合物共混來說，為了更加達(dá)到均勻混合的目的，二次流動(dòng)的出現(xiàn)是有利的。（4）二次流動(dòng)當(dāng)聚合物流動(dòng)在一橢圓形截面的管子中流動(dòng)時(shí)5（5）無管虹吸（5）無管虹吸6第一節(jié)、本構(gòu)方程概念

本構(gòu)方程——描述一大類材料所遵循的與材料結(jié)構(gòu)屬性相關(guān)的力學(xué)響應(yīng)規(guī)律的方程。不同的材料以不同本構(gòu)方程表現(xiàn)其基本物性：胡克彈性體的本構(gòu)方程為牛頓流體的本構(gòu)方程實(shí)質(zhì)方程為理想氣體的本構(gòu)方程為

PV=nRT非牛頓流體的本構(gòu)方程為第一節(jié)、本構(gòu)方程概念本構(gòu)方程——描述一大類材料所遵7

對于粘性流體，現(xiàn)在時(shí)刻的應(yīng)力只依賴于現(xiàn)在時(shí)刻的形變速率張量，與形變的歷史無關(guān)。Φ1=φ2=0，η為常數(shù)，稱為牛頓流體。η=η(γ),稱為非牛頓流體。對于粘彈性流體，Φ1和φ2不等于0，此時(shí)流體具有記憶特性，現(xiàn)在時(shí)刻的應(yīng)力不僅與當(dāng)前的形變速率張量有關(guān)，還與形變歷史有關(guān)。對高分子材料流變學(xué)來講，尋求能夠正確描述高分子液體非線性粘彈響應(yīng)規(guī)律的本構(gòu)方程無疑為其最重要的中心任務(wù)，這也是建立高分子材料流變學(xué)理論的基礎(chǔ)。對于粘性流體，現(xiàn)在時(shí)刻的應(yīng)力只依賴于現(xiàn)在時(shí)刻的形變速率8關(guān)于非線性粘彈流體的本構(gòu)方程主要可分為兩大類：速率型（亦稱微商型）本構(gòu)方程和積分型本構(gòu)方程。

所謂速率型本構(gòu)方程，即方程中包含了應(yīng)力張量或形變速率張量的時(shí)間微商，或同時(shí)包含這兩個(gè)微商。所謂積分型本構(gòu)方程則利用迭加原理，把應(yīng)力表示成應(yīng)變歷史上的積分，或者用一系列松弛時(shí)間連續(xù)分布的模型的疊加來描述材料的非線性粘彈性。積分又分為單重積分或多重積分。速率型本構(gòu)方程和積分型本構(gòu)方程本質(zhì)上是等價(jià)的。關(guān)于非線性粘彈流體的本構(gòu)方程主要可分為兩大類：速率型（亦稱微9速率型本構(gòu)方程

一、經(jīng)典的線性粘彈性模型——Maxwell模型已知高分子材料本體的線性粘彈行為可以用一些力學(xué)模型，如Maxwell模型、開爾文模型、及它們的恰當(dāng)組合進(jìn)行描述。速率型本構(gòu)方程一、經(jīng)典的線性粘彈性模型——Maxwell10彈簧是最簡單的彈性模型，粘壺是最簡單的粘性模型，彈簧盒粘壺的組合構(gòu)成粘彈性材料的機(jī)械模型。彈簧滿足線形彈性體的三個(gè)條件：（1）應(yīng)力與應(yīng)變的響應(yīng)是瞬時(shí)的：對突加載荷，一旦加載，彈簧立即變形，一旦卸載，彈簧立即恢復(fù)到原來的形狀。（2）對線性彈簧，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。（3）應(yīng)力和應(yīng)變都不隨時(shí)間而改變。彈簧是最簡單的彈性模型，粘壺是最簡單的粘性模型，彈簧盒粘壺的11一個(gè)具有一塊平板浸沒在一個(gè)充滿粘度為,符合牛頓流動(dòng)定律的流體的小壺組成的粘壺,可以用來描述理想流體的力學(xué)行為.一個(gè)具有一塊平板浸沒在一個(gè)充滿粘度為,符合牛頓流動(dòng)定律的流12Maxwell模型:特點(diǎn):兩個(gè)單元串連而成,外力作用在此模型上時(shí),彈簧和粘壺所受的外力相同,總應(yīng)變等于兩個(gè)應(yīng)變之和:=1+2Maxwell模型:特點(diǎn):兩個(gè)單元串連而成,外力作用13在一定得應(yīng)力作用下，材料可以無限的變形，這是粘性流體的特征。Maxwell模型瞬時(shí)響應(yīng)呈現(xiàn)彈性體的特征，而時(shí)間效應(yīng)呈現(xiàn)粘性流體的特征。當(dāng)對該模型加荷時(shí)，總應(yīng)力由彈簧和粘壺一起承擔(dān)，而總的應(yīng)變則是兩者的加和。在一定得應(yīng)力作用下，材料可以無限的變形，這是粘性流體的特征。14開爾文模型開爾文模型是由一個(gè)彈簧和一個(gè)粘壺并聯(lián)而成。特點(diǎn):兩單元并聯(lián).=彈=粘,=粘+彈開爾文模型開爾文模型是由一個(gè)彈簧和一個(gè)粘壺并聯(lián)而成。特點(diǎn):兩15開爾文模型是理想彈簧并聯(lián)了一個(gè)粘壺，不能對應(yīng)力或應(yīng)變產(chǎn)生瞬時(shí)彈性效應(yīng)。當(dāng)t→無窮時(shí)，開爾文模型的蠕變趨向于一條漸近線，這是粘彈性固體在穩(wěn)定蠕變時(shí)的特征。開爾文模型是理想彈簧并聯(lián)了一個(gè)粘壺，不能對應(yīng)力或應(yīng)變產(chǎn)生瞬時(shí)16各種其他模型各種其他模型17設(shè)液體在剪切力作用下發(fā)生流動(dòng)，彈簧、粘壺同時(shí)發(fā)生形變。注意圖中畫出的是拉伸形變，我們想象在流場中，彈簧、粘壺發(fā)生剪切形變。對彈簧有對粘壺有總應(yīng)力總應(yīng)變式中為應(yīng)力對時(shí)間的一般偏微商εMaxwell模型是一個(gè)具有時(shí)間量綱的物理量,為Maxwell方程的特征時(shí)間常數(shù),叫應(yīng)力松弛時(shí)間.EEE設(shè)液體在剪切力作用下發(fā)生流動(dòng)，彈簧、粘壺同時(shí)發(fā)生形變。注意圖18應(yīng)力松弛過程總形變固定所以模型的價(jià)值:我們從松弛時(shí)間可以看出,它既與粘性系數(shù)有關(guān),又與彈性模量有關(guān).說明松弛過程是彈性行為和粘性行為共同作用的結(jié)果.Maxwell模型描述線性聚合物應(yīng)力松弛t=τ時(shí)，

σ(t)=σ0

/eτ的物理意義為應(yīng)力松弛到σ0的1/e的時(shí)間--松弛時(shí)間t∞，σ(t)0應(yīng)力完全松弛

應(yīng)力松弛過程總形變固定所以模型的價(jià)值:我們從松弛時(shí)間可以看出19用途:描述應(yīng)力松弛過程:當(dāng)受到F作用,彈簧瞬時(shí)形變,而粘壺由于黏性作用來不及形變,應(yīng)力松弛的起始形變由理想彈簧提供,并使兩個(gè)元件產(chǎn)生起始應(yīng)力0,隨后粘壺慢慢被拉開,彈簧回縮,形變減小,到總應(yīng)力為0.t(t)Maxwell模型應(yīng)力松弛曲線Maxwell模型描述線性聚合物應(yīng)力松弛用途:t(t)Maxwell模型應(yīng)力松弛曲線Maxwell20某聚合物受外力后，其形變按照下式發(fā)展。式中，σ0為最大應(yīng)力;E(t)為拉伸到t時(shí)的模量。今已知對聚合物加外力8s后，其應(yīng)變?yōu)闃O限應(yīng)變值的1／3。求此聚合物的松弛時(shí)間為多少?解：

當(dāng)∴∴某聚合物受外力后，其形變按照下式解：當(dāng)∴∴21將上式寫成三維形式，以張量表示，則有：式中：σ為應(yīng)力張量中的偏應(yīng)力張量；d為速度梯度張量中的形變率張量，并有：L為速度梯度張量注意：假設(shè)形變過程中沒有旋轉(zhuǎn)，式中系數(shù)2的出現(xiàn)是由于采用了張量描述的緣故.Maxwell模型張量式將上式寫成三維形式，以張量表示，則有：式中：σ為應(yīng)力張量中的22例1Maxwell模型用于描述穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場

簡單剪切流場形式如圖速度場方程為：簡單剪切流場中由于流場是穩(wěn)定的，因此該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不隨時(shí)間變化，故有：對于穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場，其形變率張量為例1Maxwell模型用于描述穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場簡單剪切流場23代入式中得到：將方程中等號兩邊張量的各個(gè)對應(yīng)分量分別聯(lián)立起來，就得到一個(gè)由九個(gè)方程組成的方程組。由此解得：只能描述牛頓型流體的粘性行為，高分子液體在剪切速率極低情況下的流動(dòng)狀態(tài)。代入式中得到：將方程中等號兩邊張量的各個(gè)對應(yīng)分量分別聯(lián)立起來24Maxwell模型有限的描述能力與方程的推廣方式有關(guān)，特別與方程中應(yīng)力張量的導(dǎo)數(shù)形式有關(guān)。式中描述的應(yīng)力變化的導(dǎo)數(shù)形式是應(yīng)力對時(shí)間的一般偏微商，這種偏微商通常只能描述無窮小形變行為，或流動(dòng)中體系性質(zhì)無變化的形變行為。對于描述高分子液體在大形變下的非線性粘彈行為，必須對力張量的導(dǎo)數(shù)形式審慎定義和推廣。另外，在考察流場中流體流動(dòng)時(shí)，緊盯著固定坐標(biāo)系的一點(diǎn)考察（注意在不同時(shí)刻流經(jīng)該點(diǎn)的流體元不同）和緊跟著一個(gè)流體元考察（該流體元在不同時(shí)刻占據(jù)空間不同位置）是大不相同的。為此我們首先介紹流體力學(xué)中描寫材料元流動(dòng)的空間描述法和物質(zhì)描述法，然后再討論經(jīng)典Maxwell模型的推廣。Maxwell模型有限的描述能力與方程的推廣方式有關(guān)，特別與25第二節(jié)、空間描述法和物質(zhì)描述法

物質(zhì)描述法空間描述法觀察者的視點(diǎn)集中于一個(gè)具體的流體元及其鄰域所發(fā)生的事件，研究它在不同時(shí)刻所處的位置，以及它的速度，加速度等，與通常力學(xué)中集中于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的方法相同。觀察者的視點(diǎn)集中于坐標(biāo)空間某一特殊點(diǎn)及其鄰域所發(fā)生的事件，不針對一個(gè)具體的流體元。拉格朗日描述法歐拉描述法在該方法中一般以流體元在參考構(gòu)型中的物質(zhì)坐標(biāo)XR(R=1,2,3)為自變量，以便區(qū)別不同的材料元。在該方法中，往往以固定坐標(biāo)系Xi(i=1,2,3)的空間坐標(biāo)為自變量。第二節(jié)、空間描述法和物質(zhì)描述法物質(zhì)描述法空間描述法觀察者的26例如：設(shè)一流體元初始時(shí)刻在參考構(gòu)型中的位置矢量為X，到t時(shí)刻它運(yùn)動(dòng)到即時(shí)構(gòu)型中的位置x.根據(jù)拉格朗日描述，流體元在某一時(shí)刻t到達(dá)空間的位置x即與X有關(guān)，所以x可以寫成X和時(shí)間t的函數(shù)，記成：反過來，X也可以記成x和時(shí)間t的函數(shù)：例如：設(shè)一流體元初始時(shí)刻在參考構(gòu)型中的位置矢量為X，到t時(shí)刻27式則確定了在時(shí)間t占有空間位置x的流體元在時(shí)間t所經(jīng)歷的位移。

式確定了由物質(zhì)坐標(biāo)XR決定的流體元在時(shí)間t的位移。采用物質(zhì)描述時(shí)，以X為自變量，將μ當(dāng)作物質(zhì)坐標(biāo)X和時(shí)間t的函數(shù)，記為：設(shè)在時(shí)間t內(nèi)，流體元的位移矢量為μ有：而采用空間描述時(shí)，以x為自變量，則μ是空間坐標(biāo)x和時(shí)間t的函數(shù)，記為：式則確定了在時(shí)間t占有空間位置x的流體元在時(shí)間t所經(jīng)歷的位移28速度矢量：流體元的位移矢量的時(shí)間變化率。因?yàn)橐槍σ粋€(gè)具體的流體元求速度，所以應(yīng)當(dāng)采用物質(zhì)描述,一個(gè)具體流體元的物質(zhì)坐標(biāo)XR是常數(shù)，所以速度矢量等于：展開來寫，可寫成分量式：這種導(dǎo)數(shù)因?yàn)槭轻槍唧w流體元而求的，所以稱為對時(shí)間的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。

若將這種物質(zhì)導(dǎo)數(shù)用空間描述法表示，則應(yīng)把上式中的X替換成式中的x,表達(dá)成x的函數(shù)。有：

式中μ為x和t的函數(shù)，而x又為t的函數(shù)。速度矢量：流體元的位移矢量的時(shí)間變化率。因?yàn)橐槍σ粋€(gè)具體的29因此這個(gè)導(dǎo)數(shù)展開來寫，有：也稱μ對時(shí)間求全導(dǎo)數(shù)，這是物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（物質(zhì)微商）在空間描述法中的表示形式。式還可記成以下矢量形式：式中等號右邊第一項(xiàng)為μ對時(shí)間t的一般偏導(dǎo)數(shù)，第二項(xiàng)表示為兩個(gè)矢量的點(diǎn)積，其中的矢量算符稱作哈密爾頓算子，定義為：ej為坐標(biāo)軸的單位矢量。注意式只是一種記法，展開寫應(yīng)是三個(gè)公式，分別相關(guān)于矢量μ的三個(gè)分量，▽uj稱作對uj求梯度運(yùn)算。因此這個(gè)導(dǎo)數(shù)展開來寫，有：也稱μ對時(shí)間求全導(dǎo)數(shù)，這是物質(zhì)導(dǎo)30對流動(dòng)場中其他與流體元相關(guān)的物理量，若用空間描述法表示其對時(shí)間的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，都有類似的形式。例如應(yīng)力張量得分物質(zhì)微商可記為：這實(shí)際是九個(gè)方程的縮寫。對流動(dòng)場中其他與流體元相關(guān)的物理量，若用空間描述法表示其對時(shí)31第三節(jié)、廣義Maxwell模型

一、White-Metzner模型

隨流坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的隨流坐標(biāo)不變，為常數(shù)，故此采用隨流坐標(biāo)對流體元的描述為物質(zhì)描述。隨流坐標(biāo)系中對形變的度量是通過計(jì)算在兩個(gè)時(shí)刻(t,t’)一個(gè)材料元中任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離變化來表示的。這種形變度量也必須轉(zhuǎn)換到固定的空間坐標(biāo)系中，而且兩個(gè)時(shí)刻計(jì)算的質(zhì)點(diǎn)間距離必須與固定的空間坐標(biāo)系中的同一點(diǎn)相關(guān)。第三節(jié)、廣義Maxwell模型一、White-Metzne32在隨流坐標(biāo)系中，對物理量求時(shí)間導(dǎo)數(shù)時(shí)保持隨流坐標(biāo)不變，因此對任何物理量所求的時(shí)間導(dǎo)數(shù)均為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。Oldrovd隨流微商，記作δt。但是這種隨流微商需要轉(zhuǎn)換到固定的空間坐標(biāo)系中。二階應(yīng)力張量Tij的Oldrovd隨流微商轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系后的形式為：式中等號右邊第一項(xiàng)為二階應(yīng)力張量在固定坐標(biāo)系的物質(zhì)微商，可以理解為在固定坐標(biāo)系中的某一材料元的應(yīng)力張量對時(shí)間的變化率。第二、三項(xiàng)中含有速度梯度的影響，速度梯度中含有形變率張量d和旋轉(zhuǎn)速率張量ω兩部分，它描述了材料元對于固定坐標(biāo)系的有限形變和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。在隨流坐標(biāo)系中，對物理量求時(shí)間導(dǎo)數(shù)時(shí)保持隨流坐標(biāo)不變，因此對33White-Metzner推廣經(jīng)典的Maxwell模型，其方法就是采用對應(yīng)力張量求Oldroyd隨流微商代替一般偏微商以及物質(zhì)微商都不相同。為檢驗(yàn)White-Metzner模型的說明能力，將該模型用于描述穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場：首先考察偏應(yīng)力張量σ的Oldroyd隨流微商的具體表達(dá)式。由于流動(dòng)是穩(wěn)定的，所以式中等號右邊第一項(xiàng)注意：這兒將偏應(yīng)力張量分量σij代替了原公式中Tij。又因?yàn)関2=v3=0,偏應(yīng)力分量σ12沿x1方向無變化，故有White-Metzner推廣經(jīng)典的Maxwell模型，其方34于是偏應(yīng)力張量σ的Oldroyd隨流微商寫成：于是偏應(yīng)力張量σ的Oldroyd隨流微商寫成：35代入模型得到對應(yīng)得到九個(gè)方程組成的方程組：結(jié)構(gòu)表明，White-Metzner模型優(yōu)于經(jīng)典Maxwell模型。除能夠描述材料的粘性外，還預(yù)言了材料流動(dòng)中存在法向應(yīng)力差σ11-σ22，這是流體具有彈性行為的標(biāo)志。不足的是，White-Metzner模型給出的材料粘度是常數(shù)粘度，給出的法向應(yīng)力差值也是常數(shù)，這與高分子流體的實(shí)際性質(zhì)有很大的差別，說明模型本身仍有很大的局限性。White-Metzner模型只適合于形變較小、非線性行為不太強(qiáng)的場合。代入模型得到對應(yīng)得到九個(gè)方程組成的方程組：結(jié)構(gòu)表明，Whit36二、Dewitt模型

另一種廣義Maxwell模型——Dewitt模型，是在Maxwell方程中對應(yīng)力張量微商代替一般求時(shí)間微商這一項(xiàng)，用共旋隨流微商代替一般偏微商，又稱Jaumann微商。的意義為某一材料的應(yīng)力張量對時(shí)間的變化率。第二、三項(xiàng)含有旋轉(zhuǎn)速率張量ωik,其值為：它代表了材料元對于固定坐標(biāo)系的有限旋轉(zhuǎn)二、Dewitt模型另一種廣義Maxwell模型——Dew37Dewitt推廣Maxwell模型，在Maxwell方程中用對偏應(yīng)力張量求共旋隨流微商代替一般偏微商，得到的Dewitt模型方程形式為已知下式描繪的穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場中，旋轉(zhuǎn)速度張量為：Dewitt推廣Maxwell模型，在Maxwell方程中用38計(jì)算式中的Jaumann微商：與在計(jì)算Oldroyd微商中同樣的原因，首先確定式中第一項(xiàng)等于0，即第二、三項(xiàng)分別為：計(jì)算式中的Jaumann微商：與在計(jì)算Oldroyd微商中同39這樣，方程可展開寫成這同樣是9個(gè)方程組，解此方程組得到粘度和法向應(yīng)力差系數(shù)為這樣，方程可展開寫成這同樣是9個(gè)方程組，解此方程組得到粘度和40這一結(jié)果使人驚奇，式描述了剪切粘度與法向應(yīng)力差系數(shù)的剪切速率依賴性：當(dāng)剪切速率r→0時(shí)，材料表現(xiàn)出常數(shù)粘度η0（牛頓性）和常數(shù)法向應(yīng)力差系數(shù)；當(dāng)剪切速率升高，粘度和法向應(yīng)力差系數(shù)均趨于下降，呈現(xiàn)出剪切變稀行為。其次，公式表明，這里描述的液體是彈性液體,φ1≠0,φ2≠0。與大多數(shù)高分子液體的實(shí)驗(yàn)事實(shí)一致的還有公式給出的第一法向應(yīng)力差系數(shù)為正（>0)，第二法向應(yīng)力差系數(shù)為負(fù)(<0),第一法向應(yīng)力差系數(shù)的值大于第二法向應(yīng)力差系數(shù)的絕對值(φ1>φ2)。這些結(jié)果，都只是因?yàn)槲覀儗⒎匠逃蓪?shí)驗(yàn)室系推廣到共旋隨流坐標(biāo)系，并且對時(shí)間的微商采用了共旋隨流微商而得到的。這一結(jié)果使人驚奇，式描述了剪切粘度與法向應(yīng)力差系數(shù)的剪切速411、經(jīng)典的線性粘彈性模型－Maxwell模型是由

和

串聯(lián)而成。2、Maxwell模型可用于描述哪些力學(xué)模型，還有哪些不足，怎樣改進(jìn)的？3、如何判斷本構(gòu)方程的優(yōu)劣？《流變學(xué)》-第三章-第一、二節(jié)ppt課件42三、其他類型的微分模型Jeffreys模型，方程形式為：模型的特點(diǎn)是在原始Maxwell模型基礎(chǔ)上，引入對形變率張量的偏微分，同時(shí)引入第二時(shí)間參數(shù)2，使材料常數(shù)成為三個(gè)：1,2,η0Oldroyd模型，方程形式為：模型的特點(diǎn)是將Jeffreys模型中的時(shí)間微商由一般偏微商推廣為Oldroyd隨流微商。材料常數(shù)保留為三個(gè)：1,2,η0三、其他類型的微分模型Jeffreys模型，方程形式為：模型43廣義Jeffreys模型，方程形式為：模型的特點(diǎn)是將Jeffreys模型中的時(shí)間微商由一般偏微商推廣為Jaumann微商。材料常數(shù)保留為三個(gè)：1,2,η0Oldroyd八常數(shù)模型，方程形式為：該模型的時(shí)間微商采用Jaumann微商,并設(shè)置了八個(gè)常數(shù)：1，2，u0,u1,u2,v1,v2,η0,用于考慮偏應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的各種關(guān)系。其中前七個(gè)常數(shù)的量綱均為時(shí)間（s）。運(yùn)用此模型確實(shí)可以描寫非牛頓型流體的可變粘度和法向應(yīng)力差效應(yīng)，方程適用的范圍也比較寬廣。然而這個(gè)模型實(shí)在太復(fù)雜了，其八個(gè)常數(shù)要通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)加以確定是十分困難的。

廣義Jeffreys模型，方程形式為：模型的特點(diǎn)是將Jeff44四、其他模型——(Kelvin)模型(Kelvin)模型σε∞蠕變及蠕變回復(fù)曲線t描述交聯(lián)高聚物的蠕變方程四、其他模型——(Kelvin)模型(Kelvin)模型σε45

應(yīng)力由兩個(gè)元件共同承擔(dān)，始終滿足

σ=σ1+σ2形變量相同運(yùn)動(dòng)方程

蠕變過程：根據(jù)定義σ（t）=σ0，分離變量：τ—推遲時(shí)間（蠕變松弛時(shí)間）t為無窮大時(shí)的的平衡形變應(yīng)力由兩個(gè)元件共同承擔(dān)，形變量相同運(yùn)動(dòng)方程蠕變過程：根據(jù)46蠕變回復(fù)過程：當(dāng)積分：蠕變回復(fù)方程εε∞蠕變及蠕變回復(fù)曲線t蠕變回復(fù)過程：當(dāng)