專題24.3圓與三角形的綜合【典例1】在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是△ABC外一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)B，點(diǎn)D位于AC兩側(cè)），連接CD，AD．（1）如圖1，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，連接OC，OD，當(dāng)△AOD為等邊三角形時(shí)，∠ADC的度數(shù)是；（2）如圖2，連接BD，當(dāng)∠ADC＝135°時(shí)，探究線段BD，CD，DA之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接CE，DE，當(dāng)AE＝1，BE＝7時(shí)，直接寫出△CDE面積的最大值及此時(shí)線段BD的長．【思路點(diǎn)撥】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠COA＝90°，CO＝OA，再由等邊三角形的性質(zhì)得OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，然后求出∠ODC＝75°，即可求解；（2）過點(diǎn)C作CH⊥CD交AD的延長線于點(diǎn)H，證△ACH≌△BCD（SAS），得BD＝AH＝HD+DA=2CD+AD（3）連接OC，由勾股定理得CE＝5，過點(diǎn)O作ON⊥CE于N，延長ON交⊙O于點(diǎn)D，此時(shí)點(diǎn)D到CE的距離最大，△CDE面積的面積最大，然后由三角形面積求出ON=125，則DN＝OD﹣ON=85，即可求解三角形CDE的面積最大值，最后用勾股定理借助（2）的結(jié)論求出【解題過程】解：（1）∵∠BCA＝90°，BC＝AC，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴∠COA＝90°，CO=12AB＝∵△AOD是等邊三角形，∴OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，∴OC＝OD，∠COD＝∠COA﹣∠DOA＝90°﹣60°＝30°，∴∠ODC=12（180°﹣∠COD）∴∠ADC＝∠ODC+∠ODA＝75°+60°＝135°，故答案為：135°；（2）解：線段BD，CD，DA之間的數(shù)量關(guān)系為：BD=2CD+DA理由如下：過點(diǎn)C作CH⊥CD交AD的延長線于點(diǎn)H，如圖2所示：則∠CDH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣135°＝45°，∴△DCH是等腰直角三角形，∴CH＝CD，HD=2CD∵∠BCA＝90°，∴∠ACH＝∠BCD，∴△ACH≌△BCD（SAS），∴BD＝AH＝HD+DA=2CD+AD（3）解：連接OC，如圖3所示：∵∠BCA＝90°，BC＝AC，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵⊙O是△ABC的外接圓，∴O是AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，OC＝OA=12AB=12（AE+∴OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，在Rt△COE中，由勾股定理得：CE=O∵CE是定值，∴點(diǎn)D到CE的距離最大時(shí)，△CDE面積的面積最大，∵AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)O作ON⊥CE于N，延長ON與⊙O的交點(diǎn)恰好是點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)D到CE的距離最大，△CDE面積的面積最大，∵S△OCE=12OC?OE=12∴ON=OC?OE∵OD＝OC＝4，∴DN＝OD﹣ON＝4?12此時(shí)，在Rt△CNO中，CN=O在Rt△CND中，CD=C在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝82﹣AD2，由（2）知，BD=2CD+AD=2×8∴82﹣AD2＝（8105+AD∴AD=6∴BD=8105即△CDE面積的面積最大值為4，此時(shí)，BD=141．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知AB為⊙O的直徑，AB=6，C為⊙O上一點(diǎn)，連接CA,CB．(1)如圖①，若C為AB的中點(diǎn)，求∠CAB的大小和AC的長；(2)如圖②，若AC=2,OD為⊙O的半徑，且OD⊥CB，垂足為E，過點(diǎn)D作⊙O的切線，與AC的延長線相交于點(diǎn)F，求FD的長．2．（2022·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC<90°，以AB為直徑作⊙O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，連接AD，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)F．(1)試猜想BD和ED的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)若AB=52,AD=2103．（2022·北京·人大附中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D為AC?AC的中點(diǎn)，連接BC(1)求證：OD∥(2)如圖2，過點(diǎn)D作AB的垂線與⊙O交于點(diǎn)E，作直徑EF交BC于點(diǎn)G．若G為BC中點(diǎn)，⊙O的半徑為2，求弦4．（2022·安徽宿州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E在弦AC的延長線上，過點(diǎn)E作ED⊥AE，ED與⊙O相切于點(diǎn)D．(1)求證：AD平分∠BAC．(2)若AC=3，AB=5，求CE和DE的長．5．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點(diǎn)D，BC與⊙O交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AB，且CF=CD，連接(1)求證：BF是⊙O的切線；(2)若∠BAC=45°，AD=4，求圖中陰影部分的面積．6．（2022·陜西·交大附中分校模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC，過點(diǎn)A作AD⊥AB，交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作⊙O的切線，與DA的延長線相交于點(diǎn)F．(1)求證：AF＝AE；(2)若⊙O的半徑為2，BE＝3，求DE的長．7．（2022·湖北咸寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，AD和過點(diǎn)⊙O上點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)E．(1)求證：AC平分∠DAB；(2)已知AB=16，若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積．8．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，線段AB經(jīng)過⊙O的圓心O，交圓O于點(diǎn)A，C，BC=1，AD為⊙O的弦，連接BD，∠BAD=∠ABD=30°，連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交⊙O于點(diǎn)M．(1)求證：直線BD是⊙O的切線；(2)求線段BM的長．9．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在⊙O中，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)P，∠ABC=16°．(1)如圖①，若∠BAD=52°，求∠APC和∠CDB的大?。?2)如圖②，若CD⊥AB，過點(diǎn)D作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點(diǎn)E，求∠E的大?。?0．（2022·江蘇·九年級(jí)期中）如圖1，C、D為半圓O上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)．連接AC并延長，與BD的延長線相交于點(diǎn)E．(1)求證：CD＝ED；(2)連接AD與OC、BC分別交于點(diǎn)F、H．①若CF＝CH，如圖2，求證：CH＝CE；②若圓的半徑為2，BD＝1，如圖3，求AC的值．11．（2022·浙江麗水·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AC=BC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連結(jié)OC,AD，交于點(diǎn)E，連結(jié)(1)求∠EBA的度數(shù)．(2)求證：AE=2(3)若DE=1，求⊙O的面積．12．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，且BD=CD，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作AB的垂線，交AB于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)H．(1)求證：DF⊥AC；(2)若OG=1，求AE的長．13．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，OD⊥AB交AC于點(diǎn)E，∠D＝2∠A．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求證：DE＝DC；(3)若OD＝5，CD＝3，求AE的長．14．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點(diǎn)C，與BA的延長線交于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO延長線于點(diǎn)E，連接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．(1)求證：PB是⊙O的切線；(2)求⊙O的半徑；(3)連接BE，求BE的長．15．（2022·山東濟(jì)南·二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，其切線AE與直徑BD的延長線相交于點(diǎn)E，且∠ACB=60°．(1)求證：AE=AB；(2)若DE=2，求⊙O的半徑．16．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；(2)探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．17．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知∠MON=α，點(diǎn)A，B分別在射線OM,ON上運(yùn)動(dòng)，AB=6．(1)如圖①，若α=90°，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A',B',D'，連接OD,OD'．判斷OD與OD'有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：(2)如圖②，若α=60°，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：(3)如圖③，若α=45°，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大?請(qǐng)說明理由，并求出△AOB面積的最大值．18．（2022·貴州遵義·二模）小穎復(fù)習(xí)尺規(guī)作圖時(shí)，Rt△ABC①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交BA于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)P，再分別以點(diǎn)P，Q為圓心，大于12PQ的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)H，作射線②以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G，作射線AG交射線BH于點(diǎn)③作射線CO交AB于點(diǎn)D，且∠CDA=90°，以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作⊙O，交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，構(gòu)成如圖所示的陰影部分．(1)求證：Rt△ABC(2)若AC=2，求圖中陰影部分的面積．19．（2022·湖南·長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在⊙O上，且PA=PB，點(diǎn)M是⊙O外一點(diǎn)，MB與⊙O相切于點(diǎn)B，連接OM，過點(diǎn)A作AC∥OM交⊙O于點(diǎn)C，連接BC交OM于點(diǎn)D．(1)求證：MC是⊙O的切線；(2)若AB=20，BC=16，連接PC，求PC的長；(3)試探究AC、BC與PC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．20．（2022·北京市三帆中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：△ABC，點(diǎn)D是△ABC的外接圓上一點(diǎn)（不與A，B，C重合），過A作射線AE，AF，且AE∥BD，AF∥CD（D，E分別在AB兩側(cè)，D，F(xiàn)分別在AC兩側(cè)），在射線AE上取一點(diǎn)M使得AM＝AB，在射線AF上取一點(diǎn)N使得AN＝AC，連接MN，P是線段MN的中點(diǎn)．(1)當(dāng)∠A＝90°時(shí)，在圖1中補(bǔ)全