圓錐曲線專(zhuān)題TOC\o"1-3"\h\u19383第三章圓錐曲線起手式——基礎(chǔ)知識(shí) 234907§1亢龍有悔，橢圓篇 234255601.1橢圓的定義(和比積) 23419881.2橢圓的方程 236309651.3橢圓的基本參數(shù) 23819510§2飛龍?jiān)谔?，雙曲線篇 253258282.1雙曲線的定義(和比積) 25337672.2雙曲線的方程 254297212.3雙曲線的基本參數(shù) 25582132.4等軸雙曲線 279147602.5雙曲線的漸近線專(zhuān)題 28316015§3見(jiàn)龍?jiān)谔?，離心率篇 295318443.1離心率vs定值 295227723.2離心率vs范圍 33419977§4鴻漸于陸，焦點(diǎn)三角形篇 357101574.1橢圓的焦點(diǎn)三角形 35793534.2雙曲線的焦點(diǎn)三角形 368131294.3橢圓焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心和旁心軌跡 375202184.4雙曲線的內(nèi)心軌跡 37723622§5潛龍勿用，光學(xué)性質(zhì) 380109325.1光學(xué)性質(zhì) 380220515.2焦點(diǎn)在圓錐曲線切線上的射影 385252485.3以圓錐曲線焦半徑為直徑的圓 393225275.4光學(xué)性質(zhì)的拓展二 3954555§6利涉大川，焦半徑篇(第二定義) 39859816.1焦半徑的代數(shù)式 398111886.2焦半徑的極坐標(biāo)式 40414666.3最短的焦點(diǎn)弦—通徑？ 404245646.4焦半徑和橢圓的短軸圓 405205036.5以焦半徑為直徑的圓 40872106.6以焦點(diǎn)弦為直徑的圓 409224476.7焦半徑vs焦點(diǎn)弦的綜合題 4099815§7雙龍取水，第一二定義與距離和最短 414218627.1三點(diǎn)共線(利用第一定義轉(zhuǎn)化) 414233127.2垂線段最短(利用第二定義轉(zhuǎn)化) 4189662§8魚(yú)躍于淵，拋物線篇 419138618.1拋物線的定義 419269558.2拋物線的基本參數(shù) 419168248.3拋物線的定長(zhǎng)動(dòng)弦 438179238.4拋物線的焦點(diǎn)弦模型 44199458.5拋物線的點(diǎn)差法——中點(diǎn)斜率公式 450143068.6拋物線的等比性質(zhì)和取負(fù)替換性質(zhì) 457133378.7拋物線的定點(diǎn)三角形面積公式 46250368.8拋物線的兩點(diǎn)式直線方程 46545428.9拋物線的切線專(zhuān)題(極點(diǎn)極線) 480135328.10拋物線兩條切線的交點(diǎn)——雙切線模型 483226438.11阿基米德三角形 495第三章圓錐曲線起手式——基礎(chǔ)知識(shí)§1亢龍有悔，橢圓篇1.1橢圓的定義(和比積)1.第一定義之“和”平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡；其中，兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)做橢圓的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)間的距離叫做焦距．橢圓方程的推導(dǎo)設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，焦點(diǎn)和，由上述橢圓的定義可得：，將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得：，兩邊再平方，整理得：．注①表示橢圓；②表示線段；③不存在軌跡．2.第二定義之“比”平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，其中，定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)e叫做離心率．橢圓方程的推導(dǎo)設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)為，定直線為，常數(shù)，由上述橢圓的定義可得：，直譯變形即可．例在平面直角坐標(biāo)系中，若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是()．A． B． C． D．答案選D．解將方程變形為：，此式可看成動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到直線的距離之比為，根據(jù)橢圓的定義，只須即可．3.第三定義之“積”已知坐標(biāo)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)定點(diǎn)，那么，到這兩定點(diǎn)連線的斜率之積為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓，其中，定點(diǎn)為短軸或長(zhǎng)軸頂點(diǎn)．【求軌跡的話，得去掉兩個(gè)定點(diǎn)！】橢圓方程的推導(dǎo)設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)為、，定直線為，常數(shù)，由上述橢圓的定義可得：將，變形成，于是可得，橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩頂點(diǎn)、的連線的斜率之積等于常數(shù)．注這個(gè)定義有bug，可以不必深究，你只需要清楚地知道，第三定義實(shí)質(zhì)是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)差法的一個(gè)特例而已，后面的雙曲線也是類(lèi)似！例(1)已知圓的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，且點(diǎn)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()．A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線(2)已知圓的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，且點(diǎn)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()．A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線答案(1)

選B；(2)選C．例(1)

已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是()．A． B．6 C． D．12(2)(2006四川文理)如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成8分，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于、、…、七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則________．答案(1)選C

；(2)35．解(1)

利用定義易得△ABC的周長(zhǎng)是．(2)

構(gòu)造另一個(gè)焦點(diǎn)，利用對(duì)稱(chēng)性，或倒序相加！1.2橢圓的方程1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例(1)

已知橢圓的焦距為8，則這個(gè)橢圓的方程是.(2)

已知橢圓方程的離心率，則．解(1)

；；(2)

；．例(2010湖北理)設(shè)集合，，則的子集的個(gè)數(shù)是()．A．4 B．3 C．2 D．1解兩個(gè)交點(diǎn)，故選A．例若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．解且．2.橢圓的參數(shù)方程注(1)

參數(shù)方程中的參數(shù)不是所謂的“橢圓心角”，而是物理上的離心角，可結(jié)合離心率理解；同時(shí)，要和圓的參數(shù)方程中的圓心角分開(kāi)．(2)

橢圓的參數(shù)方程vs標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的參數(shù)方程在數(shù)據(jù)計(jì)算上有時(shí)會(huì)有很大的優(yōu)勢(shì)，尤其是求解最值、相關(guān)參數(shù)的范圍判斷等相關(guān)題型；同時(shí)，后面在“直線與圓錐曲線”和“圓錐曲線與圓錐曲線”章節(jié)，還會(huì)有相關(guān)的串講應(yīng)用．例(1)求橢圓的內(nèi)接矩形的面積及周長(zhǎng)的最大值．(2)

設(shè)點(diǎn)在橢圓，試求點(diǎn)P到直線的距離d的最大值和最小值．答案(1)，；(2)，．3.橢圓的一般式方程【括號(hào)中的限制亦是“充要條件”！】注(1)

焦點(diǎn)的位置判斷當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上．(2)

使用技巧在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，有時(shí)不知道焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上，此時(shí)，可嘗試使用橢圓的一般式方程，利用用待定系數(shù)法求出A、B的值即可；橢圓的一般式方程可有效的避免焦點(diǎn)位置的分類(lèi)討論，同時(shí)，也可以簡(jiǎn)化運(yùn)算．例(1)

如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是________．(2)

已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍．答案(1)

；(2)

當(dāng)時(shí)，有．因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，即．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．例(1)

求過(guò)兩點(diǎn)，，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的方程．(2)

求過(guò)兩點(diǎn)，，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的方程．答案(1)

；(2)

．4.橢圓的定義式方程①第一定義：；②第二定義：．注由于有些題目會(huì)給出此類(lèi)定義方程作為條件，因此，要熟知其中的參數(shù)含義，并能迅速轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程．5.橢圓的極坐標(biāo)方程見(jiàn)后面“圓錐曲線之極坐標(biāo)方程”的章節(jié)！6.同離心率式的橢圓方程注意一點(diǎn)即可，即離心率相同，但焦點(diǎn)可以在不同的坐標(biāo)軸；因此，和橢圓有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為：或．例(1)

求和橢圓有相同離心率且過(guò)點(diǎn)的橢圓方程．(2)

求和橢圓有相同離心率且通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓所交的線段）長(zhǎng)等于5的橢圓方程．(3)

求和橢圓有相同離心率，且與直線相切的橢圓方程．答案(1)

；(2)

；(3)

設(shè)所求橢圓方程為，解得，故所求橢圓方程為．7.共焦點(diǎn)式的橢圓方程和橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為：（形式①）；（形式②）．注上述形式相對(duì)比較繁瑣，實(shí)際上，直接計(jì)算，列出兩個(gè)方程求解更簡(jiǎn)單．例(1)求與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)

過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．答案(1)；(2)；法一利用第一定義，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，直接求出，又，故；法二設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，又，解這兩個(gè)方程組即可！1.3橢圓的基本參數(shù)1.對(duì)稱(chēng)性標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形，不僅關(guān)于x軸和y軸軸對(duì)稱(chēng)，同時(shí)，還關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．2.頂點(diǎn)，，，，或，，，．3.長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b，注意區(qū)分長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b．4.焦點(diǎn)，；或，．5.焦距，同時(shí)，半焦距c、長(zhǎng)半軸為a和短半軸為b是一組勾股數(shù)，滿足關(guān)系式：．注對(duì)于基本概念要扎實(shí)掌握，一定要區(qū)分長(zhǎng)軸、短軸、焦距，和長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距；尤其在大題中，一定要看清！6.離心率；離心率越大，橢圓越扁．【】橢圓的離心率是描述橢圓扁平程度的一個(gè)重要數(shù)據(jù)．因?yàn)?，所以e的取值范圍是；①e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；②反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓．注如圖，點(diǎn)P位于短軸的頂點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，有，亦有；②當(dāng)，即黃金分割比時(shí)，有；簡(jiǎn)單證明如下： ．例(2000年全國(guó)聯(lián)賽)在橢圓中，記左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，短軸上方的端點(diǎn)為B．若該橢圓的離心率為，則．答案．7.①準(zhǔn)線；或；②焦準(zhǔn)距；③通徑(為焦準(zhǔn)距)．8.焦半徑橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，在負(fù)半軸，在正半軸；(1)

焦點(diǎn)在軸：焦半徑(左加右減)；(2)

焦點(diǎn)在軸：焦半徑(上加下減)．注①可以利用第二定義快速進(jìn)行證明；②不必死記公式，結(jié)合圖像，即可了然，長(zhǎng)的加，短的減?、酆秃瘮?shù)的平移規(guī)律規(guī)律類(lèi)似?。、芙拱霃降娜≈捣秶?，這個(gè)范圍在大題中可以直接用，不需要計(jì)算判斷！同時(shí)，這個(gè)在判斷離心率的范圍中也很常用！具體可參考離心率專(zhuān)題．易錯(cuò)提醒焦半徑公式，在考試之時(shí)，不能直接使用?。?.焦點(diǎn)弦若過(guò)焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)和，則稱(chēng)線段為焦點(diǎn)弦．(1)

如圖，當(dāng)焦點(diǎn)弦過(guò)左焦點(diǎn)時(shí)，焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度，僅與它的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)；當(dāng)焦點(diǎn)弦過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，有．類(lèi)似地，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，焦點(diǎn)弦，僅與它的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)有關(guān)．(2)

過(guò)橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑（垂直于焦點(diǎn)的弦）最短，通徑為(為焦準(zhǔn)距)．真命題已知橢圓的弦長(zhǎng)，則是弦AB能過(guò)焦點(diǎn)的必要條件！方程和基本參數(shù)例橢圓的離心率為，則2條準(zhǔn)線間的距離是．答案焦點(diǎn)在x軸：；焦點(diǎn)在y軸：12．例已知點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|的最小值是()．A．0 B．1 C．2 D．答案選C；．第一定義例(2014大綱卷文理)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)的直線l交C于A、B兩點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為，則C的方程為()．A． B． C． D．答案選A；的周長(zhǎng)為．例(2011新課標(biāo)理)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為．過(guò)的直線交C于A、B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為．答案由于的周長(zhǎng)為16，故，即，，故C的方程為．例(2014遼寧文理)已知橢圓，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A、B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則．答案利用橢圓的定義以及三角形的中位線(圖形自理)，易知．例(2013大綱卷文)已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于x軸的直線交C于A、B兩點(diǎn)，且，則C的方程為()．A． B． C． D．答案橢圓的通徑，從答案入手，顯然選C．離心率例(1)(2008全國(guó)卷Ⅰ文)在中，，．若以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則該橢圓的離心率．(2)(2008全國(guó)卷Ⅰ理)在中，，．若以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則該橢圓的離心率．答案(1)；(2)．解(1)不妨令，解三角形即可！(2)不妨令，則，即，所以，，．例已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的方程為，隨著a的增大，該橢圓的形狀()．A．越接近于圓 B．越扁 C．先接近于圓后越扁 D．先越扁后接近于圓答案選D．解由于焦點(diǎn)在x軸上，故，解得．又，即，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上，在上，因此，e關(guān)于a先增大后減小．例(2008湖北文理壓軸)如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，給出下列式子：①；②；③；④．其中正確式子的序號(hào)是()．A．①③ B．②③ C．①④ D．②④答案選B．解焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)P的距離不變，易知②正確；從軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可知，橢圓越來(lái)越圓，最終變?yōu)閳A，結(jié)合橢圓的離心率變化規(guī)律“越大越扁，越小越圓”，顯然③正確，故應(yīng)選B．參數(shù)方程例(2013上海文壓軸)記橢圓圍成的區(qū)域(含邊界)為，當(dāng)點(diǎn)分別在、、…上時(shí)，的最大值分別是、、…，則()．A．0 B． C．2 D．答案選．例已知橢圓與直線、，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作的平行線，分別交于M、N兩點(diǎn)．若為定值，則的值是．答案2．解只有橢圓上的一個(gè)單獨(dú)的動(dòng)點(diǎn)P，不妨利用參數(shù)方程，設(shè)，這樣的話，只含有一個(gè)參數(shù)，便于計(jì)算，而且，點(diǎn)P的坐標(biāo)自帶橢圓方程的屬性，因此，后續(xù)的計(jì)算也就不用再理會(huì)橢圓方程了．設(shè)，，則OMPN為平行四邊形，故．因此，，若為定值，則，即．例已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線BC與橢圓相交，交點(diǎn)為B、C，點(diǎn)Q是三角形PBC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，，則的最小值為．答案．解易知點(diǎn)Q是△PBC的重心，設(shè)，進(jìn)而易得．因此，．例(2017上海壓軸)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓和，P為上的動(dòng)點(diǎn)，Q為上的動(dòng)點(diǎn)，w是的最大值．記，則中()．A．元素的個(gè)數(shù)為2 B．元素的個(gè)數(shù)為4 C．元素的個(gè)數(shù)為8 D．含有無(wú)窮個(gè)元素答案選D．解設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，因此，中含有無(wú)窮個(gè)元素．例已知點(diǎn)A、B分別在橢圓和橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA、OB的斜率之積為，M為線段AB的中點(diǎn)，則線段MO長(zhǎng)度的最大值是．答案．解設(shè)，，由得：，不妨令，則點(diǎn)B變?yōu)椋M(jìn)而中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，故 ．例點(diǎn)P為橢圓在第一象限的弧上的任意一點(diǎn)，過(guò)P引x軸，y軸的平行線，分別交直線于Q、R兩點(diǎn)，交y軸，x軸于M、N兩點(diǎn)，記△OMQ與△ONR的面積為、，當(dāng)時(shí)，的最小值為．答案．解注意點(diǎn)P是單動(dòng)點(diǎn)，故可設(shè)，，則，，，，故，，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值．構(gòu)造橢圓解題主要是利用橢圓的第一定義，構(gòu)造橢圓進(jìn)行解題．例P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為．答案．解令，則點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)的橢圓上，其方程為，因此，當(dāng)拋物線和該橢圓相切時(shí)，取得最小值．例已知點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)、分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，則的取值范圍為．答案．解首先，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與左右頂點(diǎn)重合時(shí)取等；其次，對(duì)于最大值，可以視點(diǎn)、為焦點(diǎn)，構(gòu)造橢圓，顯然，當(dāng)點(diǎn)P與上下頂點(diǎn)重合時(shí)取得．綜合題例(2007江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在橢圓上，則．答案；解注意到A，C為焦點(diǎn)，由正弦定理得：．例已知橢圓和圓，其中A為圓心，P為橢圓C上一點(diǎn)，M、N是圓A上滿足的相異兩點(diǎn)，則的取值范圍是()．A． B． C． D．答案選B．解易知圓A和橢圓C是相離的，設(shè)MN的中點(diǎn)為Q，則．不妨利用調(diào)整法，先固定P，由于，則，接下來(lái)，只須求取的最小值，即可確定的上界．設(shè)，則，即，亦即．例實(shí)數(shù)m滿足，，點(diǎn)N的坐標(biāo)為．若動(dòng)點(diǎn)滿足關(guān)系式，則的最小值為()．A．20 B． C．12 D．答案選C．解由于，故點(diǎn)N在直線上；設(shè)，，則，且點(diǎn)A、B在直線上；又，故M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)半軸，半焦距，短半軸．因此，當(dāng)M為短軸的端點(diǎn)時(shí)，取得最小值為．例過(guò)橢圓的中心任作一直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則△PFQ的周長(zhǎng)的最小值等于．答案；補(bǔ)出另一個(gè)焦點(diǎn)，注意利用對(duì)稱(chēng)性，可知為平行四邊形．例若橢圓過(guò)橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為，的面積的最大值為．答案；．解如圖所示，設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，故 ， ．例(2015新課標(biāo)Ⅰ理)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓QUOTEx216+y24=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為答案．例(1)

(2012四川理)橢圓的左焦點(diǎn)為F，直線與橢圓相交于點(diǎn)A、B，當(dāng)△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FAB的面積是__________．(2)

(2012四川文)橢圓(a為定值，且)的的左焦點(diǎn)為F，直線與橢圓相交于點(diǎn)A、B，△FAB的周長(zhǎng)的最大值是12，則該橢圓的離心率是______．答案(1)

3；(2)．解(1)

法一利用定義轉(zhuǎn)化設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，結(jié)合橢圓的定義，可得△FAB的周長(zhǎng)為： ，當(dāng)且僅當(dāng)弦AB過(guò)右焦點(diǎn)取得等號(hào)．法二單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，利用參數(shù)方程＋焦半徑公式設(shè)，則△FAB的周長(zhǎng)為：，后略．例(2014安徽理)設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)．若，軸，則橢圓E的方程為．答案．法一常規(guī)方法，就是轉(zhuǎn)化為向量，利用坐標(biāo)代入法．利用點(diǎn)和，可解得點(diǎn)，將點(diǎn)B代入橢圓，解得．法二利用結(jié)論：，結(jié)合，解得．又，故，即，因此，橢圓E的方程為：．法三易知，利用定比點(diǎn)差對(duì)稱(chēng)軸上點(diǎn)公式：，解得．易錯(cuò)提醒定比點(diǎn)差軸上點(diǎn)公式左邊的系數(shù)2很容易被遺漏！！例(2007江西文壓軸、理)設(shè)橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)()．A．必在圓內(nèi) B．必在圓上 C．必在圓外 D．以上三種情形都有可能答案．例(2011湖北理)如圖，直角坐標(biāo)系xOy所在的平面為，直角坐標(biāo)系（其中軸與y軸重合）所在的平面，．(1)

已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為．(2)

已知平面內(nèi)的曲線的方程是，則曲線在平面內(nèi)的射影C的方程是．答案(1)

；(2)．解設(shè)平面內(nèi)的點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，則，(1)

點(diǎn)在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為；(2)

將代入可得：，即．例(2005江蘇)點(diǎn)在橢圓的左準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)P且方向?yàn)榈墓饩€經(jīng)直線反射后通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為()．A． B． C． D．答案選A．例(2005重慶文理)若動(dòng)點(diǎn)在曲線上變化，則的最大值為()．A． B． C． D．2b答案選A．解設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，則 ，，當(dāng)，即時(shí)，上式在處取得最大值為；當(dāng)，即時(shí)，上式在處取得最大值為．例(1981全國(guó)卷文理)在面積為1的△PMN中，，．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M，N為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程．解以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)以M、N為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程為，焦點(diǎn)為、．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨假設(shè)P在x軸上方，設(shè)，則…①，又，即…②，根據(jù)①②可解得，即P點(diǎn)坐標(biāo)為．故，，因此，所求橢圓方程為．注也可以把點(diǎn)P代入橢圓方程：，即為，解得或(舍)．例(2008重慶理)如圖，和是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：．(1)

求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)

若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．答案(1)

；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，或．例(2007遼寧文壓軸、理)設(shè)橢圓上一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為10，F(xiàn)是該橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足，則．答案2．解橢圓離心率為，依題意結(jié)合第二定義，可知，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則．對(duì)于，是一特征條件，即點(diǎn)M是點(diǎn)P、F的中點(diǎn)，故．例(2005天津理)從集合中任選兩個(gè)元素作為橢圓方程中的m和n，則能組成落在矩形區(qū)域內(nèi)的橢圓個(gè)數(shù)為()．A．43 B．72 C．86 D．90答案選B．例(2005重慶文壓軸)已知，B是圓（F為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．答案．例在△ABC中，已知B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，△ABC的重心為G，內(nèi)心為I，且，求點(diǎn)A的軌跡方程．答案．解設(shè)，，則，由可得：，即，因此，△ABC的內(nèi)切圓半徑為．根據(jù)面積公式：，即，故點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，易得方程為．例如圖，橢圓的短軸為，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為、，兩焦點(diǎn)為、，將橢圓C沿短軸折成直二面角，點(diǎn)P在兩個(gè)半橢圓所形成的軌跡上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是()．①取最大值時(shí)，點(diǎn)P在短軸的端點(diǎn)；②取最小值時(shí)，點(diǎn)P在長(zhǎng)軸的端點(diǎn)．A．① B．② C．①② D．①②都不對(duì)答案選C．解根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨令點(diǎn)P在半平面上，設(shè)，，則（e為橢圓的離心率），，故 ，顯然，關(guān)于x是單調(diào)遞減的．

§2飛龍?jiān)谔?，雙曲線篇2.1雙曲線的定義(和比積)利用定義推導(dǎo)雙曲線的方程，可類(lèi)比橢圓，此處就略去了．1.第一定義之“和”平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)且小于的點(diǎn)的軌跡；其中，兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)間的距離叫做焦距．注=1\*GB3①當(dāng)，與分別表示雙曲線的一支，因此，定義中的“絕對(duì)值”必不可少．若有“絕對(duì)值”，點(diǎn)的軌跡表示雙曲線的兩支；若去掉“絕對(duì)值”，點(diǎn)的軌跡僅為雙曲線的一支；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為以為端點(diǎn)的兩條射線；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，軌跡不存在(或不表示任何圖形)；=4\*GB3④當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線．2.第二定義之“比”平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；其中，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)叫做離心率．例方程表示的曲線是____________．答案雙曲線；，即，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是．3.第三定義之“積”到兩定點(diǎn)連線的斜率之積為定值的點(diǎn)的軌跡是雙曲線；其中，定點(diǎn)為實(shí)軸或虛軸頂點(diǎn)，定值為正值．2.2雙曲線的方程1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．2.雙曲線的參數(shù)方程．注參數(shù)，同橢圓類(lèi)似，是物理上的離心角，結(jié)合離心率理解．3.雙曲線的一般式方程注焦點(diǎn)位置判斷當(dāng)，時(shí)，焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)，時(shí)，焦點(diǎn)在軸上．當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)常用此形式．4.雙曲線的定義式方程①第一定義：；②第二定義：．5.雙曲線的極坐標(biāo)方程見(jiàn)后面章節(jié)；6.共焦點(diǎn)式的雙曲線方程和雙曲線有相同焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為：（形式①）；（形式②）．7.同離心率、且焦點(diǎn)在同軸的雙曲線方程和雙曲線有相同的離心率的雙曲線方程都具有的特征．8.同漸近線式的雙曲線方程具體見(jiàn)下文之“漸近線方程vs雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”；例已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．答案設(shè)雙曲線方程為：，代入，，即．2.3雙曲線的基本參數(shù)1.對(duì)稱(chēng)性標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形，不僅關(guān)于x軸和y軸軸對(duì)稱(chēng)，同時(shí)還關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．2．頂點(diǎn)，，或，．3．實(shí)軸和虛軸實(shí)軸為2a，虛軸為2b；注意區(qū)分實(shí)半軸和虛半軸．4．焦點(diǎn)，；或，．5．焦距，同時(shí)，半焦距c、長(zhǎng)半軸為a和短半軸為b是一組勾股數(shù)，滿足關(guān)系式：．6.離心率，離心率越大，開(kāi)口越大；雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個(gè)重要數(shù)據(jù)，分析和上面的橢圓類(lèi)似，譬如，當(dāng)接近1時(shí)，越來(lái)越小，雙曲線的“張口”越來(lái)越小．7.①準(zhǔn)線；或；②焦準(zhǔn)距；③通徑(為焦準(zhǔn)距)．8.焦半徑設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，由于雙曲線分兩支，故焦半徑分為兩種．(1)

焦點(diǎn)在軸：在左支，在右支；(2)

焦點(diǎn)在軸：在下支，在上支．9.焦點(diǎn)弦若過(guò)焦點(diǎn)的直線與雙曲線的一支相交于兩點(diǎn)和，則稱(chēng)線段為焦點(diǎn)弦．注雙曲線焦點(diǎn)弦的推導(dǎo)方法與橢圓類(lèi)似，結(jié)果也是僅與弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)有關(guān)．10.雙曲線的漸近線；或．(1)

求雙曲線的漸近線，把標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”用“0”替換，然后因式分解或者開(kāi)方得到．(2)

反之，若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為：；類(lèi)似，若已知漸近線的方程為，則雙曲線的方程可設(shè)為：(且為常數(shù))．(3)

與雙曲線有公共漸近線的雙曲線系方程是：(，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在軸上)，若題目中告知雙曲線漸近線方程，可設(shè)此方程，利用待定系數(shù)法進(jìn)行計(jì)算．第一定義例(1)(2003上海文理壓軸)給出問(wèn)題：是雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上．若點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離．某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由，即，得或17．該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi)．(2)(2004天津文理)設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則()．A．1或5 B．6 C．7 D．9答案(1)；(2)選C．例(2005福建文)已知定點(diǎn)A、B且，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最小值是()．A． B． C． D．5答案選C．解由于，故P的軌跡是雙曲線，而且是單支！假設(shè)A為左焦點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，易知的最小值為．例(1)(2014大綱卷理)已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為，點(diǎn)A在C上，若，則()．A． B． C． D．(2)(2012大綱卷文理)已知為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則()．A． B． C． D．答案(1)選A；，不妨令，，則，．(2)選C；，，，利用余弦定理計(jì)算即可．例(2013遼寧文)已知F為雙曲線的左焦點(diǎn)，P、Q為C上的點(diǎn)．若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)在線段PQ上，則△PQF的周長(zhǎng)為_(kāi)_________．答案A為右焦點(diǎn)，利用雙曲線的第一定義，易得周長(zhǎng)為44．例(2016浙江文)設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．若點(diǎn)P在雙曲線上，且為銳角三角形，則的取值范圍是_______．答案．解假設(shè)P在右支上，則，設(shè)法求出的取值范圍即可．畫(huà)圖可知，可以從臨界狀態(tài)出發(fā)，分成兩種情況：①，則，；②，則，解得，．綜合①②可得．例(2011大綱卷文壓軸、理)已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，AM為的平分線，則________．答案6．解，，利用角平分線定理：，又或，可解得或（舍），故應(yīng)填6．例已知雙曲線右支上一點(diǎn)P，滿足，實(shí)軸長(zhǎng)為1，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M為y軸上一點(diǎn)，則()．A． B． C． D．答案選C．解由得：，既然是選擇題，直接特殊化，令M為原點(diǎn)O，故 ．當(dāng)然，正常做，拆分一下即可，即為： ．例經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的弦AB，則的周長(zhǎng)為．答案．解雙曲線的漸近線為，故傾斜角為的弦AB交于雙曲線的兩支，不妨設(shè)A在左支上，則的周長(zhǎng)為：．在中，利用余弦定理得：（變相使用極坐標(biāo)公式），易解得，故的周長(zhǎng)為．例雙曲線上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離為20，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為．答案或．例(2006江西文理)P為雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為()．A．6 B．7 C．8 D．9答案選D．解設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是、，則焦點(diǎn)也是兩圓的圓心，因此，當(dāng)且僅當(dāng)P、M、三點(diǎn)共線以及P、N、三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大，即．方程和基本參數(shù)例若雙曲線的離心率為，則兩條漸近線的方程為()．A． B． C． D．答案選C．例(2016全國(guó)Ⅰ理)已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()．A． B． C． D．答案選A．解，方程表示雙曲線，，即，故選A．例(2012上海文)對(duì)于常數(shù)m、n，“”是“方程的曲線是橢圓”的()．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案選B．例(1)(2013湖北文)已知，則雙曲線與的()．A．實(shí)軸長(zhǎng)相等 B．虛軸長(zhǎng)相等 C．離心率相等 D．焦距相等(2)(2013湖北理)已知，則雙曲線與的()．A．實(shí)軸長(zhǎng)相等 B．虛軸長(zhǎng)相等 C．焦距相等 D．離心率相等答案(1)選D；(2)

利用，易得選D．例(2014天津文理)已知雙曲線的一條漸近線平行于直線，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為()．A． B． C． D．答案從答案入手即可．例(2006遼寧文壓軸、理)曲線與曲線的()．A．焦距相等 B．離心率相等 C．焦點(diǎn)相同 D．準(zhǔn)線相同答案選A．解曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故只能選擇答案A．例(2012山東理)已知橢圓的離心率為，雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()．A． B． C． D．答案選D．解，排除B，雙曲線的漸近線為，結(jié)合面積和對(duì)稱(chēng)性，可知點(diǎn)在C上，顯然選D．通徑(2016山東文理)已知雙曲線，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB、CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則E的離心率是_______．答案2．法一考察雙曲線的通徑，，，故，解得或（舍）．法二賦“單位值”的思想！不妨令，，作出圖象如下圖所示，則，，故．例(2011新課標(biāo)理)設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A、B兩點(diǎn)，為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為()．A． B． C．2 D．3答案選B．解是通徑，同時(shí)，注意區(qū)分實(shí)軸和實(shí)半軸，故，即．例(2012重慶文)設(shè)P為直線與雙曲線左支的交點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，垂直于x軸，則雙曲線的離心率．答案．解易得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，代入得：，令，則，，故．離心率例(2008全國(guó)卷Ⅱ文)設(shè)是等腰三角形，，則以A、B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)C的雙曲線的離心率為()．A． B． C． D．答案選B．解易得，，故．例(2011福建文理)設(shè)圓錐曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若曲線E上存在點(diǎn)P滿足，則曲線E的離心率等于()．A．或 B．或2 C．或2 D．或答案選A．解不妨令，，，若曲線E為橢圓，離心率為，若曲線E為雙曲線，離心率為．例(2012浙江文)如圖，中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，M、N是雙曲線的兩頂點(diǎn)．若M、O、N將橢圓長(zhǎng)軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是()．A．3 B．2 C． D．答案選B．解設(shè)橢圓為，雙曲線為，則，設(shè)焦半徑為c，故雙曲線與橢圓的離心率的比值是．例設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線分別交兩條漸近線于A、B兩點(diǎn)，OA⊥AB，若，則該雙曲線的離心率為()．A． B．2 C． D．答案選C．法一設(shè)漸近線OA的傾斜角為，則，由可得：，即，即，不妨令，，則，故選C．法二設(shè)，，，故，解得：．因此，，即，解得：，則離心率．例(2016浙江理)已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)重合，分別為的離心率，則()．A．且 B．且 C．且 D．且答案選A．解焦點(diǎn)重合：，故，取，，則．例(2008全國(guó)卷Ⅱ理)設(shè)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()．A． B． C． D．答案選B．解，其中．例(2015湖北文理)將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線，則()．A．對(duì)任意的a、b， B．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，C．對(duì)任意的a、b， D．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，答案選D．解借助下面的背景，利用分析，易得選D．當(dāng)然，利用特殊值法，也很容易得到答案．注糖水不等式也稱(chēng)作真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：若，則．拓展若，，，則，即“真分?jǐn)?shù)越加越大，假分?jǐn)?shù)越加越??！”例過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作斜率為的直線，分別交曲線E的左、右支于點(diǎn)A、B．若在曲線E上不存在點(diǎn)P，使得△PAB構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則雙曲線E的離心率為()．A． B． C．2 D．答案選D．解等價(jià)于垂直AB且過(guò)A的直線平行于漸近線．漸近線例(2014北京理)設(shè)雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則C的方程為；漸近線方程為．答案；．解易知漸近線方程不變，都是，設(shè)雙曲線C為：，代入，可得，即C的方程為．例(2008遼寧文)已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則()．A．1 B．2 C．3 D．4答案選D．解注意到雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，易知，，取頂點(diǎn)，一條漸近線為，，即．例(2010上海文)在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的中心在原點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，、分別是兩條漸近線的方向向量．任取雙曲線上的點(diǎn)P，若（a、b），則a、b滿足的一個(gè)等式是．答案．解由、可知雙曲線漸近線方程為，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)，易求得雙曲線方程為，…，可得．例(2010浙江理)設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為()．A． B． C． D．答案選C．解易知，平方解得，故，可得C．漸近線勾股三角形漸近線勾股三角形雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為定值b，如圖所示，由于漸近線OA的斜率為，又，，顯然AF的長(zhǎng)度是定值b．漸近線勾股三角形vs雙曲線的小圓如圖所示，過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為P，那么，點(diǎn)P在漸近線上，也在左準(zhǔn)線上，即點(diǎn)．例(1)(2014大綱卷文)雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則C的焦距等于()．A．2 B． C．4 D．(2)(2014新課標(biāo)Ⅰ理)已知F為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為()．A． B．3 C． D．答案(1)

選C；(2)選A．解(1)顯然

，又，故，，選C．(2)

雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是定值b，易得答案為A；對(duì)于此題，切不可強(qiáng)行求出焦點(diǎn)和漸近線，然后硬算，這樣小題大做了！例(2016北京理)雙曲線的漸近線為正方形OABC的邊OA、OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則_____．(2011山東理)已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為()．A． B． C． D．答案(1)

2；(2)選A．解(1)

雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為定值b，故．(2)

把圓C化成標(biāo)準(zhǔn)式：，故右焦點(diǎn)為，又兩條漸近線均和圓C相切，由于雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為定值b，故，選A．例(2014江西文)過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于A．若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A、O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的方程為()．A． B． C． D．答案選A．解不妨取漸近線，點(diǎn)，則，△OAC為正三角形．或者利用焦點(diǎn)C到漸近線的距離為b，故，即．例已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若在雙曲線第一象限內(nèi)的漸近線上存在兩點(diǎn)A、B滿足，且，則雙曲線的離心率為()．A．2 B． C．3 D．答案選A．解設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則，，又，故，在中，利用勾股定理，易得選A．例如圖，從雙曲線的左焦點(diǎn)F引圓的切線，切點(diǎn)為T(mén)，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于P點(diǎn)，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的大小關(guān)系為()．A． B． C． D．以上三種都有可能答案選C．解設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)為，易知，因此，．注M、T的位置與離心率的關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，M、T重合；②當(dāng)時(shí)，M在T的左邊；③當(dāng)時(shí)，M在T的右邊．例已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線與雙曲線的漸近線在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)A，同時(shí)這條切線交雙曲線的右支于點(diǎn)B，且，則雙曲線的漸近線的斜率為()．A． B． C． D．答案選A．解設(shè)切線和圓的切點(diǎn)為Q，則切線的方程為，又漸近線方程為，恰好和切線垂直，因此，點(diǎn)A和點(diǎn)Q重合，即，故．練習(xí)已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，若，且點(diǎn)B在以為圓心，為半徑的圓內(nèi)，則C的離心率的取值范圍為()．A． B． C． D．答案選A；易得，，，利用余弦定理求解即可．例(2012湖北理)如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為，虛軸兩端點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為．若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為A、B、C、D．則(1)

雙曲線的離心率；(2)

菱形的面積與矩形ABCD的面積的比值．答案(1)

；(2)．解(1)

利用直角三角形的等面積公式：，即，又，代入整理得：，解得（舍去）或，即．(2)

利用上述總結(jié)，可知點(diǎn)，當(dāng)然，現(xiàn)推也不難！連結(jié)OB，設(shè)BC與x軸的交點(diǎn)為E，由勾股定理可得：；利用直角三角形的等面積公式：，即，進(jìn)而．因此，，，故．注此題是以圓和菱形為載體，考察直角三角形的常用平幾性質(zhì)，因此，平時(shí)一定要熟練，類(lèi)似性質(zhì)可參考章節(jié)？例設(shè)雙曲線的下焦點(diǎn)為，直線與圓相切于點(diǎn)M，與雙曲線的上支交于點(diǎn)N，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則此雙曲線的離心率為．答案．解畫(huà)出圖形（此處略），易知△FON為等腰三角形，則．補(bǔ)出上焦點(diǎn)，則，因此，，即，不妨令，，則，．例已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線漸近線的垂線，垂足為P，則()．A． B． C． D．答案選A．法一做輔助線，利用對(duì)稱(chēng)性；易知，，過(guò)作雙曲線漸近線的垂線，垂足為Q，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得：，因此，，故選A．法二轉(zhuǎn)化為向量，利用直角三角形的投影；．法三利用三角形的中線長(zhǎng)公式，故．例若是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)F作該雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB的面積為，則該雙曲線的離心率()．A． B． C． D．或答案選C．解注意到隱藏的限制條件“”，設(shè)漸近線對(duì)應(yīng)的傾斜角為，不妨假設(shè)FA⊥OA，則，，故，解得．例過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)向圓作一條切線，若該切線與雙曲線的兩條漸近線截得的線段長(zhǎng)為，則該雙曲線的離心率為．答案2或．解不妨設(shè)切點(diǎn)為A，在第二象限，截得的線段，又，則；對(duì)于B，須分成兩種情況：當(dāng)點(diǎn)B在第一象限時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)B在第四象限時(shí)，．例設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，△FOH的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn)B，且，則C的離心率為()．A． B． C． D．答案選D．解如圖所示，抽象出幾何模型，則，即．例(2018江蘇)在平面直角標(biāo)系xOy中，若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是________．答案2．解，易得離心率．漸近線與焦點(diǎn)圓的交點(diǎn)漸近線與焦點(diǎn)圓的交點(diǎn)如圖，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為．不過(guò)，很多時(shí)候，題目會(huì)以“點(diǎn)P在漸近線上，且”的形式給出條件．證明漸近線的方程為，設(shè)，則，即，即．例雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)(P在第二象限，Q在第一象限)，，，則雙曲線C的離心率為．答案4．解由易知，又，，故，代入，易得．例雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，漸近線分別為，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)且在上，若，，則雙曲線的離心率是()．A． B．2 C． D．答案選B．法一（代數(shù)法）易知，故點(diǎn)P坐標(biāo)為，又，解得．法二（幾何法）注意到是線段的垂直平分線，故．補(bǔ)充模型例設(shè)、是橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使得（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則橢圓的離心率為()．A． B． C． D．答案選A．解由，結(jié)合中位線，易得，后略．例已知雙曲線的的左、右焦點(diǎn)分別為、，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，若，該雙曲線的離心率為e，則()．A．2 B． C． D．答案選D．法一易得點(diǎn)M的坐標(biāo)為；設(shè)雙曲線的半焦距為c，由于，故點(diǎn)M的軌跡為雙曲線，代入，解得，故．法二如圖所示，作出輔助線，設(shè)，則，即，又，解得．構(gòu)造雙曲線解題例在△ABC中，，，△ABC的面積為，則．答案．解構(gòu)造雙曲線，以B、C為焦點(diǎn)，易得點(diǎn)A的軌跡方程為：．設(shè)，則，故．例在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，，，則△ABC的面積的最大值是．答案．法一如圖，不妨令，以、為焦點(diǎn)，構(gòu)造雙曲線，又，故點(diǎn)A滿足：，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，由于，顯然，△ABC的面積的最大值是．法二利用中線長(zhǎng)公式：，解得，又，可得：．又，因此，，即△ABC的面積的最大值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．法三利用極化恒等式：，即，又，可解得，后續(xù)同法二．例求下列函數(shù)的值域：(1)

；(2)

．答案(1)

；(2)．解(1)

法一令，則等價(jià)于直線與等軸雙曲線有交點(diǎn)，如圖所示，數(shù)形結(jié)合，只須或即可，即值域?yàn)椋ㄒ?2)

由于，故等價(jià)于求的值域，令，則等價(jià)于直線與等軸雙曲線有交點(diǎn)，如圖所示，注意到：與漸近線平行的直線與雙曲線相交時(shí)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故或，即值域?yàn)椋C合題例若雙曲線的右支上一點(diǎn)直線的距離為，則的值是()．A． B． C． D．答案選B．解設(shè)與直線的距離為的直線方程為，則，即．聯(lián)立和，可得點(diǎn)．例(2015江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為．答案選．法一代數(shù)解法因?yàn)殛P(guān)于單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，故，故這里用到了分子有理化，可以有效解決兩個(gè)根號(hào)相減無(wú)法判斷單調(diào)性的問(wèn)題。法二注意到雙曲線的一條漸近線是，恰好與直線平行，故雙曲線右支上的點(diǎn)到的距離，可以理解為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)P到漸近線的距離加上兩平行線間的距離，顯然，當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限接近漸近線，距離接近于0，故，即．例已知A、B為雙曲線上經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條動(dòng)弦，M為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．答案．解利用極化恒等式：，又，，因此的最大值為．例已知A、B是橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn)，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（P、M都異于A、B），且滿足，其中，設(shè)直線AP、BP、AM、BM的斜率分別為，若，則．答案．解設(shè)，，由可知：O、M、P三點(diǎn)共線，故．又，因此，，又，所以．例(2011浙江文理)已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，的一條漸近線與以的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A、B兩點(diǎn)，若恰好將線段AB三等分，則()．A． B． C． D．答案選C．法一設(shè)漸近線和橢圓交于點(diǎn)C、D，則，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為，代入整理可得：，又，易得C．法二借助硬解定理：．例(2015重慶理壓軸)設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為1，過(guò)F作AF的垂線與雙曲線交于B、C兩點(diǎn)，過(guò)B、C分別作AC、AB的垂線交于點(diǎn)D．若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()．A． B． C． D．答案選A．法一易得，，，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，可知點(diǎn)D在x軸上．直線AC的斜率為，故直線BD的方程為：，令，可得，即D到直線BC的距離為．令，解得，故選A．法二畫(huà)出草圖可知，圖形中有多個(gè)直角三角形，因此，可以嘗試?yán)闷綆追?，即利用相似三角形或直角三角形的射影定理！利用相似三角形：易證得△ABF∽△CDF，故，即．利用直角三角形的射影定理：如圖所示，作出點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則是菱形，由于BA⊥CD，故，在中，．例(2005江西文理壓軸)以下同個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)．其中真命題的序號(hào)為（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）答案④．解①顯然不對(duì)；②由可知：點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，在△AOB中，取OA的中點(diǎn)為M，，則（設(shè)圓的半徑為r），故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)M為圓心，為半徑的圓；③兩根分別為2、，故命題正確；④顯然不對(duì)．例(2002全國(guó)舊課程卷理)設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)、距離之差為2m，到x、y軸的距離之比為2，求m的取值范圍．解設(shè)，根據(jù)題意可得：，即，，因此，點(diǎn)、、三點(diǎn)不共線，得，又，故．因此，點(diǎn)P是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線上，即．將代入雙曲線方程，解得，因，故，解得，因此，m的取值范圍為．例(2008重慶文)如圖，和是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：．(1)

求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)

設(shè)d為點(diǎn)P到直線的距離，若，求的值．答案(1)

；(2)．解(2)

易知，又，故，即點(diǎn)P在雙曲線的右支上；法一注意到直線l是雙曲線的準(zhǔn)線，由第二定義得： ，其中e為雙曲線的離心率，代入得：，解得，所以．法二設(shè)，注意到（焦半徑），結(jié)合，易得，故．法三由，解得，結(jié)合，故．例方程的曲線即為函數(shù)的圖象，對(duì)于函數(shù)，有如下結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②函數(shù)不存在零點(diǎn)；③函數(shù)的值域是；④的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限．其中正確的序號(hào)是．答案①②③④．解由知，x、y不能同時(shí)大于0，分類(lèi)討論：當(dāng)，時(shí)，表示雙曲線的一部分；當(dāng)，時(shí)，表示橢圓的一部分；當(dāng)，時(shí)，表示雙曲線的一部分；如圖所示，作出圖象，易知①③④正確．對(duì)于②的判斷：由于是雙曲線和的漸近線，所以結(jié)合圖象可知曲線與直線沒(méi)有交點(diǎn)，則不存在零點(diǎn)．例(2004浙江文壓軸、理)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)P、Q在雙曲線的右支上，點(diǎn)到直線AP的距離為1．(1)

若直線AP的斜率為k，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)

當(dāng)時(shí)，ΔAPQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M，求此雙曲線的方程．答案(1)

；(2)．解(1)

直線AP的方程，點(diǎn)M到直線AP的距離為1，故，即，由于，故，解得．(2)

設(shè)雙曲線方程為，由于點(diǎn)，，故，又因?yàn)镸是ΔAPQ的內(nèi)心，M到AP的距離為1，所以，直線AM是∠PAQ的角平分線，且M到AQ、PQ的距離均為1．因此，，（不妨設(shè)P在第一象限）直線PQ方程為，直線AP的方程，解得點(diǎn)，將點(diǎn)P代入雙曲線方程，解得，因此，雙曲線方程為，即．

2.4等軸雙曲線等軸雙曲線等軸雙曲線的方程為，其離心率為固定值，即，且等軸雙曲線的兩條漸近線是相互垂直的．相關(guān)性質(zhì)(1)

等軸雙曲線上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，是點(diǎn)P到左右焦點(diǎn)的距離的等比中項(xiàng)，即；(2)．證明如圖，不妨設(shè)等軸雙曲線為，設(shè)，利用焦半徑公式可得：，．(1)

；(2)

令，結(jié)合(1)

可得：，解得．因此，令，解得，即．注對(duì)于(1)的證明，也可以利用直譯法，參考下面的例題；此外，也可以利用三角形中線長(zhǎng)定理，參考下面的總結(jié)．例(2007全國(guó)Ⅱ文理)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線相切．(1)

求圓O的方程；(2)

圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使、、成等比數(shù)列，求的取值范圍．解(1)

圓O的半徑，故圓O的方程為．(2)

法一，，設(shè)，由、、成等比數(shù)列可得： ，整理得：．【對(duì)于上式，估計(jì)多數(shù)同學(xué)會(huì)畏于嘗試化簡(jiǎn)??！】故，由于點(diǎn)P在圓O內(nèi)，故，解得，所以的取值范圍為．法二注意到，聯(lián)想到三角形的中線定理，可得： ，即，故點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，易得其方程為：，后續(xù)求解同上．注上述過(guò)程中的極化恒等式和三角形中線定理的推導(dǎo)套路，在考試之時(shí)，要熟練書(shū)寫(xiě)．例橢圓在x軸上的頂點(diǎn)為A、B，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，且，則的取值范圍是．答案．解，，設(shè)，由可得點(diǎn)P的軌跡方程為；聯(lián)立，解得，故 ．例設(shè)，求坐標(biāo)平面上的兩點(diǎn)、之間的距離的最小值．解此題是個(gè)馬甲題！它把等軸雙曲線以參數(shù)方程的形式給出??！由，但是，要注意題目的隱藏限制條件：由于，則，因此，點(diǎn)A的軌跡實(shí)質(zhì)是雙曲線的右支，易得．一般情況(1)

設(shè)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，O是橢圓的中心，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則．(2)

設(shè)、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，O是雙曲線的中心，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，則．顯然，上述等軸雙曲線的性質(zhì)是此情況的特例．下面以橢圓為例進(jìn)行證明，雙曲線方法類(lèi)似，故略過(guò)．證法一代數(shù)法＋利用焦半徑設(shè)，則；又，故得證．證法二幾何法＋利用三角形的中線長(zhǎng)定理在中，利用中線長(zhǎng)定理：，整理即可得證．例已知橢圓，圓，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O于M、N兩點(diǎn)，求證：．證明設(shè)圓O的半徑為r，則，結(jié)合上面的總結(jié)，顯然成立．例已知點(diǎn)P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是其左、右焦點(diǎn)，O坐標(biāo)原點(diǎn)，若的最大值是，則此雙曲線的離心率是．答案．解利用中線長(zhǎng)定理，易得：，因此， ．例已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，與x軸平行的直線交于B、C兩點(diǎn)，記，若的離心率為，則()．A． B． C． D．答案選B．解不妨令雙曲線為：，則，設(shè)，，故 ．例設(shè)點(diǎn)P是雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)上的任意一點(diǎn)，、分別是其左、右焦點(diǎn)，O為中心，，則此雙曲線的離心率為()．A． B． C． D．2答案選C．

2.5雙曲線的漸近線專(zhuān)題漸近線的常用性質(zhì)四條已知雙曲線，設(shè)直線l與其漸近線交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上的一點(diǎn)，則有如下性質(zhì)：性質(zhì)一(1)

漸近線的合并方程：，一般也稱(chēng)作“退化的雙曲線”．此合并方程可以和直線進(jìn)行聯(lián)立，解決“直線和雙漸近線”的問(wèn)題！不過(guò)，要注意一點(diǎn)，此方程不適用硬解定理??！(2)

設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則直線AB和OM的斜率，也滿足“垂徑定理”，即．(3)

，即AB和CD的中點(diǎn)是重合的．證明(1)

漸近線可以看成退化的雙曲線“”．(2)

與橢圓、雙曲線類(lèi)似，點(diǎn)差法對(duì)于漸近線合并方程也是適用的．(3)

當(dāng)直線AB和斜率不存在或者為0時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，顯然成立；當(dāng)直線AB和斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)CD的中點(diǎn)為M，對(duì)雙曲線利用中點(diǎn)點(diǎn)差法可得：；設(shè)AB的中點(diǎn)為，對(duì)漸近線二合一方程利用中點(diǎn)點(diǎn)差法可得：；因此，，由于點(diǎn)M、都在直線l上，故點(diǎn)M、重合．例(2006湖南文理)過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B、C，且，則雙曲線M的離心率是()．A． B． C． D．答案選A．法一由可知，直線l為，與漸近線聯(lián)立，可解得，，故，解得，故選A．法二直線l為，與漸近線二合一方程聯(lián)立：，由可知，故，解得，故選A．例在△ABC中，，的平分線交邊BC于點(diǎn)D，，則△ABC面積的取值范圍是()．A． B． C． D．答案選D．解如圖所示，設(shè)直線BC的方程為，且．聯(lián)立：，故 ．練習(xí)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知，，角A的平分線交BC于點(diǎn)D，其中，則．答案．法一由得：…①；又…②由①②可得：，故．法二同上題類(lèi)似，構(gòu)造雙曲線的漸近線，則，合并即為：，設(shè)直線BC的方程為：，；聯(lián)立：，易得，故，整理得：，解得或(舍去)，因此， ．性質(zhì)二設(shè)點(diǎn)P到兩條漸近線的距離分別為、，則：(1)

；(2)

；(3)

△PEF的面積為．證明如圖，假設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)，則，兩條漸近線為，設(shè)，則，，，．(1)；(2)；(3)．例(1)

已知P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、B，則的值是()．A． B． C． D．不能確定(2)(2012全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試)設(shè)P是函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別向直線和y軸作垂線，垂足分別為A、B，則的值是．答案(1)選A；(2)．例(2005上海春季高考)已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作直線和y軸的垂線，垂足分別為M、N．.(1)

求a的值；(2)

問(wèn)：是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說(shuō)明理由；(3)

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值．答案(1)

；(2)為定值1；(3)．解(1)由于

，故．(2)

設(shè)點(diǎn)，則，，又，故，因此，為定值1．(3)

由題意可設(shè)，則，解得：，因此，，，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形OMPN面積的最小值為．例(2005北京文壓軸、理)如圖，直線與直線之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半部分記為，右半部分記為．(1)

分別用不等式組表示和；(2)

若區(qū)域W中的動(dòng)點(diǎn)到的距離之積等于，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(3)

設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與(2)中的曲線C相交于兩點(diǎn)，且與分別交于兩點(diǎn)．求證的重心與的重心重合．答案(1)

，；(2)；(3)

略．解(2)

根據(jù)題意可得：,即，又動(dòng)點(diǎn)在W區(qū)域，故，即．(3)

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為，由于直線l，曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，于是M1M2，M3M4的中點(diǎn)坐標(biāo)都為，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐標(biāo)都為，即它們的重心重合．當(dāng)直線l1與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為．由，得，由直線l與曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可知，且，設(shè)，，則，，設(shè)，，由及，解得：，．從而，所以，于是△OM1M2的重心與△OM3M4的重心也重合．性質(zhì)三過(guò)點(diǎn)P作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于G、H兩點(diǎn)，則：(1)

；(2)

平行四邊形PGOH的面積為定值．證明(1)

法一單動(dòng)點(diǎn)，可以利用雙曲線的參數(shù)方程設(shè)，直線PG的方程為：，與聯(lián)立，解得，同理可得：，故；法二設(shè)，，則，代入雙曲線方程： ，即，故．(2)

．例雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)為C上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作C的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于A、B兩點(diǎn)，若四邊形PAOB的面積為，且，則m的取值范圍是．答案．解由于四邊形PAOB為平行四邊形，設(shè)，，則，代入雙曲線方程，可解得，故，解得，所以．依題意可知：，c為雙曲線的半焦距，故．例已知點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線（為正常數(shù)）上，過(guò)點(diǎn)M作雙曲線C的某一條漸近線的垂線，垂足為N，則的最小值為．答案．解過(guò)點(diǎn)M作雙曲線C的另一條漸近線的垂線，垂足為H，則矩形MNOH的面積為定值，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．例(1982全國(guó)卷理)如圖：已知銳角內(nèi)有動(dòng)點(diǎn)P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四邊形PMON的面積等于常數(shù)．今以O(shè)為極點(diǎn)，∠AOB的角平分線OX為極軸，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它表示什么曲線．解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，則，，故，即，即，即…將代入，可得：，相應(yīng)的直角方程為：，這個(gè)方程表示雙曲線，由題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線右面一支在∠AOB內(nèi)的一部分．性質(zhì)四(1)

設(shè)，，，則．【縱坐標(biāo)類(lèi)似】(2)

設(shè)，、，則，.【由于，顯然可以借助對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)分析最值】證明(1)

法一．法二利用面積叉積公式：．(2)

由于，，代入，…，整理化簡(jiǎn)可得：．例(2009陜西文壓軸、理)已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離為．(1)

求雙曲線C的方程；(2)

如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，，求面積的取值范圍．答案(1)

；(2)

．解(2)

雙曲線C的兩條漸近線方程為，設(shè)，，且由，可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，化簡(jiǎn)得：．利用坐標(biāo)叉積公式：，，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，易得面積的取值范圍為．注①坐標(biāo)叉積公式需要推導(dǎo)，考試之時(shí)不能直接使用！一般可以借助向量快速推導(dǎo)，擺個(gè)公式，走個(gè)過(guò)場(chǎng)即可：，其他方法參考向量坐標(biāo)面積的總結(jié)．②對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)只能作為草稿分析使用，不能作為書(shū)面形式直接使用，考試之時(shí)需要借助導(dǎo)數(shù)進(jìn)行書(shū)面論證，具體如下：記，則，可得在上唯一的極值點(diǎn)，比較端點(diǎn)與極值點(diǎn)上的函數(shù)值：，，，可得面積的取值范圍為．練習(xí)已知直線l與雙曲線的兩條漸近線及右支依次交于P、M、N、Q（其中M、N在雙曲線上），若M是PN的中點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為()．A． B． C． D．答案選D．解由于，又M是PN的中點(diǎn)，故，設(shè)，，則點(diǎn)，即點(diǎn)，代入雙曲線方程可得：，解得．漸近三角形過(guò)雙曲線上一點(diǎn)，作雙曲線的切線交兩漸近線于、兩點(diǎn)，則稱(chēng)△AOB為雙曲線的漸近三角形，雙曲線的漸切三角形有如下性質(zhì)：(1)

點(diǎn)P處的切線方程為，即（垂徑定理的極限形式）．(2)

點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，即．(3)

①漸近三角形的面積為定值，即；②，；③記AB邊上的高為h，則，．(4)

①記AB與x軸交于點(diǎn)M，則；②記AB與y軸交于點(diǎn)N，則．例在雙曲線的兩條漸近線上分別取點(diǎn)A和B，使得，其中O為雙曲線的中心，則AB中點(diǎn)的軌跡方程是________．答案．解易知漸近線為，設(shè)，，則，即．設(shè)AB的中點(diǎn)為，則，故，即．例(2015四川理)如果函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則mn的最大值為()．A．16 B．18 C．25 D．答案選B．解即在恒成立，利用一次函數(shù)的保號(hào)性，只須恒成立即可，可得約束條件為，畫(huà)出可行域，如圖所示．常規(guī)方法，是轉(zhuǎn)化為關(guān)于m或n的二次函數(shù)進(jìn)行討論，過(guò)于繁瑣，如果利用上述結(jié)論，顯然，只需要找到中點(diǎn)即可，線段的中點(diǎn)是，但是，故舍去；線段的中點(diǎn)是（從圖中看很顯然），驗(yàn)證滿足題意，故mn必在點(diǎn)處取得最大值．練習(xí)(1)(2015四川文)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為()．A． B． C．12 D．14(2)(2008上海文壓軸)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為、、．如果是圍成的區(qū)域（含邊界）上的點(diǎn)，那么當(dāng)取到最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是．答案(1)選A；(2)．例已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線分別與y軸和直線交于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)距離平方的最小值為．答案．法一易求得，，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)．法二注意到是以y軸和直線為漸近線的雙曲線，故為定值．由于，，故 ．雙曲線漸近三角形的面積拓展①雙曲線上任一點(diǎn)的切線與兩條漸近線、圍成的三角形的面積是．②雙曲線上任一點(diǎn)的切線與兩條漸近線、圍成的三角形的面積是．③雙曲線上任一點(diǎn)的切線與兩條漸近線、圍成的三角形的面積是．例點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，有下列三個(gè)命題：①；②△OAB的面積為定值；③曲線C上存在兩點(diǎn)M、N，使得△OMN為等腰直角三角形．其中正確的命題個(gè)數(shù)是．答案2個(gè)（①、②）．例設(shè)直線、分別是函數(shù)圖象上的點(diǎn)處的切線，與垂直相交于點(diǎn)P，且、分別與x軸相交于點(diǎn)A、B，則△PAB的面積取值范圍是()．A． B． C． D．答案選B．解易知點(diǎn)不在同一支，如圖所示，利用上述結(jié)論，易知，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為，即、的斜率分別為1、時(shí)取得等號(hào)；同時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，的斜率趨近于0，此時(shí)趨近于和y軸重合，則．當(dāng)然，嚴(yán)格論證的話，可以設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)，計(jì)算一下即可，具體過(guò)程略．例(2008寧夏、海南理壓軸)設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)

求的解析式：(2)

證明：函數(shù)的圖像是一