問題：

如圖，已知菱形ABCD，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F.當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，過點(diǎn)C作CG⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)G，連接DG.求證：∠BDG=∠BAE.ABCDEFG圖3問題：當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，過點(diǎn)C作CG⊥AE交AE的延長線1－隱圓大合集

“圓”來如此簡單！

定遠(yuǎn)第一初級(jí)中學(xué)錢傳福－隱圓大合集

“圓”來如此簡單！

定遠(yuǎn)第一初級(jí)中學(xué)錢傳2定點(diǎn)定長走圓周，定線定角跑雙弧。三點(diǎn)（不共線）必有外接圓，對(duì)角互補(bǔ)也共圓。有“圓”千里來相會(huì)，無“圓”對(duì)面不相識(shí)?！皥A”出“緣”生關(guān)系現(xiàn)，“圓”成“緣”通真相明。確定隱圓的條件：定點(diǎn)定長走圓周，有“圓”千里來相會(huì)，確定隱圓的條件：3

一、定點(diǎn)+定長1.依據(jù)：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是以定點(diǎn)為圓心定長為半徑的圓。

一、定點(diǎn)+定長1.依據(jù)：42.應(yīng)用：（2）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的長。簡析：221

由AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A為圓2為半徑的圓上，由AB∥CD得DE=BC=1，易求BD=。2.應(yīng)用：簡析：221由AB=AC=AD=2，5ABCCABABCCAB6（1）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是_________.簡析：

E為定點(diǎn)，EB′為定長，B′點(diǎn)路徑為以E為圓心EB′為半徑的圓，作穿心線DE得最小值為。2.應(yīng)用：（1）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊73.練習(xí)：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F作邊AC上，且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB的距離的最小值為_____.M3.練習(xí)：M83.練習(xí)：如圖，已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°，求∠CAD的度數(shù)。3.練習(xí)：9二、定線(段）+定角1.依據(jù)：

與一條定線（段）的兩端夾角一定的動(dòng)點(diǎn)路徑是以定線為弦，定角為圓周角的弧。特別地：當(dāng)定角為直角時(shí)，定弦即為直徑。二、定線(段）+定角1.依據(jù)：

與一條定線（段）102.應(yīng)用：（1）O2.應(yīng)用：O112.應(yīng)用：（2）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，點(diǎn)P是CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠APB=90°時(shí)，求DP的長.

AB為定線，∠APB為定角（90°），P點(diǎn)路徑為以AB為弦（直徑）的弧，如下圖，易得DP為2或8。簡析：2.應(yīng)用：AB為定線，∠APB為定角（90°）123.練習(xí)：如圖，∠XOY=45°，等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在OX、OY上移動(dòng)，AB=2，那么OC的最大值為______.

AB為定線，∠XOY為定角，O點(diǎn)路徑為以AB為弦所含圓周角為45°的弧，如下圖，轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)C到定圓M的最長路徑，即CM+MO=√3+1+√2。簡析：3.練習(xí)：AB為定線，∠XOY為定角，O點(diǎn)路徑為以13

三、三點(diǎn)（不共線）定圓1.依據(jù)：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

三、三點(diǎn)（不共線）定圓1.依據(jù)：142.應(yīng)用：ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，CD=6，求AD的長。

作ΔABC的外接圓，如下圖，易得AD=7+5=12。簡析：2.應(yīng)用：作ΔABC的外接圓，如下圖，易得AD=151.依據(jù)：

對(duì)角互補(bǔ)（或一邊所對(duì)的兩個(gè)角相等）的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓。四、四點(diǎn)共圓1.依據(jù)：四、四點(diǎn)共圓162.應(yīng)用：如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P、E分別是線段AC、BC上的點(diǎn)，四邊形PEFD為矩形，若AP=2，求CF的長。

因∠DCE=∠DFE=∠DPE=90°，知D、F、C、E、P共圓，如下圖，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∽ΔDCF，CF：AP＝CD：AD，得CF＝1.5。簡析：123452.應(yīng)用：因∠DCE=∠DFE=∠DPE=90°，17練習(xí)：

如圖，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE，AF分別交射線CB，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，交直線BD于M，N.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC，CD上時(shí)，求證：△AMN∽△DFN.（2）在（1）的條件下，求證：AE=AN.（3）如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)在邊CB，DC的延長線上，AM=3時(shí)，求AF的長.練習(xí)：如圖，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE，A18小試牛刀：學(xué)了這么多，該你試一試了！1.如圖,△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝6,BC＝8,O為AC的中點(diǎn),過O作OE⊥OF,OE、OF分別交射線AB、BC于E、F,則EF的最小值為_____.小試牛刀：學(xué)了這么多，該你試一試了！1.如圖,△ABC中,19

圖中顯然O、E、F、B共圓，圓是動(dòng)的，但弦BO＝5，當(dāng)BO為直徑時(shí)最小，所以EF最小為5.簡析：圖中顯然O、E、F、B共圓，圓是動(dòng)的，但弦BO＝202.如圖,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠ABC＝30°,AB＝6,點(diǎn)D在AB邊上,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),且DA＝DE,則AD的取值范圍是_____。小試牛刀：

因DA=DE，可以D點(diǎn)為圓心以DA為半徑作圓，則圓D與BC相切時(shí)，半徑DE最小。E向B點(diǎn)移動(dòng)半徑增大直至D到B處（不含B點(diǎn)），得2≤AD<3。簡析：2.如圖,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠ABC＝3021

如圖①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，CM的延長線交AB于點(diǎn)F.(1)求證：CM＝EM；(2)若∠BAC＝50°