曲面梯形面積與定積分一、生活中的數(shù)學(xué)原型

觀察下面的圖片，從圖片中截取一個(gè)平面圖形，觀察圖形，如何求圖形的面積？

觀察下面的圖片，從圖片中截取一個(gè)平面圖形，觀察圖形，如何求圖形的面積？

“曲邊梯形”與“直邊圖形”的主要區(qū)別是什么？思考：割圓術(shù)是由魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)，所謂“割圓術(shù)”是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積，并以此求取圓周率的方法。將割圓術(shù)求圓面積的思想方法進(jìn)行提煉，能否應(yīng)用到求曲邊梯形的面積中？思考：二、知識(shí)回顧—割圓術(shù)1.將圓等分成n個(gè)小扇形。2.用小三角形面積近似代替小扇形面積。3.求小三角形面積之和。4.隨著n的增大，小三角形面積之和不斷逼近圓面積。割圓術(shù)求圓面積的思想方法：將割圓術(shù)求圓面積的思想方法進(jìn)行提煉1.分割2.近似代替3.求和4.取極限如何求由直線x=0，x=1，y=0和曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積S？思考：（一）分割思考：應(yīng)采用什么樣的方式分割下面的曲邊梯形才能有利于“以直代曲”？方案一方案二三、探究類比割圓術(shù)的思想方法，求特殊的曲邊梯形的面積選取方案二進(jìn)行探究1.如何將大曲邊梯形等分成n個(gè)小曲邊梯形？2.將區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間，這n個(gè)小區(qū)間分別是什么？3.單獨(dú)研究第i個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間是什么？思考：解答：1.在區(qū)間[0，1]上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn)，過這些點(diǎn)做x軸的垂線。2.將區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間，這n個(gè)小區(qū)間分別是：3.單獨(dú)研究第i個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間是：（二）近似代替對(duì)每個(gè)小曲邊梯形如何“以直代曲”？（單獨(dú)研究第i個(gè)小曲邊梯形）思考：得出方案選取方案二進(jìn)行探究。怎樣求出小矩形的面積？思考：第i個(gè)區(qū)間的高度為：解答：第i個(gè)區(qū)間的長度為：第i個(gè)區(qū)間的面積為：（三）求和怎樣求出n個(gè)小矩形的面積之和？思考：參考公式:小矩形面積之和為：解答：觀察當(dāng)n取不同值時(shí)，小矩形面積之和與大曲邊梯形面積存在怎樣的關(guān)系？（四）取極限思考：n趨向于無窮大時(shí)，曲邊梯形的面積S等于多少？解答：取極限得到曲邊梯形的面積為：選取方案三進(jìn)行探究。怎樣求出小矩形的面積？思考：類比方案二中的求解過程，發(fā)現(xiàn)求解小矩形的面積時(shí)的異同。第i個(gè)區(qū)間的高度為：第i個(gè)區(qū)間的長度為：第i個(gè)區(qū)間的面積為：選取方案二進(jìn)行探究。怎樣求出小矩形的面積？思考：解答：四、類比探究—類比“不足近似值”與“過剩近似值”（三）求和怎樣求出n個(gè)小矩形的面積之和？思考：參考公式:小矩形面積之和為：解答：觀察當(dāng)n取不同值時(shí)，小矩形面積之和與大曲邊梯形面積存在怎樣的關(guān)系？（四）取極限思考：為了更加準(zhǔn)確地求出大曲邊梯形的面積，n應(yīng)該取何值？解答：取極限得到曲邊梯形的面積為：利用Excel表格進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，S的不足近似值與過剩近似值最終都會(huì)趨近于取

在區(qū)間上任一點(diǎn)

處的函數(shù)值