引言一、什么是高等數(shù)學(xué)?初等數(shù)學(xué)—研究對象為常量,以靜止觀點(diǎn)研究問題.高等數(shù)學(xué)—研究對象為變量,運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù).有了變數(shù),運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生.恩格斯1引言一、什么是高等數(shù)學(xué)?初等數(shù)學(xué)—研究對象為常哪些主要的科學(xué)問題呢?有四種主要類型的問題.Archimedes2哪些主要的科學(xué)問題呢?有四種主要類型的問題.Archimed第一類問題已知物體移動(dòng)的距離表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求速度和距離。3第一類問題已知物體移動(dòng)的距離表困難在于：十七世紀(jì)所涉及的速度和加速度每時(shí)每刻都在變化。例如，計(jì)算瞬時(shí)速度，就不能象計(jì)算平均速度那樣，用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間去除移動(dòng)的距離，因?yàn)樵诮o定的瞬刻，移動(dòng)的距離和所用的時(shí)間都是0，而0/0是無意義的。但根據(jù)物理學(xué)，每個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體在它運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必有速度，是不容懷疑的。第一類問題4困難在于：十七世紀(jì)所涉及的速度和加速度每時(shí)每求曲線的切線。這個(gè)問題的重要性來源于好幾個(gè)方面：純幾何問題、光學(xué)中研究光線通過透鏡的通道問題、運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任意一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向問題等。第二類問題5求曲線的切線。第二類問題5第二類問題困難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個(gè)沒有解決的問題。古希臘人把圓錐曲線的切線定義為“與曲線只接觸于一點(diǎn)而且位于曲線的一邊的直線”。這個(gè)定義對于十七世紀(jì)所用的較復(fù)雜的曲線已經(jīng)不適應(yīng)了。6第二類問題困難在于：曲線的“切第三類問題求函數(shù)的最大最小值問題。十七世紀(jì)初期，伽利略斷定，在真空中以角發(fā)射炮彈時(shí)，射程最大。研究行星運(yùn)動(dòng)也涉及最大最小值問題。7第三類問題求函數(shù)的最大最小值問困難在于：原有的初等計(jì)算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問題。但新的方法尚無眉目。第三類問題8困難在于：原有的初等計(jì)算方法已不適于解決研究第四類問題求曲線的長度、曲線所圍成的面積、曲面所圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一個(gè)物體上的引力。9第四類問題求曲線的長度、曲線所困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體積，盡管他們只是對于比較簡單的面積和體積應(yīng)用了這個(gè)方法，但也必須添加許多技巧，因?yàn)檫@個(gè)方法缺乏一般性，而且經(jīng)常得不到數(shù)值的解答。窮竭法先是被逐步修改，后來由微積分的創(chuàng)立而被根本修改了。第四類問題10困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體1.分析基礎(chǔ):函數(shù),極限,連續(xù)

2.微積分學(xué):一元微積分3.向量代數(shù)與空間解析幾何4.無窮級數(shù)5.常微分方程主要內(nèi)容多元微積分111.分析基礎(chǔ):函數(shù),極限,連續(xù)二、如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)?1.認(rèn)識高等數(shù)學(xué)的重要性,培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2.學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).聰明在于學(xué)習(xí),天才在于積累.學(xué)而優(yōu)則用,學(xué)而優(yōu)則創(chuàng).由薄到厚,由厚到薄.馬克思恩格斯要辨證而又唯物地了解自然,就必須熟悉數(shù)學(xué).一門科學(xué),只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能達(dá)到真正完善的地步.華羅庚12二、如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)?1.認(rèn)識高等數(shù)學(xué)的重要性,培養(yǎng)濃1

函數(shù)、極限與連續(xù)1.1函數(shù)1.2初等函數(shù)1.3極限概念1.4極限的計(jì)算1.5無窮小量與無窮大量1.6函數(shù)的連續(xù)性131函數(shù)、極限與連續(xù)1.1函數(shù)131.1函數(shù)1.1.1區(qū)間及鄰域1.1.2函數(shù)的定義1.1.3醫(yī)學(xué)中常用的函數(shù)表示法1.1.4函數(shù)的性質(zhì)141.1函數(shù)1.1.1區(qū)間及鄰域141.1.1區(qū)間及鄰域區(qū)間(interval)開區(qū)間ab閉區(qū)間ab半開半閉區(qū)間

(a,b]、[a,b)以上區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間無限區(qū)間

(P.1自學(xué))151.1.1區(qū)間及鄰域區(qū)間(interval)開區(qū)間鄰域(neighborhood)鄰域是一種特殊的區(qū)間。點(diǎn)a的δ鄰域aa-δa+δδδ點(diǎn)a的空心鄰域aa-δa+δδδ右鄰域(a,a+δ)，左鄰域(a-δ,a)16鄰域(neighborhood)鄰域是一種特1.1.2函數(shù)的定義(function)

設(shè)在某變化過程中有兩個(gè)變量x、y，如果對于x在某個(gè)范圍D內(nèi)的每一個(gè)確定的值,按照某個(gè)對應(yīng)法則f，y都有（唯一）確定的值與它對應(yīng)，則稱變量y是確定在D上的x的函數(shù)。定義1.1x：自變量x的取值范圍D：定義域y：因變量(函數(shù)變量)函數(shù)值

y的取值范圍：值域，記為f(D)(function)記為：y=f(x)，x∈D171.1.2函數(shù)的定義(function)

1.決定一個(gè)函數(shù)的因素有哪些？2.如何確定函數(shù)的定義域？181.決定一個(gè)函數(shù)的因素有哪些？181.1.3醫(yī)學(xué)中常用的函數(shù)表示法列表法用表格列示出x與y的對應(yīng)關(guān)系。圖像法以數(shù)對(x,y)為點(diǎn)的坐標(biāo)描繪出能反映x解析法用等式表示出x與y的關(guān)系。優(yōu)點(diǎn)：便于查出函數(shù)值。與y的對應(yīng)關(guān)系的曲線。優(yōu)點(diǎn)：容易觀察函數(shù)的變化趨勢。優(yōu)點(diǎn)：便于從理論上對函數(shù)進(jìn)行定性研究與定量分析。191.1.3醫(yī)學(xué)中常用的函數(shù)表示法列表法用表格列示醫(yī)學(xué)和物理學(xué)中常用的分段函數(shù)：例1.1.1符號函數(shù)xyo-11例1.1.2脈沖函數(shù)xoy例1.1.3xyo20醫(yī)學(xué)和物理學(xué)中常用的分段函數(shù)：例1.1.1符號函數(shù)xyo-11.1.4函數(shù)的性質(zhì)奇偶性設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D，D是對稱于原點(diǎn)的數(shù)集。若對D上任何x，如果f(－x)=f(x)，則稱y=f(x)為偶函數(shù)；如果f(－x)=－f(x)，則稱y=f(x)為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。211.1.4函數(shù)的性質(zhì)奇偶性設(shè)函數(shù)y單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D。若對于D內(nèi)任意兩個(gè)x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)≤f(x2)，則稱函數(shù)y=f(x)是D上的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)≥f(x2)，則稱函數(shù)y=f(x)是D上的單調(diào)遞減函數(shù)。遞增函數(shù)的圖像一般是上升的，遞減函數(shù)的圖像一般是下降的。22單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D。若周期性設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D。若存在常數(shù)T，使對D上任何x，都有

f(x+T)=f(x)則稱y=f(x)為周期函數(shù)。并稱T為y=f(x)的一個(gè)周期。若在周期函數(shù)的所有周期中有一個(gè)最小正常數(shù)，則稱其為基本周期。23周期性設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D。有界性設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D。若存在正數(shù)M，使對D上任何x，都有︱f(x)︱≤M則稱f(x)在D上有界，并稱f(x)是D上的有界函數(shù)。否則，稱函數(shù)f(x)在D上無界。

有界函數(shù)的圖像必落在直線y=M與y=-M之間的帶形區(qū)域內(nèi)。24有界性設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D。若1.結(jié)論“函數(shù)y=3x+5是無界函數(shù)”正確否?

2.結(jié)論“函數(shù)y=cosx不是單調(diào)函數(shù)”正確否？3.考察函數(shù)y=1/x在[1,+∞)的單調(diào)性和有界性。251.結(jié)論“函數(shù)y=3x+5是無界函數(shù)”正確否?25且證明證:令則由消去得時(shí)其中a,b,c為常數(shù),且為奇函數(shù).為奇函數(shù).1.

設(shè)26且證明證:令則由消去得時(shí)其中a,b,c為常數(shù),且2.

設(shè)函數(shù)的圖形與均對稱,求證是周期函數(shù).證:由的對稱性知于是故是周期函數(shù),周期為272.設(shè)函數(shù)的圖形與均對稱,求證是周期函數(shù).證:由的對1.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)1.2.2復(fù)合函數(shù)1.2.3反函數(shù)1.2.4隱函數(shù)1.2.5初等函數(shù)281.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)281.2.1基本初等函數(shù)(basicelementaryfunction)P.6表1.2291.2.1基本初等函數(shù)(basicelement1.2.2復(fù)合函數(shù)設(shè)y=lnu，u=1-x2。問：能否通過變量u，將y表示成以x為自變量的函數(shù)？當(dāng)x∈(-1,1)，能通過變量u將y表示成x的函數(shù)：y=ln(1-x2),x∈(-1,1)當(dāng)x∈(-∞,-1]∪[1,+∞)時(shí)，不能通過變量u將y表示成x的函數(shù)。D*301.2.2復(fù)合函數(shù)設(shè)y=lnu定義1.2(復(fù)合函數(shù))設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u)，u是x的函數(shù)u=φ(x)。D*表示u=φ(x)的定義域中使得函數(shù)y=f(u)有意義的全體x的非空集合。則當(dāng)x∈D*時(shí)，函數(shù)u=φ(x)所對應(yīng)的u值使得函數(shù)y=f(u)有確定的值與x相對應(yīng)，從而得到一個(gè)以x為自變量，y為因變量的函數(shù)，記為

y=f[φ(x)]，x∈D*

這時(shí)，稱y為x的復(fù)合函數(shù)。其中，稱y=f(u)為外函數(shù)，u=φ(x)為內(nèi)函數(shù)，u

為中間變量。31定義1.2(復(fù)合函數(shù))設(shè)y是u的復(fù)合函數(shù)的映射示意圖yuxy=f(u)u=φ(x)y=f[φ(x)]32復(fù)合函數(shù)的映射示意圖yuxy=f(u)u=φ(x)y說明：復(fù)合函數(shù)還可以由多個(gè)（三個(gè)及其以上）基本初等函數(shù)經(jīng)多次復(fù)合構(gòu)成。并不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成有意義的復(fù)合函數(shù)。如y=ln(u-8)與u=sinx構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)y=ln(sinx-8)就沒有意義。33說明：復(fù)合函數(shù)還可以由多個(gè)（三個(gè)及其以上）基本初等函數(shù)經(jīng)多次寫出由y=eu，u=-2x

復(fù)合而成的函數(shù)。復(fù)合函數(shù)為

y=

e

-2x，x∈(-∞,+∞)。例1.2.1解：例1.2.2分解復(fù)合函數(shù)y=lntanx。解：y=lnu

，u=tanx。例1.2.3分解復(fù)合函數(shù)y=sin8(8x+sinx)。解：y=u8，u=sinv，v=8x+sinx。34寫出由y=eu，u=-2x復(fù)1.2.3反函數(shù)(自學(xué))1.2.4隱函數(shù)顯函數(shù)由形式y(tǒng)=f(x)表示的函數(shù)。隱函數(shù)由方程F(x,y)=0表示的函數(shù)。如x2+y2=R2yx+ln(xy)+sin(xy)+8=0351.2.3反函數(shù)(自學(xué))1.2.4隱函數(shù)顯函1.2.5初等函數(shù)(Elementaryfunction)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，能用一個(gè)解析式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。初等函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象。在高等數(shù)學(xué)中，把不是初等函數(shù)的函數(shù)統(tǒng)稱為非初等函數(shù)。如：有些分段函數(shù)就不是初等函數(shù)。361.2.5初等函數(shù)(Elementaryfunc非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)37非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x內(nèi)容小結(jié)1.集合區(qū)間、鄰域定義域?qū)?yīng)規(guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素38內(nèi)容小結(jié)1.集合區(qū)間、鄰域定義域3.函數(shù)的特性有界性,1.3極限概念1.3.1數(shù)列極限1.3.2函數(shù)極限1.3.3單側(cè)極限極限是一種非初等運(yùn)算極限以發(fā)展的眼光分析事物(變量)的變化規(guī)律極限是高等數(shù)學(xué)中一種重要的研究方法

391.3極限概念1.3.1數(shù)列極限極限是一劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn).他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:40劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.1.3.1數(shù)列極限(limitofsequence)

數(shù)列極限的實(shí)質(zhì)：考察當(dāng)n→+∞時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)an的變化趨勢。引例考察數(shù)列{an}的變化趨勢：Ox-11a1a2a3a4……Ox2

1a1a2a4an…3n…Ox-1a2n-1a2n1a3411.3.1數(shù)列極限(limitofsequen定義1.3已知數(shù)列{xn}，A是某確定常數(shù)。若當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)xn與常數(shù)A的距離|xn-A|任意小，則稱數(shù)列{xn}以常數(shù)A為極限，記為或如果一個(gè)數(shù)列的極限存在，則稱該數(shù)列是收斂(converge)的；如果一個(gè)數(shù)列的極限不存在，則稱該數(shù)列是發(fā)散(diverge)的。42定義1.3已知數(shù)列{xn}，A是某確定定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:當(dāng)n>

N

時(shí),總有記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂,否則稱數(shù)列發(fā)散.幾何解釋:即或則稱該數(shù)列的極限為a,43定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng))例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當(dāng)時(shí),就有故44例1.已知證明數(shù)列的極限為1.證:欲使即只要因此,例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N與

有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取45例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可收斂性質(zhì)證:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式46收斂性質(zhì)證:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,2.收斂數(shù)列一定有界.說明:此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.數(shù)列472.收斂數(shù)列一定有界.說明:此性質(zhì)反過來不一定成立.1.3.2函數(shù)極限(limitoffunction)數(shù)列{xn}可表示成函數(shù)的形式：y=f(n),n∈Ny=f(x),x∈N這時(shí)，自變量的變化趨勢只有一種：x→+∞而對一般的函數(shù)而言，y=f(x),x∈D自變量的變化趨勢有兩種情形：x→+∞、x→-∞、x→∞;x→x0481.3.2函數(shù)極限(limitoffuncti定義1.4(x趨于無窮大時(shí)函數(shù)f(x)的極限)設(shè)函數(shù)f(x)

在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)有定義，A是某確定常數(shù)。若當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)與A的距離|f(x)-A|任意小，則稱函數(shù)f(x)

在x→+∞時(shí)以常數(shù)A為極限，記為或并稱x→+∞時(shí)f(x)收斂(converge)；否則，稱x→+∞時(shí)f(x)發(fā)散(diverge)。同理，可定義函數(shù)f(x)

在x→-∞時(shí)以常數(shù)A為極限：49定義1.4(x趨于無窮大時(shí)函數(shù)f(x)的極限)定義

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若則稱常數(shù)時(shí)的極限,幾何解釋:記作直線y=A為曲線的水平漸近線A為函數(shù)50定義.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若則稱常數(shù)時(shí)的極限,幾直線y=A仍是曲線y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，51直線y=A仍是曲線y=f(x)的漸近線定義1.5(x趨于x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限)設(shè)函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0附近有定義，A是某確定常數(shù)。若當(dāng)自變量x趨于x0時(shí)，f(x)與A的距離|f(x)-A|任意小，則稱函數(shù)f(x)

在x趨于x0時(shí)以常數(shù)A為極限，記為或并稱x趨于x0時(shí)f(x)收斂；否則，稱x趨于x0時(shí)f(x)發(fā)散。52定義1.5(x趨于x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限)定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或即當(dāng)時(shí),有若記作幾何解釋:極限存在函數(shù)局部有界這表明:53定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱說明：函數(shù)極限的實(shí)質(zhì)：考察當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f(x)的變化趨勢：若x→x0時(shí)函數(shù)f(x)收斂，則x→x0時(shí)f(x)必定趨向于某一個(gè)確定的數(shù)；若x→x0時(shí)函數(shù)f(x)發(fā)散，則x→x0時(shí)f(x)不趨向于任何確定的數(shù)?！皒→x0”表示x從x0的兩側(cè)任意接近x0。但有時(shí)也需考慮x從x0的某一側(cè)任意接近x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限情況。54說明：函數(shù)極限的實(shí)質(zhì)：54例.證明證:故取當(dāng)時(shí),必有因此55例.證明證:故取當(dāng)時(shí),必有因此55例1.3.2不存在不存在不存在不存在56例1.3.2不存在不存在不存在不存在56x→0

時(shí)，在–1和1之間無限震蕩。57x→0時(shí)，在–1和1之間無限震蕩。571.3.3單側(cè)極限(one-sidedlimit)定義1.6(單側(cè)極限)設(shè)函數(shù)f(x)

在區(qū)間(x0,x0+δ)

內(nèi)有定義，A是某確定常數(shù)。若x從x0的右側(cè)趨于x0時(shí)，f(x)與A的距離|f(x)-A|任意小，則稱函數(shù)f(x)

在x趨于x0時(shí)以常數(shù)A為右極限(right-sidedlimit)，記為或同理，左極限：(left-sidedlimit)581.3.3單側(cè)極限(one-sidedlimit例1.3.3考察符號函數(shù)sgnx在x=0處的單側(cè)極限。解：sgnx的圖像如右圖：oxy1-1則右極限左極限x→0時(shí)，sgnx的變化趨勢如何？是否有極限？可得出什么結(jié)論？59例1.3.3考察符號函數(shù)sgnx在x=0處的單側(cè)極限。解定理1.1(單側(cè)極限與一般極限的關(guān)系)當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f(x)極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等，即or60定理1.1(單側(cè)極限與一般極限的關(guān)系)當(dāng)例.設(shè)函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:利用定理3.因?yàn)轱@然所以不存在.61例.設(shè)函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:利用定理3問a為何值時(shí)，所給函數(shù)在x=2處極限存在?例1.3.4解：左極限右極限欲使函數(shù)在x=2處有極限，必有4+2a=20,a=8.62問a為何值時(shí)，研究函數(shù)在x→x0極限時(shí)，是否要考慮f(x)在x=x0時(shí)的性態(tài)？為什么？若f(x0+0)和f(x0-0)都存在，當(dāng)x趨于x0時(shí)，

f(x)的極限一定存在嗎？如何利用f(x0+0)和f(x0-0)來判斷當(dāng)x趨于x0時(shí)，f(x)的極限不存在？

63研究函數(shù)在x→x0極限時(shí)，是否要考慮f(x)在x=1.4極限的計(jì)算1.4.1極限的四則運(yùn)算法則1.4.2兩個(gè)重要極限641.4極限的計(jì)算1.4.1極限的四則運(yùn)算法則1.4.1極限的四則運(yùn)算法則具體的運(yùn)算法則見P.18定理。以下面幾個(gè)例子來說明極限的運(yùn)算法則:定理1.2(極限的四則運(yùn)算法則)則有定理.

若定理

.若則有定理.

若且B≠0,則有651.4.1極限的四則運(yùn)算法則具體的運(yùn)例.求解:

x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因66例.求解:x=1時(shí)分母=0,分子≠0例6

.求解:時(shí),分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式67例6.求解:時(shí),分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))68一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))68例1.4.1例1.4.2=-1例1.4.369例1.4.1例1.4.2=-1例1.4.369思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:不存在.否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問70思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:不存在.否則由3.求解法1原式=解法2令則原式=713.求解法1原式=解法2令則原式=714.試確定常數(shù)a使解:令則故因此724.試確定常數(shù)a使解:令則故因此721.4.2兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限是極限的證明及計(jì)算中的重要內(nèi)容。重要極限及其變形也是各類考試的考點(diǎn)。731.4.2兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限是圓扇形AOB的面積證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注74圓扇形AOB的面積證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB的面積當(dāng)時(shí)注75當(dāng)時(shí)注75例1.4.5=-1例1.4.6=1例1.4.4=376例1.4.5=-1例1.4.6=1例1.4.4=376例.

求解:例.求解:令則因此原式77例.求解:例.求解:令則因此原式77例1.4.778例1.4.778例.求解:原式=例.已知圓內(nèi)接正n邊形面積為證明:證:說明:計(jì)算中注意利用79例.求解:原式=例.已知圓內(nèi)接正n邊形面積80802.證:當(dāng)時(shí),設(shè)則812.證:當(dāng)時(shí),設(shè)則81當(dāng)則從而有故說明:此極限也可寫為時(shí),令82當(dāng)則從而有故說明:此極限也可寫為時(shí),令82例1.4.9例1.4.10例1.4.883例1.4.9例1.4.10例1.4.883例.求解:原式=84例.求解:原式=84例.求解:令則因此原式且85例.求解:令則因此原式且85例.求解:原式=86例.求解:原式=861.5無窮小量與無窮大量1.5.1無窮小量1.5.2無窮小量階的比較1.5.3無窮大量871.5無窮小量與無窮大量1.5.1無窮小量81.5.1無窮小量如果定義1.7(無窮小量)則稱f(x)是x→x0時(shí)的無窮小量(infinitesimal).說明：類似地，可定義在自變量的其它變化情形下的無窮小量：x→∞，x→x0+

，x→x0-，…

稱以0為極限的數(shù)列為無窮小數(shù)列。881.5.1無窮小量如果定義1.7例1.5.1因?yàn)樗援?dāng)x→1

時(shí)函數(shù)x-1為無窮小量。因?yàn)樗援?dāng)x→∞

時(shí)函數(shù)1/x為無窮小量。無窮小量是很小的數(shù)嗎？數(shù)零是不是無窮小量？89例1.5.1因?yàn)樗援?dāng)x→1時(shí)函數(shù)x-1為無窮小量。因無窮小的性質(zhì)當(dāng)x→x0時(shí)，如果f(x)、g(x)均為無窮小，則當(dāng)x→x0時(shí)，有:

f(x)±g(x)為無窮小。推廣：有限個(gè)無窮小的代數(shù)和是無窮小。有界變量(常量、無窮小量)與無窮小的積是無窮小。兩個(gè)無窮小的和、差與積仍是無窮小。兩個(gè)無窮小的商呢？如：x→

0時(shí)，3x、x2、sinx都是無窮小，但90無窮小的性質(zhì)當(dāng)x→x0時(shí)，如果f(x其中

為時(shí)的無窮小量.定理.(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當(dāng)時(shí),有對自變量的其它變化過程類似可證.91其中為時(shí)的無窮小量.定理.(無窮小與函數(shù)極限的1.5.2無窮小量階的比較對無窮小量進(jìn)行階的比較是為了考察兩個(gè)無窮小量趨于0的速度。設(shè)f(x)、g(x)為x→x0時(shí)的無窮小，如果則稱x→x0時(shí)，f(x)是比g(x)高階的無窮??；則稱x→x0時(shí)，f(x)是比g(x)低階的無窮??；記為：f(x)=o(g(x))(x→x0)921.5.2無窮小量階的比較對無窮小量則稱x→x0時(shí)，f(x)與g(x)是同階的無窮小。特別地，當(dāng)k=1時(shí)，稱f(x)與g(x)是等價(jià)無窮小。記為：f(x)=O(g(x))(x→x0)

記為：f(x)~g(x)(x→x0)

93則稱x→x0時(shí)，f(x)與g(x)是同階的無窮小例如

,當(dāng)～時(shí)～～又如

，故時(shí)是關(guān)于x的二階無窮小,～且94例如,當(dāng)～時(shí)～～又如，故時(shí)是關(guān)于x的二階無窮小,～例1.5.2因?yàn)樗裕?dāng)x→0時(shí)，x2是比3x高階的無窮小量,即x2=o(3x)(x→0)又則當(dāng)x→3時(shí),x2-9

是與x-3同階的無窮小量，x2-9=O(x-3)(x→3)95例1.5.2因?yàn)樗裕?dāng)x→0時(shí)，x2是比3x高例1.5.3當(dāng)x→0時(shí)，a

取何值使得解：要使必須a=296例1.5.3當(dāng)x→0時(shí)，a取何值使得解：要使必須a擴(kuò)展：定理設(shè)且存在，則在求極限中的應(yīng)用：例1.5.4求解：當(dāng)時(shí)，sinx~x,故P.24例397擴(kuò)展：定理設(shè)且存在，則在求極限中的應(yīng)用：例1.5.4求解：當(dāng)例1.求解:原式例2.求解:98例1.求解:原式例2.求解:981.5.2無窮大量定義1.8(無窮大量)如果則稱函數(shù)變量f(x)是x→x0時(shí)的無窮大量(infinitelygreat)。說明：不可將無窮大(∞)與很大的數(shù)混為一談；

無窮大數(shù)列；

無窮大與無窮小的關(guān)系。991.5.2無窮大量定義1.8(無窮大量)如果則1.6函數(shù)的連續(xù)性1.6.1連續(xù)的概念1.6.2函數(shù)的間斷點(diǎn)1.6.3連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性1001.6函數(shù)的連續(xù)性1.6.1連續(xù)的概念1001.6.1連續(xù)的概念變量的增量(increment)函數(shù)的連續(xù)性定義1.9(函數(shù)的連續(xù)性定義1)設(shè)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義。自變量的增量Δx=x-x0,函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。則稱函數(shù)y=f(x)在x0處連續(xù)。(continuityoffunction)x0f(x0)x0+△xf(x0+△x)△yf(x)若1011.6.1連續(xù)的概念變量的增量(increment)例1.6.1證明y=sinx在點(diǎn)x∈(-∞,+∞)

連續(xù)。證明：由定義1.9知,y=sinx在任意點(diǎn)x∈(-∞,+∞)連續(xù)，稱sinx在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是連續(xù)的。類似地,y=cosx在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是連續(xù)的。102例1.6.1證明y=sinx在點(diǎn)x∈(-∞,+∞)定義1.10(函數(shù)的連續(xù)性定義2)說明：(1)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及附近有定義；幾何意義：定義要點(diǎn)：函數(shù)曲線在x=x0處是“連”著的。在求極限中的應(yīng)用：(2)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處極限存在；(3)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處極限值等于函數(shù)值f(x0),即：求連續(xù)函數(shù)的極限時(shí),極限符號與連續(xù)函數(shù)符號可以交換順序。因此，只要求出函數(shù)值即可。103定義1.10(函數(shù)的連續(xù)性定義2)說明：(1)函數(shù)定義1.11(函數(shù)的左、右連續(xù)性)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x0-δ,x0]內(nèi)有定義，如果f(x0)=f(x0-0)，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0左連續(xù)。同理，可定義右連續(xù)。xyx0xyx0定理1.3(連續(xù)的充分必要條件)左連續(xù)右連續(xù)104定義1.11(函數(shù)的左、右連續(xù)性)設(shè)函定義1.12(函數(shù)在區(qū)間內(nèi)(上)連續(xù))如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)。如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在區(qū)間左端點(diǎn)a右連續(xù)，在區(qū)間右端點(diǎn)b左連續(xù)，則稱y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)。說明：區(qū)間內(nèi)(上)的連續(xù)函數(shù)的圖像是一條沒有間斷的曲線。105定義1.12(函數(shù)在區(qū)間內(nèi)(上)連續(xù))如果函數(shù)1.6.2函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0不連續(xù)，則稱點(diǎn)x0為函數(shù)y=f(x)的間斷點(diǎn)(pointofdiscontinuity)。怎樣判斷點(diǎn)x0為函數(shù)y=f(x)的間斷點(diǎn)：(1)函數(shù)在點(diǎn)x0是否有定義；(2)函數(shù)在點(diǎn)x0處的左、右極限均是否存在并相等；(3)函數(shù)在點(diǎn)x0處的極限值是否等于該點(diǎn)的函數(shù)值。函數(shù)間斷點(diǎn)的分類：間斷點(diǎn)分為兩類。1061.6.2函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)：第一類間斷點(diǎn)：設(shè)x0為函數(shù)y=f(x)的間斷點(diǎn)，如果f(x)在間斷點(diǎn)x0處的左、右極限都存在(不論f(x)在x0處是否有定義)，則稱x0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)．xyx0xyx0第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)xyx0107第一類間斷點(diǎn)：設(shè)x0為函數(shù)y=f(x)顯然為其可去間斷點(diǎn).為其跳躍間斷點(diǎn).108顯然為其可去間斷點(diǎn).為其跳躍間斷點(diǎn).108第二類間斷點(diǎn)：除第一類間斷點(diǎn)以外的其它間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。常見的有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。例1.6.3考察下列函數(shù)在x=0處的間斷情況：x=0為振蕩間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn)109第二類間斷點(diǎn)：除第一類間斷點(diǎn)以外的其它間斷點(diǎn)