上海市南匯區(qū)下沙中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.現(xiàn)有5人站成一排照相，其中甲、乙相鄰，且丙、丁不相鄰，這樣的排法有A．12種

B．24種

C．36種

D．48種參考答案：B2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點B，設(shè)直線OB與x軸正半軸所成的最小正角為，則等于(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為，由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值，依題有,則，利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因為點在角的終邊上，所以依題有,則，所以，故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.3.閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S=（）A．45 B．35 C．21 D．15參考答案：D【考點】循環(huán)結(jié)構(gòu)．【專題】圖表型．【分析】根據(jù)所給s、i的值先執(zhí)行T=2i﹣1，s=s×T，i=i+1，然后判斷i與4的關(guān)系，滿足條件算法結(jié)束，不滿足條件繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，從而到結(jié)論．【解答】解：因為s=1，i=1，執(zhí)行T=2×1﹣1=1，s=1×1=1，i=1+1=2；判斷2＜4，執(zhí)行T=2×2﹣1=3，s=1×3=3，i=2+1=3；判斷3＜4，執(zhí)行T=2×3﹣1=5，s=3×5=15，i=3+1=4；此時4≥4，滿足條件，輸出s的值為15．故選D．【點評】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)中的直到型循環(huán)，直到型循環(huán)是先執(zhí)行后判斷，不滿足條件進(jìn)入循環(huán)，滿足條件算法結(jié)束．4.復(fù)數(shù)（1+i）2的虛部是A．0

B．2 C．一2 D．2i參考答案：B5.

已知，且，那么（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.已知圓的焦點，則|CF|等于（

）

A．6

B．4

C．2

D．0參考答案：C7.若隨機(jī)變量的分布列為：，若，則的最小值等于A．0

B．2

C．4

D．無法計算參考答案：A8.已知函數(shù)，則不等式f（x）≥x2的解集是(

) A． B． C． D．參考答案：A考點：一元二次不等式的解法．分析：已知分段函數(shù)f（x）求不等式f（x）≥x2的解集，要分類討論：①當(dāng)x≤0時；②當(dāng)x＞0時，分別代入不等式f（x）≥x2，從而求出其解集．解答： 解：①當(dāng)x≤0時；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；

②當(dāng)x＞0時；f（x）=﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，綜上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故選A．點評：此題主要考查一元二次不等式的解法，在解答的過程中運(yùn)用的分類討論的思想，是一道比較基礎(chǔ)的題目．9.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項和為A.

B.

C.

D.參考答案：A10.秦九韶是我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入x的值為3，每次輸入a的值均為4，輸出s的值為484，則輸入n的值為（）A．6 B．5 C．4 D．3參考答案：C【考點】程序框圖．【分析】模擬程序的運(yùn)行過程，依次寫出每次循環(huán)得到的s，k的值，由題意可得5＞n≥4，即可得解輸入n的值．【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得x=3，k=0，s=0，a=4s=4，k=1不滿足條件k＞n，執(zhí)行循環(huán)體，a=4，s=16，k=2不滿足條件k＞n，執(zhí)行循環(huán)體，a=4，s=52，k=3不滿足條件k＞n，執(zhí)行循環(huán)體，a=4，s=160，k=4不滿足條件k＞n，執(zhí)行循環(huán)體，a=4，s=484，k=5由題意，此時應(yīng)該滿足條件k＞n，退出循環(huán)，輸出s的值為484，可得：5＞n≥4，所以輸入n的值為4．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關(guān)于函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列說法中正確的是①y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對稱；②y=f（x）的圖象關(guān)于直線對稱③y=f（x）的最大值是；

④f（x）即是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)．參考答案：①②④【考點】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①根據(jù)中心對稱的定義，驗證f（2π﹣x）+f（x）=0是否成立即可判斷其正誤；②根據(jù)軸對稱的條件，驗證f（π﹣x）=f（x）成立與否即可判斷其正誤；③可將函數(shù)解析式換為f（x）=2sinx﹣2sin3x，再換元為y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最值即可判斷正誤；④利用奇函數(shù)的定義與周期函數(shù)的定義直接證明．【解答】解：①∵f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對稱，∴①正確；②∵f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的圖象關(guān)于x=對稱，故②正確；③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，則y=g（t）=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，則y′=2﹣6t2，令y′＞0解得，故y=2t﹣2t3，在[]上遞增，在[﹣1，]和[]上遞減，又g（﹣1）=0，g（）=，故函數(shù)的最大值為，∴③錯誤；④∵f（﹣x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函數(shù)，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函數(shù)的周期，∴函數(shù)即是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，∴④正確．綜上知，說法中正確的是①②④．故答案為：①②④．【點評】本題考查與函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)的判斷，要求熟練掌握中心對稱，軸對稱性成立的條件，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)奇偶性與周期性的判定，涉及到的知識較多，綜合性強(qiáng)．12.將長度為的線段分成段，每段長度均為正整數(shù)，并要求這段中的任意三段都不能構(gòu)成三角形．例如，當(dāng)時，只可以分為長度分別為1,1,2的三段，此時的最大值為3；當(dāng)時，可以分為長度分別為1,2,4的三段或長度分別為1,1,2,3的四段，此時的最大值為4．則：

（1）當(dāng)時，的最大值為________；

（2）當(dāng)時，的最大值為________．參考答案：（1）；（2）（注：第一問2分，第二問3分）13.過點P(,3)的直線，交圓于A、B兩點，Q為圓上任意一點，且Q到AB的最大距離為，則直線l的方程為

。參考答案：或

14.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，由曲線，和x軸正半軸所圍成的封閉圖形的面積為____.參考答案：【分析】首先計算曲線，的交點為，過作軸于，將面積分為兩部分，分別求面積相加得到答案.【詳解】易知曲線，交點為過作軸于，將面積分為兩部分則面積故答案為【點睛】本題考查了定積分的兩種計算方式：公式法和幾何法，意在考查學(xué)生的計算能力.15.如圖，在△ABC中，，，，點為的中點，以為直徑的半圓與，分別相交于點，，則____；____.參考答案：

16.函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為

▲

參考答案：略17.如圖，正方體，則下列四個命題：①在直線上運(yùn)動時，三棱錐的體積不變；②在直線上運(yùn)動時，直線與平面所成角的大小不變；③在直線上運(yùn)動時，二面角的大小不變；④是平面上到點和距離相等的點，則點的軌跡是過點的直線其中真命題的編號是

（寫出所有真命題的編號）參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，為空間四點．在中，．等邊三角形以為軸運(yùn)動．（Ⅰ）當(dāng)平面平面時，求；（Ⅱ）當(dāng)轉(zhuǎn)動時，是否總有？證明你的結(jié)論．

參考答案：解：（Ⅰ）取的中點，連結(jié)，因為是等邊三角形，所以．

當(dāng)平面平面時，因為平面平面，

所以平面，

可知由已知可得，

在中，．（Ⅱ）當(dāng)以為軸轉(zhuǎn)動時，總有．證明：（ⅰ）當(dāng)在平面內(nèi)時，因為，所以都在線段的垂直平分線上，即．（ⅱ）當(dāng)不在平面內(nèi)時，由（Ⅰ）知．又因，所以．又為相交直線，所以平面，由平面，得．綜上所述，總有。略19.（1）.設(shè)函數(shù)，解不等式；（2）.已知，，，證明：.參考答案：（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用分類討論去掉絕對值，求解不等式；（2）利用柯西不等式證明.【詳解】（1）當(dāng)時，無解；當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，得；綜上可得；（2）因為由柯西不等式得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；所以.【點睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法和證明不等式，含有絕對值不等式常用零點分段討論的方法進(jìn)行.20.已知水渠在過水?dāng)嗝婷娣e為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大．現(xiàn)有以下兩種設(shè)計，如圖：圖①的過水?dāng)嗝鏋榈妊^水濕周．圖②的過水?dāng)嗝鏋榈妊菪芜^水濕周．若△與梯形的面積都為.圖①圖②（1）分別求和的最小值；（2）為使流量最大，給出最佳設(shè)計方案．參考答案：【知識點】函數(shù)最值的應(yīng)用；根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

B3

B10【答案解析】（1）的最小值為，的最小值為；（2）在方案②中當(dāng)取得最小值時的設(shè)計為最佳方案.

解析：（1）在圖①中，設(shè)∠，AB＝BC＝a．則，由于S、a、皆為正值，可解得．當(dāng)且僅當(dāng)，即＝90°時取等號．所以，的最小值為．在圖②中，設(shè)AB＝CD＝m，BC＝n，由∠BAD＝60°可求得AD＝m＋n，，解得．，的最小值為．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．（2）由于，則的最小值小于的最小值．所以在方案②中當(dāng)取得最小值時的設(shè)計為最佳方案.【思路點撥】（1）圖①的過水?dāng)嗝鏋榈妊鰽BC，AB=BC，設(shè)角ABC，表示出和s，圖②的過水?dāng)嗝鏋榈妊菪蜛BCD，AD∥BC，AB=CD，∠BAD=60°，過水濕周l2=AB+BC+CD，表示出l2和s，根據(jù)l1、l2的表達(dá)式求最值；（2）根據(jù)水渠在過水?dāng)嗝婷娣e為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大，由（1）比較l1、l2的最小值的大小，小的其流量大．21.已知橢圓的兩個焦點是，，點在橢圓上，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，是橢圓上不與P、Q重合的任意一點，為原點．若直線和與軸分別相交于點、，證明：為定值．參考答案：（1）由橢圓的定義，得，．……2分

將點的坐標(biāo)代入，得，解得．…4分

所以，橢圓的方程是．

…………………5分

（2）依題意，得．設(shè)，

則有，，．…………………6分

直線的方程為，……………7分

令，得，所以．

………………8分

直線的方程為，………………9分

令，得，所以．…10分

所以

所以為定值．

………………12分

22.（本小題12分）PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB30