常微分方程線性微分方程的基本理論1第1頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月及其各階導(dǎo)數(shù)均為一次的n階微分方程稱為n階線性微分方程.一、基本概念n階線性微分方程:未知函數(shù)一般形式為:式中上的連續(xù)函數(shù)。及是區(qū)間2第2頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月n階線性齊次微分方程:

n階線性齊次微分方程，簡(jiǎn)稱齊線性方程,（3.2.1）稱非齊線性方程。3第3頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上面兩個(gè)方程分別為齊次和非齊次的線性方程。關(guān)于高階方程同一階方程一樣,也有相類似的解的存在惟一性定理.4第4頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3.1：如果(3.2.1）的系數(shù)及右端函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，滿足下列初始條件方程（3.2.1）存在惟一的解

則對(duì)任一個(gè)及任意的5第5頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性微分算子:為常數(shù).性質(zhì)3.2性質(zhì)3.1例如:6第6頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、齊次線性方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)定理3.2(疊加原理)如果是方程（3.2.2）的n個(gè)解，則它的線性組合

也是方程（3.2.2）的解，這里是常數(shù).7第7頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1驗(yàn)證是方程的解.解:分別將代入方程,得所以為方程的解.8第8頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月基本解組:如果方程（3.2.2）的任意一個(gè)解都可以表示為,則稱是方程組（3.2.2）

的基本解組。線性相關(guān):對(duì)定義在區(qū)間(a,b)上的函數(shù)組如果存在不全為0的常數(shù),使得在(a,b)上恒成立,稱這些函數(shù)在所給的區(qū)間上線性相關(guān)，不然稱這些函數(shù)線性無(wú)關(guān).9第9頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2:函數(shù)在任何區(qū)間上都是線性無(wú)關(guān)的，因?yàn)槿绻挥挟?dāng)所有的時(shí)才成立.(3.2.5)事實(shí)上,如果至少有一個(gè)則(3.2.5)式的左端是一個(gè)不高于n次的多項(xiàng)式，它最多可有n個(gè)不同的根.它在所考慮的區(qū)間上不能有多于n個(gè)零點(diǎn),更不可能恒為零.10第10頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注1：在函數(shù)中有一個(gè)函數(shù)等于零,則函數(shù)在（a,b）上線性相關(guān)。則在（a,b）上線性無(wú)關(guān)的充要條件為或在（a,b）上不恒為常數(shù).注2：考慮到兩個(gè)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)組

如果或在(a,b)上有定義,11第11頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注3：函數(shù)組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)是依賴于所取的區(qū)間。例4:函數(shù)上是線性無(wú)關(guān),而在上是線性相關(guān)的.和事實(shí)上在區(qū)間上不是常數(shù),分別在區(qū)間和上是常數(shù).例3:在任何區(qū)間上都線性無(wú)關(guān).在任何區(qū)間上都線性相關(guān).12第12頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Wronskian行列式:稱為這些函數(shù)的Wronskian行列式,通常記做由定義在區(qū)間（a,b）上的k個(gè)k-1次可微函數(shù)所作成的行列式13第13頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明:由假設(shè)知存在一組不全為零的常數(shù)使得依次將此恒等式對(duì)t微分,得到n個(gè)恒等式定理3.3如果函數(shù)組在區(qū)間(a,b)上線性相關(guān),則在(a,b)上它們的Wronskian行列式恒等于零,即.14第14頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上述n個(gè)恒等式所組成的方程組是關(guān)于的齊次方程組,它的系數(shù)行列式就是Wronskian行列式,由線性代數(shù)的知識(shí)知,要使方程組存在非零解,則必有15第15頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果函數(shù)組的某點(diǎn)處不等于0,即,推論3.1Wronskian行列式在區(qū)間（a,b）上則該函數(shù)組在區(qū)間上線性無(wú)關(guān)。定理3.3如果函數(shù)組在區(qū)間(a,b)上線性相關(guān),則在(a,b)上它們的Wronskian行列式恒等于零,即.16第16頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月顯然對(duì)所有的t,恒有但在上線性無(wú)關(guān).事實(shí)上,假設(shè)存在恒等式則當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有故在上線性無(wú)關(guān).注:定理3.3的逆定理不一定成立.例17第17頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3.4若函數(shù)組是齊線性方程在區(qū)間（a,b）上的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,則它們的Wronskian行列式在該區(qū)間上任何點(diǎn)都不為零.證明:用反證法假設(shè)有使得18第18頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其系數(shù)行列式故它有非零解現(xiàn)以這組解構(gòu)造函數(shù)由定理3.2知,是齊線性方程的解.考慮關(guān)于的齊次線性代數(shù)方程組19第19頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即這個(gè)解滿足初始條件又也是齊線性方程滿足初始條件的解,由解的惟一性知,由不全為零,知矛盾,從而定理得證.20第20頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則該解組在（a,b）上線性相關(guān).使得它的Wronskian行列式在區(qū)間（a,b）上的n個(gè)解。如果存在推論3.2：設(shè)是方程(3.2.2)推論3.3:方程（3.2.2）的n個(gè)解

在其定義區(qū)間（a,b）上線性無(wú)關(guān)的充要條件存在一點(diǎn)使得是在該區(qū)間上21第21頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3.5

n階齊次線性方程（3.2.2）一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.線性無(wú)關(guān)解組,基本解組及通解的關(guān)系?證明:由定理3.1知,方程滿足初始條件的解一定存在,因?yàn)樗赃@n個(gè)解一定線性無(wú)關(guān),故定理得證.22第22頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3.6如果是n階齊次方程（3.2.2）的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。即方程（3.2.2）的任一解都可以表示成證明:設(shè)是方程(3.2.2)的任一解,并且滿足條件則它一定是該方程的基本解組，23第23頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月考慮方程組由于它的系數(shù)行列式是方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解的Wronskian行列式在處的值,故它不為零.因而上面的方程組有惟一解現(xiàn)以這組解構(gòu)造函數(shù)由解的疊加原理和惟一性定理得即24第24頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3.7(通解結(jié)構(gòu)定理)若是方程（3.2.2）的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則方程的通解可以表示成其中

是任意常數(shù).25第25頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3.8是方程（3.2.2）的n個(gè)解，設(shè)(等價(jià)命題)(1)方程（3.2.2）的通解為(2)是方程的基本解組.(3)在(a,b)上線性無(wú)關(guān).(4)存在使(5)任給有26第26頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3.9(劉維爾公式)注1：在內(nèi)有一點(diǎn)為零，則在整個(gè)上恒為零.設(shè)是（3.2.2）的任意n個(gè)解，是它的Wronskian行列式，則對(duì)(a,b)上任意都有一點(diǎn)，上述公式我們稱為劉維爾(Liouville)公式.27第27頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注2：對(duì)二階微分方程若是方程的一個(gè)解，則可得通解.設(shè)是與不同的解，則由劉維爾公式推得用乘以上式兩端可得由此得28第28頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月取,則為另一個(gè)解，因?yàn)樗耘c線性無(wú)關(guān).29第29頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5求方程的通解.解：易知為一特解，所以30第30頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)定理3.10n階線性非齊次方程的通解等于它的一個(gè)特解與它所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解之和.

31第31頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明:設(shè)是方程（3.2.10)的一個(gè)特解，是方程（3.2.2)的通解。是方程（3.2.10)的解。首先我們證明所以是方程（3.2.10)的解。即事實(shí)上(3.2.10)32第32頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月是非齊方程的通解。其次證即證對(duì)于非齊方程的任意一解總可以表示為其中是由中的任意常數(shù)取某一特定的值而得到的。所以是齊次方程的解，于是事實(shí)上，因?yàn)榭捎芍械娜我獬?shù)取某一特定的值而得到。其中33第33頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3.11設(shè)與分別是非齊次線性方程和則是方程的解。的解,證明：34第34頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常數(shù)變易法求特解是齊線性方程的設(shè)n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，因而齊線性方程的通解為(3.2.11)為求非齊線性方程的一個(gè)特解,將(3.2.11)中的常數(shù)看成關(guān)于t的函數(shù),此時(shí)(3.2.11)式變?yōu)?3.2.12)將(3.2.12)代入齊線性方程得到一個(gè)所滿足的關(guān)系式.(3.2.10)(3.2.2)35第35頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們還需要另外n-1個(gè)條件來(lái)求出在理論上這些條件是任意給出的,為了運(yùn)算的方便,我們按下面的方法來(lái)給出這n-1個(gè)條件.對(duì)(3.2.12)式兩邊對(duì)t求導(dǎo)得令得到(3.2.12)36第36頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)上式兩邊繼續(xù)對(duì)t求導(dǎo),重復(fù)上述做法,令繼續(xù)上述做法,直到獲得第n-1個(gè)條件令37第37頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月最后,將上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)得將上面得到的代入(3.2.10),得到由n個(gè)未知函數(shù)所滿足的方程組:(3.2.10)38第38頁(yè)，課件共41頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月該方程組的系數(shù)行列式恰好是齊線性方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解的Woolski