極坐標一．基礎(chǔ)知識回顧1．平面直角坐標系：設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換．2．極坐標系的概念：在平面上取一個定點O，叫做；自極點O引一條射線Ox，叫做；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個．設(shè)M是平面上任一點，極點O與點M的距離OM叫做點M的，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的，記作．3．極坐標和直角坐標的互化：把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標為(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為x＝，y＝.另一種關(guān)系為：ρ2＝，tanθ＝.4．簡單曲線的極坐標方程：(1)一般地，如果一條曲線上任意一點都有一個極坐標適合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐標適合方程φ(ρ，θ)＝0的點都在曲線上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲線的．(2)常見曲線的極坐標方程常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為r的圓ρ＝r(0≤θ＜2π)圓心為(r,0)，半徑為r的圓ρ＝2rcos_θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半徑為r的圓ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)過極點，傾斜角為α的直線(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α和θ＝π＋α過點(a,0)，與極軸垂直的直線ρcos_θ＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜θ＜\f(π,2)))過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，與極軸平行的直線ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)題型一：平面直角坐標系中的伸縮變換例1：在平面直角坐標系中，已知伸縮變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng).))(1)求點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－2))經(jīng)過φ變換所得點A′的坐標；(2)求直線l：y＝6x經(jīng)過φ變換后所得直線l′的方程．變式訓(xùn)練1：在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝2y))后，曲線C變?yōu)榍€(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲線C的方程，并判斷其形狀．例2：將下列點的坐標進行極坐標與直角坐標的互化(其中ρ＞0,0≤θ＜2π)(1)(4，eq\f(2π,3))；(2)(－eq\r(3)，－1)．變式訓(xùn)練2：將下列點的坐標進行極坐標與直角坐標的互化(其中ρ＞0,0≤θ＜2π)(1)(2，－eq\f(π,3))；(2)(eq\r(6)，－eq\r(2))．題型三：極坐標方程與直角坐標方程的互化例3：已知橢圓C的極坐標方程為ρ2＝eq\f(12,3cos2θ＋4sin2θ)，點F1、F2為其左、右焦點，直線l的極坐標方程為ρsinθ＝ρcosθ－2.求：(1)直線l和曲線C的普通方程；(2)點F1、F2到直線l的距離之和．變式遷移3：在極坐標系下，已知圓O：ρ＝cosθ＋sinθ和直線l：ρsin(θ－eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)，(1)求圓O和直線l的直角坐標方程；(2)當θ∈(0，π)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標．題型四：極坐標方程的應(yīng)用例4：在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設(shè)點A的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．變式遷移4：在極坐標系中，圓C的圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(π,6)))，半徑r＝6.(1)寫出圓C的極坐標方程；(2)若Q點在圓C上運動，P在OQ的延長線上，且OQ∶QP＝3∶2，求動點P的軌跡方程．題型五：極坐標系下極徑的幾何意義的應(yīng)用【例5】在直角坐標系中，曲線的直角坐標方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出曲線的極坐標方程和的直角坐標方程；（2）設(shè)點P在上，點Q在上，且，求三角形POQ面積的最大值.【變式訓(xùn)練5】在直角坐標系xOy中,曲線C的極坐標方程為(φ為參數(shù)).以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,A,B為C上兩點,且OA⊥OB,設(shè)射線OA:θ=α,其中0<α<.(1)求曲線C的直角坐標方程;(2)求|OA|·|OB|的最小值.三．方法規(guī)律總結(jié)1．在平面直角坐標系中，改變x軸或y軸的單位長度會對圖形產(chǎn)生影響2．一般地，在平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換，直線伸縮后仍為直線，雙曲線伸縮后仍為雙曲線，拋物線伸縮后仍為拋物線，而橢圓伸縮后可能是橢圓或圓．3.極坐標系是由距離(極徑)與方向(極角)確定點的位置的一種方法，由于終邊相同的角有無數(shù)個且極徑可以為負數(shù)，故在極坐標系下，有序?qū)崝?shù)對(ρ，θ)與點不一一對應(yīng)．這點應(yīng)與直角坐標系區(qū)別開來．4.在極坐標系中，同一個點M的坐標形式不盡相同，M(ρ，θ)可表示為(ρ，θ＋2nπ)(n∈Z)．5.極坐標系中，極徑ρ可以為負數(shù)，故M(ρ，θ)可表示為(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(n∈Z)．特別地，若ρ＝0，則極角θ可為任意角．6.建立曲線的極坐標方程，其基本思路與在直角坐標系中大致相同，即設(shè)曲線上任一點M(ρ，θ)，建立等式，化簡即得．7.以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位．平面內(nèi)任一點P的直角坐標(x，y)與極坐標(ρ，θ)可以互換，公式是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x).))四．課后作業(yè)練習(xí)1．已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ＝2，ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2.(1)將圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程．2．已知極坐標方程C1：ρ＝10，C2：ρsin(θ－eq\f(π,3))＝6，(1)化C1、C2的極坐標方程為直角坐標方程，并分別判斷曲線形狀；(2)求C1、C2交點間的距離．3．在極坐標系中，極點為O，已知曲線C1：ρ＝2與曲線C2：ρsin(θ－eq\f(π,4))＝eq\r(2)交于不同的兩點A、B.(1)求|AB|的值；(2)求過點C(1,0)且與直線AB平行的直線l的極坐標方程．4．將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程．5．在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為ρcos(θ－eq\f(π,3))＝1，M，N分別為C與x軸、y軸的交點．(1)寫出C的直角坐標方程，并求M、N的極坐標；(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程．6．在極坐標系中，曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρ＝－2cosθ，ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1.(1)求曲線C1和C2的公共點的個數(shù)；(2)過極點作動直線與曲線C2相交于點Q，在OQ上取一點P，使|OP|·|OQ|＝2，求點P的軌跡，并指出軌跡是什么圖形．7．已知曲線C1的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－1，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系．(1)求曲線C2的直角坐標方程；(2)求曲線C2上的動點M到曲線C1的距離的最大值．8．在直角坐標系xOy中，曲線C1的極坐標方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0(a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cosθ.(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為直角坐標方程；(2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.9．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cosθ.(1)求出圓C的直角坐標方程；(2)已知圓C與x軸相交于A，B兩點，直線l：y＝2x關(guān)于點M(0，m)(m≠0)對稱的直線為l′，若直線l′上存在點P使得∠APB＝90°，求實數(shù)m的最大值．10．在平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝sinφ))(φ為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，射