板狀結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)域拓?fù)鋬?yōu)化方法

優(yōu)化結(jié)構(gòu)是研究領(lǐng)域最具潛力和挑戰(zhàn)的課題。圍繞結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題,國內(nèi)外學(xué)者已開展了大量的研究,主要有:1988年Bendsue788eM.P和KikuchiN板條狀結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中。目前的拓?fù)鋬?yōu)化方法很難解決板條狀結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題。即使獲得了較好的拓?fù)?也因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)過于復(fù)雜不利于加工制造。劉書田等本文目的是對板條狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化,使其獲得具有周期性的、易于制造的結(jié)構(gòu)拓?fù)湫问?。以結(jié)構(gòu)的最小體積作為目標(biāo)函數(shù),建立了基于變密度理論SIMP材料插值模型的周期性拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型。對常規(guī)拓?fù)鋬?yōu)化難以求解的板條狀懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了周期性拓?fù)鋬?yōu)化研究。1日本交易的優(yōu)化板條狀結(jié)構(gòu)的優(yōu)化域劃分成m個(gè)子域,其中m為x軸方向子域的數(shù)目,如圖1所示。x2基于simp材料插值模型的周期性拓?fù)鋬?yōu)化2.1simp材料的插值模型目前變密度理論中最為流行的材料插值模型為SIMP材料插值模型式中:E(xSIMP材料插值模型表示為式中x2.2剛度約束條件下的體積最小問題拓?fù)鋬?yōu)化問題一般可以按兩種方式建立優(yōu)化模型:一是在體積或質(zhì)量約束下求最小柔度,即最大剛度。二是在剛度約束下求最小體積或質(zhì)量。由于篇幅所限,本文主要討論剛度約束條件下的體積最小問題。單元相對密度作為設(shè)計(jì)變量,結(jié)構(gòu)體積作為目標(biāo)函數(shù),剛度約束條件下基于變密度理論SIMP材料插值模型的周期性拓?fù)鋬?yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可表達(dá)為式中:V為結(jié)構(gòu)體積;v為了使各子域具有相同的拓?fù)湫问?在數(shù)學(xué)模型中設(shè)置了額外的約束條件,即2.3虛擬子域的求解采用準(zhǔn)則法求解式(3)的拓?fù)鋬?yōu)化問題,首先構(gòu)造Lagrange方程表示為式中:λ當(dāng)x針對設(shè)計(jì)變量的取值情況,式(6)可以改寫為將C=F利用結(jié)構(gòu)剛度矩陣的對稱性,式(9)整理為由于λ式(10)可以表示為式(13)兩邊同時(shí)乘以x單元的應(yīng)變能計(jì)算公式為式(15)代入式(14)得式(16)適用于優(yōu)化域內(nèi)的所有單元。對各子域內(nèi)的第j個(gè)單元求和得為了保證能夠獲得具有周期性的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),在有限元計(jì)算過程中,通常把結(jié)構(gòu)劃分為單元結(jié)構(gòu)完全相同的有限元網(wǎng)格,即單元體積完全相等,用公式表達(dá)為構(gòu)建一個(gè)虛擬子域,各子域內(nèi)各單元相對密度的平均值和應(yīng)變能的平均值作為虛擬子域內(nèi)單元的相對密度和應(yīng)變能。則虛擬子域內(nèi)第j個(gè)單元的應(yīng)變能為虛擬子域內(nèi)第j個(gè)單元的相對密度為將式(19)、(20)代入式(17)得由式(21)可得虛擬子域內(nèi)單元相對密度與應(yīng)變能之間的關(guān)系,即式(22)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則,考慮到式(22)及設(shè)計(jì)變量的上下限,可得到基于優(yōu)化準(zhǔn)則法的迭代公式為式中:η為阻尼系數(shù),引入η的目的是為了確保數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性和收斂性。式(23)作為虛擬子域內(nèi)設(shè)計(jì)變量的迭代公式,更新后的設(shè)計(jì)變量作為各子域內(nèi)單元的設(shè)計(jì)變量,即x2.4lagrange乘子的選取用式(23)對虛擬子域內(nèi)設(shè)計(jì)變量的更新需求解DLagrange乘子和設(shè)計(jì)變量的取值應(yīng)滿足剛度約束。假設(shè)當(dāng)設(shè)計(jì)變量由第k步x記(D將式(23)代入式(25)可得求解方程式(26),可得到λ2.5賴性等問題的問題由于數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定,拓?fù)鋬?yōu)化容易出現(xiàn)棋盤格、網(wǎng)格依賴性等問題。X.huang,Y.M.Xie應(yīng)用了一種利用過濾函數(shù)來抑制棋盤格、網(wǎng)格依賴性的方法過濾函數(shù)建立一個(gè)以單元a為中心,以r式中:s'式中r2.6日中合作優(yōu)化的收斂標(biāo)準(zhǔn)相鄰兩次優(yōu)化結(jié)果柔度的相對誤差τ小于給定的收斂精度τ3子域和代次對拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的優(yōu)化如圖2所示的平面矩形懸臂梁結(jié)構(gòu),左端被固定,右端作用F=1000N/mm的垂直載荷。設(shè)計(jì)域長L=120mm,高H=40mm,在其內(nèi)部有一個(gè)長L周期性拓?fù)鋬?yōu)化的參數(shù)如下:彈性模量E圖3是體積分?jǐn)?shù)f(優(yōu)化后的體積與初始體積的比值,即圖4是拓?fù)鋬?yōu)化的過程,單元相對密度大于0.1的單元被顯示出來,其中圖4e)為最優(yōu)拓?fù)洹膱D中可以看出,第12次迭代時(shí),3個(gè)子域內(nèi)同時(shí)出現(xiàn)3個(gè)孔洞,并且各子域內(nèi)的孔洞具有周期性。隨著迭代次數(shù)的增加,3個(gè)孔洞逐漸變大,但孔洞數(shù)目沒有發(fā)生改變。直到獲得最優(yōu)拓?fù)?子域內(nèi)孔洞個(gè)數(shù)仍為3個(gè),顯示該方法具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性。圖5是m不同取值時(shí)的最優(yōu)拓?fù)洹膱D5可看出,當(dāng)m取不同值時(shí),都可以得到具有周期性的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),而且各周期性拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有非常好的一致性。圖6為最優(yōu)拓?fù)涞捏w積分?jǐn)?shù)f和迭代次數(shù)k隨子域數(shù)目的變化曲線。當(dāng)m=3時(shí),僅需要39次迭代就獲得了最優(yōu)拓?fù)?且體積分?jǐn)?shù)獲得最小值,即為本算例的最優(yōu)拓?fù)洹?周期拓?fù)鋬?yōu)化提出了一種在剛度約束條件下利用SIMP插值模型研究周期性拓?fù)鋬?yōu)化方法。對常規(guī)拓?fù)鋬?yōu)化難以求解的板條狀懸臂梁