1/12022-2023年高三數(shù)學(xué)（理）上期中試題(含答案)據(jù)開學(xué)已經(jīng)過(guò)去半個(gè)學(xué)期之久了，意味著期中考試也到來(lái)了!下面是我整理的2022-2023年高三數(shù)學(xué)（理）上期中試題，歡迎閱讀!

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若集合,,則()

A.B.C.D.

2.已知復(fù)數(shù)，若是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為()

A.B.C.D.

3.以下推斷正確的是()

.函數(shù)為上可導(dǎo)函數(shù)，則是為函數(shù)極值點(diǎn)的充要條件

.命題“”的否定是“”

C.“”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的充要條件

D.命題“在中，若，則”的逆命題為假命題

4.一個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為()

A.120cm3B.100cm3C.80cm3D.60cm3

5.由曲線，直線及坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為

()

A.B.C.D.

6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,,，則()

A.B.C.D.

7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺，兩鼠對(duì)穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢?”現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，則輸出的結(jié)果()

A.B.C.D.

8.設(shè)，則()

A.B.C.D.

9.已知函數(shù)，則的圖象大致為()

ABCD

10.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)的

圖象重合，則的值為()

A.B.C.D.

11.橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,焦距為.若直線y=與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿意，則該橢圓的離心率等于()

A.B.C.D.

12.已知定義在R上的函數(shù)滿意：且，，則方程在區(qū)間上的全部實(shí)根之和為()

A.B.C.D.

第Ⅱ卷(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量.

14.已知，則.

15.已知滿意約束條件若的最小值為,則.

16.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,，

則面積的最大值為.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

已知函數(shù).

(Ⅰ)求的最小正周期及對(duì)稱中心;

(Ⅱ)若，求的最大值和最小值.

18.(本小題滿分12分)

如圖，在直三棱柱中，，是棱上

的一點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且∥平面.

(Ⅰ)求證：;

(Ⅱ)求二面角的平面角的正弦值.

19.(本小題滿分12分)

隨著蘋果7手機(jī)的上市，許多消費(fèi)者覺得價(jià)格偏高，尤其是一部分高校生可望而不行及，因此“國(guó)美在線”推出無(wú)抵押分期付款的購(gòu)買方式，某店對(duì)最近100位采納分期付款的購(gòu)買者進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.

付款方式分1期分2期分3期分4期分5期

頻數(shù)3525

10

已知分3期付款的頻率為0.15，并且銷售一部蘋果7手機(jī)，顧客分1期付款，其利潤(rùn)為1000元;分2期或3期付款，其利潤(rùn)為1500元;分4期或5期付款，其利潤(rùn)為2000元，以頻率作為概率.

(Ⅰ)求，的值，并求大事：“購(gòu)買蘋果7手機(jī)的3位顧客中，至多有1位分4期付款”的概率;

(Ⅱ)用表示銷售一部蘋果7手機(jī)的利潤(rùn)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

20.(本小題滿分12分)

已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)

(Ⅰ)證明：拋物線在點(diǎn)的切線與平行;

(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)?若存在，求的值;若不存在，說(shuō)明理由.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

(ⅰ)求的取值范圍;

(ⅱ)設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明:.

請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題記分.做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑.

22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線的極坐標(biāo)方程為.

(Ⅰ)求曲線的一般方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)設(shè)為曲線上一點(diǎn)，為曲線上一點(diǎn)，求的最小值.

23.(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)，且的解集為.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若，且，求證：.

蘭州一中2022-2023-1學(xué)期期中考試

高三數(shù)學(xué)試題參考答案(理科)

一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分。)

題號(hào)123456789101112

答案ADCBCCACABDB

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.14.15.16.

三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.)

17.(本小題滿分12分)

已知函數(shù).

(Ⅰ)求的最小正周期及對(duì)稱中心;

(Ⅱ)若，求的最大值和最小值.

解：(Ⅰ)…4分

∴的最小正周期為，……5分

令，則，

∴的對(duì)稱中心為……6分

(Ⅱ)∵∴8分

∴∴10分

∴當(dāng)時(shí)，的最小值為;當(dāng)時(shí)，的最大值為……12分

18.(本小題滿分12分)

如圖，在直三棱柱中，，是棱上

的一點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且∥平面.

(Ⅰ)求證：;

(Ⅱ)求二面角的平面角的正弦值.

解：(Ⅰ)連接交于，連接.

∵∥平面，面，面面

∴∥……………2分

又∵為的中點(diǎn)，

∴為中點(diǎn)∴為中點(diǎn)……………4分

∴∴……………5分

(Ⅱ)∵在直三棱柱中，

∴……………6分

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以,所在直線建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示。

由(Ⅰ)知為中點(diǎn)

∴點(diǎn)坐標(biāo)分別為

，，，

設(shè)平面的法向量

∵且

∴取∴……………8分

同理：平面的法向量……………10分

設(shè)二面角平面角為

則，∴……………12分

19.(本小題滿分12分)

隨著蘋果7手機(jī)的上市，許多消費(fèi)者覺得價(jià)格偏高，尤其是一部分高校生可望而不行及，因此“國(guó)美在線”推出無(wú)抵押分期付款的購(gòu)買方式，某店對(duì)最近100位采納分期付款的購(gòu)買者進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.

付款方式分1期分2期分3期分4期分5期

頻數(shù)3525

10

已知分3期付款的頻率為0.15，并且銷售一部蘋果7手機(jī)，顧客分1期付款，其利潤(rùn)為1000元;分2期或3期付款，其利潤(rùn)為1500元;分4期或5期付款，其利潤(rùn)為2000元，以頻率作為概率.

(Ⅰ)求，的值，并求大事：“購(gòu)買蘋果7手機(jī)的3位顧客中，至多有1位分4期付款”的概率;

(Ⅱ)用表示銷售一部蘋果7手機(jī)的利潤(rùn)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解：(Ⅰ)由，得由于所以………3分

………6分

(Ⅱ)設(shè)分期付款的分期數(shù)為，則

…8分

的全部可能取值為1000，1500，2000.

………10分

所以的分布列為

100015002000

P0.350.40.25

………12分

20.(本小題滿分12分)

已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)

(Ⅰ)證明：拋物線在點(diǎn)的切線與平行;

(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若存在，求出的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(Ⅰ)解法一：設(shè)，，把代入得，

得.

∵，點(diǎn)的坐標(biāo)為.………2分

∵∴，

即拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為.………4分

∵直線:的的斜率為，∴.……6分

解法二：設(shè)，，把代入得，

得.

∵，點(diǎn)的坐標(biāo)為.……2分

設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，

將代入上式得，………4分

直線與拋物線相切，，，即.…6分

(Ⅱ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)使為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).

是的中點(diǎn)，.

由(Ⅰ)知

軸，.…8分

∵

.……10分

，∴，

故，存在實(shí)數(shù)使為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).………………12分

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

(ⅰ)求的取值范圍;

(ⅱ)設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明:.

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，;

函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.

所以，在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增.………………4分

(Ⅱ)(ⅰ)依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

所以方程在有兩個(gè)不同根.

即，方程在有兩個(gè)不同根.

(解法一)轉(zhuǎn)化為，函數(shù)與函數(shù)

的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖.

可見，若令過(guò)原點(diǎn)且切于函數(shù)圖像的直線斜率為，

只須.………………6分

令切點(diǎn)，所以，又，所以，

解得，，于是，

所以.………………8分

(解法二)令，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，

而()

若，可見在上恒成立，所以在單調(diào)增，

此時(shí)不行能有兩個(gè)不同零點(diǎn).………………5分

若，在時(shí)，，在時(shí)，，

所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，

從而………………6分

又由于在時(shí)，，在在時(shí)，，于是只須：

，即，所以.………………7分

綜上所述，………………8分

(ⅱ)由(i)可知分別是方程的兩個(gè)根，

即，，

不妨設(shè)，作差得，，即.

原不等式等價(jià)于

令，則，………………10分

設(shè)，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴，

即不等式成立，

故所證不等式成立.………………12分

請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題記分.做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑.

22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求曲線的一般方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)為曲線上一點(diǎn)，為曲線上一點(diǎn)，求的最小值.

解：(1)由消去參數(shù)得，曲線的