精品文檔-下載后可編輯剖析導(dǎo)數(shù)應(yīng)用四類常見錯(cuò)解導(dǎo)數(shù)是一種工具，在求解函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值和切線的方程等問題時(shí)，為我們提供了“有力”的“抓手”。同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的四類常見錯(cuò)解。

類型1：對導(dǎo)數(shù)的定義理解不清致錯(cuò)

【例1】已知f(x)在x0處可導(dǎo)，求當(dāng)

Δx0時(shí)，

f(x0+Δx)-f(x0)-Δx的值.

錯(cuò)解根據(jù)導(dǎo)函數(shù)定義得：當(dāng)Δx0時(shí)，f(x0+Δx)-f(x0)-Δx=f′(x0).

錯(cuò)因分析在導(dǎo)函數(shù)的定義中，增量Δx的形式有多種，但是不管Δx選擇哪種形式，相應(yīng)的Δy中也選擇相應(yīng)形式。這里函數(shù)值增量為f(x0+Δx)-f(x0)而自變量增量-Δx=x0-(x0+Δx)不一致，應(yīng)而出現(xiàn)錯(cuò)誤。

正確解法根據(jù)導(dǎo)函數(shù)定義得：當(dāng)Δx0時(shí)，-f(x0+Δx)-f(x0)Δx=-f′(x0).

防錯(cuò)機(jī)制在導(dǎo)函數(shù)定義中應(yīng)特別注意“Δx”與“Δy”的對應(yīng)形式的多樣性，但不論哪種形式都應(yīng)突現(xiàn)“Δx”與“Δy”的一致性。

類型2：對函數(shù)單調(diào)的充要條件理解不清致錯(cuò)

【例2】已知a＞0，函數(shù)f(x)=x3-ax在［1，+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍.

錯(cuò)解f′(x)=3x2-a，由于f(x)在［1，+∞)上單調(diào)增函數(shù)，故f′(x)＞0，即3x2-a＞0在［1，+∞)上恒成立，即a＜(3x2)min，求得a＜3.

錯(cuò)因分析在區(qū)間內(nèi)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分而不必要條件。如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)，使f′(x)=0，不會影響函數(shù)f(x)在包含該點(diǎn)的某區(qū)間的單調(diào)性，一般地，可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增（減）函數(shù)的充要條件是：對任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0（f′(x)≤0）且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零。

正確解法f′(x)=3x2-a，由于f(x)在［1，+∞)上單調(diào)增函數(shù)，f′(x)≥0在［1，+∞)恒成立.即3x2-a≥0在［1，+∞)上恒成立，即a≤(3x2)min，求得a≤3.

防錯(cuò)機(jī)制在已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍時(shí)，必須注意“=”是否可以取。

類型3：對于“在點(diǎn)P”與“過點(diǎn)P”的切線的理解有誤

【例3】已知曲線y=13x3上的一點(diǎn)P2，83，求過點(diǎn)P的切線方程.

錯(cuò)解y′=13x3′=x2，過點(diǎn)P2，83的切線斜率為y′|x=2=4，即過點(diǎn)P的切線的斜率為4，又切線過點(diǎn)P2，83，切線方程為：y-83=4(x-2)，即12x-3y-16=0.

錯(cuò)因分析上面的解答弄混了在點(diǎn)P處的切線與過點(diǎn)P的切線的概念，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤，丟失了一部分情況。

正確解法設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，y′=x2，過點(diǎn)(x0,y0)的切線的斜率為k=y′|x=x0=x20，切線方程為：y-y0=x20(x-x0)，又切線經(jīng)過點(diǎn)P2，83，且切點(diǎn)(x0,y0)在曲線y=13x3上，83-y0=x20(2-x0)，

y0=13x30，

整理得：x30-3x20+4=0，即(x0-2)2(x0+1)=0，解得：x0=2或x0=-1.

當(dāng)x0=2，y0=83，切線方程為：12x-3y-16=0；當(dāng)x0=-1，y0=-13，切線方程為：3x-3y+2=0.綜上可知，所求切線方程為：12x-3y-16=0與3x-3y+2=0.

防錯(cuò)機(jī)制由曲線的切線定義知，曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，可能有多個(gè)。所以過點(diǎn)P的切線是指曲線的切線通過點(diǎn)P，但點(diǎn)P未必為切點(diǎn)。

類型4：對f′(x0)為極值的充要條件理解不清致錯(cuò)

【例4】函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a，b的值.

錯(cuò)解因f′(x)=3x2+2ax+b，由題意知f′(1)=0，且f(1)=10，即2a+b+3=0且a2+a+b+1=10，解之得：a=4，b=-11或a=-3，b=3.

錯(cuò)因分析主要原因是把f′(x0)為極值的必要條件當(dāng)作了充要條件，即f′(x0)為極值的充要條件是f′(x0)=0且x0“附近”處兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號相反。

正確解法由于f′(x)=3x2+2ax+b，由題意知f′(1)=0，且f(1)=10，即2a+b+3=0且a2+a+b+1=10，解之得：a=4，b=-11或a=-3，b=3.當(dāng)a=4，b=-11時(shí)，f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),在x=1“附近”處兩側(cè)的符號相反，a=4，b=-11.符合題意.當(dāng)a=-3，b=3時(shí)，f′(x)=3(x-1)2,在x=1“附近”處兩側(cè)的符號相同，所以舍去a=-3，b=3.綜上可知：a=4，b=-11.

防錯(cuò)機(jī)制在求f′(x)的極值時(shí)，利用方程f′(x)=0求得x后，一定要檢驗(yàn)x“附近”處兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號是相同還是相反，如果“附近”處兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號相反則求得x滿足題意，如果“附近”處兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號相同則不合題意舍去。

牛刀小試

1．已知當(dāng)Δx0時(shí)，f(x0+2Δx)-f(x0)Δx1，則f′(x0)=.

2．已知函數(shù)f(x)=mx-12x-lnx在(0，+∞)上是增函數(shù)，求m的取值范圍.

3．設(shè)函數(shù)

f(x)

=x+ax2+blnx，曲線y=f(x)過P(1,0)，且在P點(diǎn)處的切線斜率為2．求a，b的值.

4．設(shè)a∈R，試討論關(guān)于x的方程x3-3x2-a=0的相異實(shí)根的個(gè)數(shù).

【參考答案】

1．根據(jù)導(dǎo)函數(shù)定義得：當(dāng)Δx0時(shí)，2f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=2f′(x0)=1，所以f′(x0)=12.

2．由題意可知：f′(x)=m+12x2-1x≥0在(0，+∞)上恒成立.即m≥-12x2+1x恒成立.

令g(x)=-12x2+1x=-121x-12+12,由于x∈(0，+∞)，故1x∈(0，+∞)，所以當(dāng)1x=1，即x=1時(shí)，g(x)取最大值12.故m≥12.

3．f′(x)=1+2ax+bx，由已知條件得f(1)=0，

f′(1)=2.即1+a=0，

1+2a+b=2，解得a=-1,b=3.

4．原方程可變形為：a=x3-3x2.令g(x)=x3-3x2，

則g′(x)=3x2-6x=3x(x-2).結(jié)合二次函數(shù)圖象可知：當(dāng)x∈(-∞,0)和x∈(2，+∞)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(