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4.3.1第一課時等比數列的概念及通項公式同步訓練（原卷版）

[A級基礎鞏固]

1．已知等比數列{an}的公比為正數，且a3a9＝2a，a2＝1，則a1＝()

A.B．2

C.D．

2．已知等比數列{an}的各項均為正數，公比q≠1，＝a11，則k＝()

A．12B．15

C．18D．21

3．已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝3an＋2，則a2019＝()

A．32019＋1B．32019－1

C．32019－2D．32019＋2

4．各項都是正數的等比數列{an}中，a2，a3，a1成等差數列，則的值為()

A.D．

C.D．或

5．等比數列{an}的公比為q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，則m等于()

A．9B．10

C．11D．12

6．若數列{an}的前n項和為Sn，且an＝2Sn－3，則{an}的通項公式是________．

7．已知等比數列{an}中，a3＝3，a10＝384，則a4＝________.

8．設等差數列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k＝________.

9．已知遞增的等比數列{an}滿足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中項，求an.

10．已知數列{an}的前n項和Sn＝2－an，求證：數列{an}是等比數列．

[B級綜合運用]

11．(多選)已知公差為d的等差數列a1，a2，a3，…，則對重新組成的數列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正確的是()

A．一定是等差數列

B．公差為2d的等差數列

C．可能是等比數列

D．可能既非等差數列又非等比數列

12．如圖給出了一個“三角形數陣”．已知每一列數成等差數列，從第三行起，每一行數成等比數列，而且每一行的公比都相等，

，

，，

…

記第i行第j列的數為aij(i，j∈N*)，則a53的值為()

A.D．

C.D．

13．已知等差數列{an}的首項為a，公差為b，等比數列{bn}的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數，且a10.由已知，得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2.又q>0，所以q＝，所以a1＝＝＝，故選D.

2．已知等比數列{an}的各項均為正數，公比q≠1，＝a11，則k＝()

A．12B．15

C．18D．21

解析：選D＝a1q＝a1q＝a1q10，∵a1>0，q≠1，∴＝10，∴k＝21，故選D.

3．已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝3an＋2，則a2019＝()

A．32019＋1B．32019－1

C．32019－2D．32019＋2

解析：選B∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)．∵a1＋1＝3，∴數列{an＋1}是首項，公比均為3的等比數列，

∴an＋1＝3n，即an＝3n－1，∴a2019＝32019－1.故選B.

4．各項都是正數的等比數列{an}中，a2，a3，a1成等差數列，則的值為()

A.D．

C.D．或

解析：選B設{an}的公比為q(q>0，q≠1)，根據題意可知a3＝a2＋a1，∴q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，則＝＝.故選B.

5．等比數列{an}的公比為q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，則m等于()

A．9B．10

C．11D．12

解析：選C∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，

∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.

6．若數列{an}的前n項和為Sn，且an＝2Sn－3，則{an}的通項公式是________．

解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，兩式相減得an－an－1＝2an(n≥2)，

∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．

故{an}是公比為－1的等比數列，

令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，

故an＝3·(－1)n－1.

答案：an＝3·(－1)n－1

7．已知等比數列{an}中，a3＝3，a10＝384，則a4＝________.

解析：設公比為q，則a1q2＝3，a1q9＝384，

所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.

答案：6

8．設等差數列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k＝________.

解析：∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.

答案：4

9．已知遞增的等比數列{an}滿足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中項，求an.

解：設等比數列{an}的公比為q.依題意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，

∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，

∴a3＝8，a2＋a4＝20，

∴＋8q＝20，解得q＝2或q＝(舍去)．

又a1＝＝2，∴an＝2n.

10．已知數列{an}的前n項和Sn＝2－an，求證：數列{an}是等比數列．

證明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.

∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.

∴an＋1＝an.

又∵S1＝2－a1，

∴a1＝1≠0.

又由an＋1＝an知an≠0，

∴＝.

∴數列{an}是等比數列．

[B級綜合運用]

11．(多選)已知公差為d的等差數列a1，a2，a3，…，則對重新組成的數列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正確的是()

A．一定是等差數列

B．公差為2d的等差數列

C．可能是等比數列

D．可能既非等差數列又非等比數列

解析：選ABC由題意得a1＋a4＝2a1＋3d，a2＋a5＝2a1＋5d，a3＋a6＝2a1＋7d，…，

令bn＝an＋an＋3，則

bn＋1－bn＝[2a1＋(2n＋3)d]－[2a1＋(2n＋1)d]＝2d，

因此數列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…一定是公差為2d的等差數列，即A、B正確，D錯誤；

當a1≠0，d＝0時bn＝2a1，此時數列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…可以是等比數列，即C正確；故選A、B、C.

12．如圖給出了一個“三角形數陣”．已知每一列數成等差數列，從第三行起，每一行數成等比數列，而且每一行的公比都相等，

，

，，

…

記第i行第j列的數為aij(i，j∈N*)，則a53的值為()

A.D．

C.D．

解析：選C第一列構成首項為，公差為的等差數列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因為從第三行起每一行數成等比數列，而且每一行的公比都相等，所以第5行構成首項為，公比為的等比數列，所以a53＝×2＝.

13．已知等差數列{an}的首項為a，公差為b，等比數列{bn}的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數，且a11，且a∈N*，∴a＝2.

∵對于任意的n∈N*，總存在m∈N*，使得am＋3＝bn成立，

∴令n＝1，得2＋(m－1)b＋3＝b，∴b(2－m)＝5，

又∵2－m<2，且2－m∈N*，∴

∴an＝a＋(n－1)b＝5n－3.

答案：25n－3

14．已知數列{an}滿足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)證明數列{an－2n}是等比數列，并求出數列{an}的通項公式．

解：(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，

a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.

(2)∵an＋1＝3an－4n＋2，

∴an＋1－2n－2＝3an－6n，

即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)．

由(1)知a1－2＝－2＝，

∴an－2n≠0，n∈N*.

∴＝3，

∴數列{an－2n}是首項為，公比為3的等比數列．

∴an－2n＝×3n－1，∴an＝3n－2＋2n.

[C級拓展探究]

15．已知數列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設bn＝.

(1)求b1，b2，b3；

(2)判斷數列{bn}是不是為等比數列，并說明理由；

(3)求{an}的通項公式．

解：(