/專題18旋轉(zhuǎn)模型之費馬點型1．若一個三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點所對三角形三邊的張角均為120°，此時該點叫做這個三角形的費馬點．如圖1，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，此時，的值最?。?1)如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到處，連接，此時，這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出______．(2)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長BP，在射線BP上取點D，E，連接AE，AD．使，，求證：．(3)如圖4，在直角三角形ABC中，，，，點P為直角三角形ABC的費馬點，連接AP，BP，CP，請直接寫出的值．2．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD（不含B點）上任意一點，將△ABG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時EF的長（）A． B． C． D．3．如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為______．4．問題背景：如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，與交于點，可推出結(jié)論：問題解決：如圖，在中，，，．點是內(nèi)一點，則點到三個頂點的距離和的最小值是___________5．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝_____．6．如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．7．【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽的法國律師皮耶·德·費馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費馬點”．如圖，點是內(nèi)的一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點共線時，線段的長為所求的最小值，即點為的“費馬點”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點是等邊內(nèi)的一點，連接，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點與點之間的距離是______；②當(dāng)，，時，求的大?。?2)如圖2，點是內(nèi)的一點，且，，，求的最小值．8．背景資料：在已知所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當(dāng)三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在內(nèi)部，當(dāng)時，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉(zhuǎn)到處，此時這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出_______；知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，三個內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費馬點．(3)如圖4，在中，，，，點P為的費馬點，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點E為內(nèi)部任意一點，連接、、，且邊長；求的最小值．9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC內(nèi)一點，求PA＋PB＋PC的最小值．10．【問題提出】（1）如圖1，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對角線（不含B點）上任意一點，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，．若連接，則的形狀是________．（2）如圖2，在中，，，求的最小值．【問題解決】（3）如圖3，某高新技術(shù)開發(fā)區(qū)有一個平行四邊形的公園，千米，，公園內(nèi)有一個兒童游樂場E，分別從A、B、C向游樂場E修三條，求三條路的長度和（即）最小時，平行四邊形公園的面積．11．在正方形ABCD中，點E為對角線AC（不含點A）上任意一點，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補充完整（無需寫畫法）；

②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．12．如圖1，點M為銳角三角形內(nèi)任意一點，連接．以為一邊向外作等邊三角形，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）求證：；（2）若的值最小，則稱點M為的費馬點．若點M為的費馬點，求此時的度數(shù)；（3）受以上啟發(fā)，你能想出作銳角三角形的費馬點的一個方法嗎？請利用圖2畫出草圖，并說明作法以及理由．13．若點P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．當(dāng)三角形的最大角小于120°時，可以證明費馬點就是“到三角形的三個頂點的距離之和最小的點“．即PA+PB+PC最小．（1）如圖1，向△ABC外作等邊三角形△ABD，△AEC．連接BE，DC相交于點P，連接AP．①證明：點P就是△ABC費馬點；②證明：PA+PB+PC＝BE＝DC；（2）如圖2，在△MNG中，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．點O是△MNG內(nèi)一點，則點O到