高一年級數(shù)學(xué)立體幾何初步單元復(fù)習(xí)（第二課時(shí)）一、知識概要空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系空間中直線與平面的位置關(guān)系空間中直線、平面的平行空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中平面與平面的位置關(guān)系空間中直線、平面的垂直平面的基本性質(zhì)知識結(jié)構(gòu)知識梳理基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．即“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”．推論1

經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2

經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3

經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么

這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行．知識梳理位置關(guān)系文字語言圖形語言符號語言相交直線在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．平行直線在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．空間中直線與直線的位置關(guān)系知識梳理babαaαabAa∩b=Aa//b位置關(guān)系文字語言圖形語言符號語言直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線與平面平行沒有公共點(diǎn)空間中直線與平面的位置關(guān)系知識梳理αaαaAαaa//αa∩α=Aa

α位置關(guān)系文字語言圖形語言符號語言兩個(gè)平面平行沒有公共點(diǎn)兩個(gè)平面相交有一條公共直線空間中平面與平面的位置關(guān)系知識梳理αβαβlα//βα∩β=l位置關(guān)系文字語言圖形語言符號語言線線平行在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．線面平行沒有公共點(diǎn)．面面平行沒有公共點(diǎn)．三種平行關(guān)系的定義知識梳理αaa//αbaαβα//βa//b空間平行之間的轉(zhuǎn)化直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行直線與平面垂直①判定③性質(zhì)⑥性質(zhì)②判定⑤④性質(zhì)知識梳理文字語言圖形語言符號語言線面平行的判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．面面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行．

αabαβbaPaα，bα，

且a//b，a//α．a(chǎn)β，bβ，a∩b=P，a//α，b//α，

β//α．文字語言圖形語言符號語言線面平行的性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行．面面平行的性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行．

a//α，a

β，且α∩β=b，a//b．α//β，γ∩α=a，γ∩β=b，

a//b．bαβaαβabγ文字語言圖形語言符號語言面面及線面平行定義

兩個(gè)平面平行，在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個(gè)平面．線面垂直的性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．

αβaαaba⊥α，b⊥α，a//b．α//β，aβ，

a//α．二、典型例題例題若直線a不平行于平面α，且aα，則下列結(jié)論成立的是（）．（A）α內(nèi)的所有直線與a是異面直線（B）α內(nèi)不存在與a平行的直線（C）α內(nèi)存在唯一一條直線與a平行（D）α內(nèi)的所有直線與a都相交αaαaAαa例題若直線a不平行于平面α，且aα，則下列結(jié)論成立的是（）．（A）α內(nèi)的所有直線與a是異面直線（B）α內(nèi)不存在與a平行的直線（C）α內(nèi)存在唯一一條直線與a平行（D）α內(nèi)的所有直線與a都相交B（A）α內(nèi)的所有直線與a是異面直線（B）α內(nèi)不存在與a平行的直線（C）α內(nèi)存在唯一一條直線與a平行（D）α內(nèi)的所有直線與a都相交αAa例題若直線a不平行于平面α，且aα，則下列結(jié)論成立的是（）．（B）α內(nèi)不存在與a平行的直線（C）α內(nèi)存在唯一一條直線與a平行解析：設(shè)平面α內(nèi)有一直線b，b//a，而在平面α內(nèi)過點(diǎn)A必能作直線c，使c//b，由平行的傳遞性得a//c，如圖，顯然矛盾．故B是正確的．例題若直線a不平行于平面α，且aα，則下列結(jié)論成立的是（）．bcαAaB（A）只有一條，不在平面α內(nèi)（B）有無數(shù)條，不一定在α內(nèi)（C）只有一條，且在平面α內(nèi)（D）有無數(shù)條，一定在α內(nèi)例題如果直線a//平面α，P∈α，那么過點(diǎn)P且平行于直線a的直線（）．Pαa（A）只有一條，不在平面α內(nèi)（B）有無數(shù)條，不一定在α內(nèi)（C）只有一條，且在平面α內(nèi)（D）有無數(shù)條，一定在α內(nèi)解析：過直線a可作平面β，設(shè)α∩β=m，則a//m．當(dāng)m恰好過點(diǎn)P時(shí)，直線m存在唯一一條．例題如果直線a//平面α，P∈α，那么過點(diǎn)P且平行于直線a的直線（）．PmβαaC綜上選C．解析：當(dāng)m不過點(diǎn)P時(shí)，P∈α，mα，則過點(diǎn)P且平行于m的直線只有一條．由平行的傳遞性，過點(diǎn)P且平行于a的直線也只有一條且在平面α內(nèi)．（A）只有一條，不在平面α內(nèi)（B）有無數(shù)條，不一定在α內(nèi)（C）只有一條，且在平面α內(nèi)（D）有無數(shù)條，一定在α內(nèi)例題如果直線a//平面α，P∈α，那么過點(diǎn)P且平行于直線a的直線（）．Pmβαa（A）α//β，l//α

（B）α與β相交，且交線平行于l（C）α⊥β，l⊥β

（D）α與β相交，且交線垂直于l例題已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β．若直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，l

β，則（）．αβaαβmn（A）α//β，l//α

（B）α與β相交，且交線平行于l（C）α⊥β，l⊥β

（D）α與β相交，且交線垂直于l解析：由m，n為異面直線，且m⊥平面α，n⊥平面β，可知平面α與β相交，否則m//n．設(shè)α與β的交線為直線a．例題已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β．若直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，l

β，則（）．解析：l⊥m，lα，則平面α內(nèi)一定存在直線b，滿足b//l且b

β．同理平面β內(nèi)一定存在直線b'，滿足b'//l且b'

α．a(chǎn)βnb'αmbl（A）α//β，l//α

（B）α與β相交，且交線平行于l（C）α⊥β，l⊥β

（D）α與β相交，且交線垂直于l例題已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β．若直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，l

β，則（）．例題已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β．若直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，l

β，則（）．B解析：b//l，b'//l，所以b//b'，進(jìn)而b//β，由線面平行的性質(zhì)得b//a，因此l//a．即選B．αamnlb（A）α//β，l//α

（B）α與β相交，且交線平行于l（C）α⊥β，l⊥β

（D）α與β相交，且交線垂直于lβb'如圖，在直六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，若AB⊥AF，DE⊥EF．（A）α//β，l//α

（B）α與β相交，且交線平行于l（C）α⊥β，l⊥β

（D）α與β相交，且交線垂直于l例題已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β．若直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，l

β，則（）．例題已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β．若直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，l

β，則（）．（A）α//β，l//α

（B）α與β相交，且交線平行于l（C）α⊥β，l⊥β

（D）α與β相交，且交線垂直于lB設(shè)平面AFF1A1為α，平面FEE1F1為β，棱AB所在直線為m，棱D1E1所在直線為n，棱CC1所在直線為l．結(jié)論顯然為B．總結(jié)：空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的判定問題（1）平面的基本事實(shí)是基礎(chǔ)．常采用列舉形式，對各種關(guān)系進(jìn)行考慮；（2）利用線線、線面、面面的平行及垂直的判定定理、性質(zhì)定理進(jìn)行綜合推理，判斷命題是否正確；（3）利用實(shí)物操作、模型演示充分發(fā)揮直觀性作用．線面平行面面平行線線平行“由已知想可知，由求證想需知”，尋求平行之間的轉(zhuǎn)化．例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．線面平行線線平行需要在平面BCD內(nèi)找到與PQ平行的直線例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．思路一線線平行在BD上取中點(diǎn)ECD上取DF=3FCPE//AD，PE=ADQF//AD，QF=AD平行四邊形分析一：例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．證法一：在BD上取中點(diǎn)E，在CD上取DF=3FC，∵P是BM的中點(diǎn)，∴在△MBD中，PE//DM且PE=DM．例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．∵DF=3FC，AQ=3QC，∴QF//AD且QF=AD．

又

M是AD的中點(diǎn)，∴QF//DM且QF=DM．

∴PE//QF且PE=QF．例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．∴四邊形PEFQ是平行四邊形．∴PQ//EF．∵PQ

平面BCD，EF

平面BCD，∴PQ//平面BCD．例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．線面平行線線平行需要在平面BCD內(nèi)找到與PQ平行的直線例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．思路一線面平行線線平行過PQ的平面與平面

BCD有一交線，PQ與交線平行．尋找交線分析二：例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．證法二：連接AP并延長交BD于G，連接GC．取AG的中點(diǎn)為H，連接HM．∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴HM//BD．例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．交線例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．∵P為BM中點(diǎn)，∴△PBG≌△PMH．∴PG=PH，即PG=AG．

∴AP=3PG．∵AP=3PG，AQ=3QC，∴△APQ∽△AGC．∴PQ//GC．又PQ

平面BCD，GC

平面BCD，

∴PQ//平面BCD．例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．線面平行面面平行如何過PQ構(gòu)造平面與平面BCD平行？例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．思路二線面平行面面平行線線平行到哪去找兩條直線分別與平面BCD內(nèi)的線平行呢？例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．分析三：PQ//平面BCD平面NPQ//平面BCDPN//平面BCDPN//BDQN//平面BCDQN//CD例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．分析三：證法三：取MD的中點(diǎn)為N，連接PN，QN．∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴AN=3ND．∵P是BM的中點(diǎn)，∴PN//BD．例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．又PN

平面BCD，BD

平面BCD，∴PN//平面BCD．

∵AQ=3QC且AN=3ND，∴QN//CD．又QN

平面BCD，CD

平面BCD，例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．∴QN//平面BCD．∵PN∩QN=N，∴平面NPQ//平面BCD．∵PQ平面NPQ，∴PQ//平面BCD．例題如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD．總結(jié)：此題證明線面平行，可以通過作輔助線在平面BCD內(nèi)找到與已知直線PQ平行的直線，輔助線的作法有：（1）結(jié)合已知條件取特殊位置；（2）利用平面基本事實(shí)找到交線．有的利用三角形中位線、有的利用平行四邊形的性質(zhì)、有的利用三角形相似來證明線線平行．另外也可以通過構(gòu)造過PQ與平面BCD平行的平面，利用面面平行來證明線面平行．思考在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，

AB//DC．回答下面的問題：（1）在側(cè)面PAB內(nèi)能否作一條直線段使其與DC平行？（2）在側(cè)面PBC內(nèi)能否作一條直線段使其與AD平行？線線平行平面幾何中的平行空間幾何中的平行ABDCP分析：思考在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，

AB//DC．回答下面的問題：（1）在側(cè)面PAB內(nèi)能否作一條直線段使其與DC平行？（2）在側(cè)面PBC內(nèi)能否作一條直線段使其與AD平行？EFABDCPAB//DC，AB

側(cè)面PABEF//ABEF//DC具體作法是，在側(cè)面PAB內(nèi)作AB的平行線EF，即EF//AB．∵AB//DC，∴EF//DC．思考在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，

AB//DC．回答下面的問題：（1）在側(cè)面PAB內(nèi)能否作一條直線段使其與DC平行？（2）在側(cè)面PBC內(nèi)能否作一條直線段使其與AD平行？解：（1）能作出直線段與DC平行．EFABDCP（2）在側(cè)面PBC內(nèi)不一定能作一條直線段使其與AD平行．理由如下：如果AD與BC平行，可參照（1）的方法作出平行線．ABDCPMN思考在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，

AB//DC．回答下面的問題：（1）在側(cè)面PAB內(nèi)能否作一條直線段使其與DC平行？（2）在側(cè)面PBC內(nèi)能否作一條直線段使其與AD平行？設(shè)側(cè)面PBC內(nèi)能作出直線段MN//AD．∴MN//底面ABCD．∴MN//BC．∴AD//BC．如果AD與BC不平行，ABDCPMN思考在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，

AB//DC．回答下面的問題：（1）在側(cè)面PAB內(nèi)能否作一條直線段使其與DC平行？（2）在側(cè)面PBC內(nèi)能否作一條直線段使其與AD平行？綜上所述：如果AD與BC平行時(shí)，在側(cè)面PBC內(nèi)能作出直線段與AD平行；如果AD與BC不平行時(shí)，在側(cè)面PBC內(nèi)不能作出直線段與AD平行．∴側(cè)面PBC內(nèi)不能作出直線段與AD平行．ABDCPMN思考在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，

AB//DC．回答下面的問題：（1）在側(cè)面PAB內(nèi)能否作一條直線段使其與DC平行？（2）在側(cè)面PBC內(nèi)能否作一條直線段使其與AD平行？結(jié)合前面的問題，你還能提出哪些類似的數(shù)學(xué)問題？如：若側(cè)面PAD與側(cè)面PBC的交線為l，交線l能否與底面ABCD平行？若AD//BC，在棱PD上是否存在點(diǎn)E，使得PB//平面ACE？ABDCP思考在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，

AB//DC．這類“是否存在”、“是否有”、“在何位置”等形式設(shè)問的問題，是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立．要求我們結(jié)合已有條件進(jìn)行觀察、分析、比較、概括、歸納和猜想去探索．

側(cè)面PAD與側(cè)面PBC的交線為l，交線l能否與底面ABCD平行？思考在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，

AB//DC．ABDCPl命題結(jié)論的探索（1）從條件出發(fā)，探索出要求的結(jié)論；

（2）假設(shè)結(jié)論成立，尋求與條件相容還是矛盾的結(jié)論．解：假設(shè)交線l//底面ABCD．由基本事實(shí)3，交線l過點(diǎn)P．∵l側(cè)面PAD，∴l(xiāng)//AD．同理l//BC．∴

AD//BC．思考在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，

AB//DC．ABDCPl側(cè)面PAD與側(cè)面PBC的交線為l，交線l能否與底面ABCD平行？∵條件中不確定AD與BC的位置關(guān)系，∴如果AD與BC平行時(shí)，交線l與底面ABCD平行；如果AD與BC不平行時(shí)，交線l不與底面ABCD平行．思考在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，

AB//DC．ABDCPl側(cè)面PAD與側(cè)面PBC的交線為l，交線l能否與底面ABCD平行？命題條件的探索（1）通過觀察與嘗試給出條件，先猜再證；

（2）找出結(jié)論成立的必要條件，再給出充分性的證明．若AD//BC，在棱PD上是否存在點(diǎn)E，使得PB//平面ACE？思考在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，

AB//DC．ABDCP先猜再證從特殊位置入手思考在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中，

AB//DC．ABDCP