4.1函數(shù)的奇偶性激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋,用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù).在中國(guó),剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ),是各種民俗活動(dòng)的重要組成部分.其傳承延續(xù)的視覺形象和造型樣式,蘊(yùn)涵了豐富的歷史文化信息,表達(dá)了廣大民眾的社會(huì)認(rèn)知、道德觀念、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、生活理想和審美情趣,具有認(rèn)知、教化、表意、抒情、娛樂、交往等多重社會(huì)價(jià)值.折疊剪紙是最常見的一種制作表現(xiàn)方法,它折法簡(jiǎn)明,制作簡(jiǎn)便,尤其適于表現(xiàn)結(jié)構(gòu)對(duì)稱的形體和對(duì)稱的圖式,這種對(duì)稱給人一種美的享受.我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)圖象中,也有很多這樣的對(duì)稱現(xiàn)象,請(qǐng)你想一想哪些函數(shù)的圖象是對(duì)稱的,都有哪些對(duì)稱方式?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、奇、偶函數(shù)的定義

注:當(dāng)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí),稱f(x)具有奇偶性.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析1.判斷函數(shù)的奇偶性要“二看”(1)一看定義域.定義域A要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即對(duì)任意x∈A,-x∈A,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).如f(x)=x2,x∈R是偶函數(shù),但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(2)二看等式.當(dāng)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),要看f(x)與f(-x)的關(guān)系:①f(-x)=f(x)?f(x)是偶函數(shù);②f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函數(shù);③f(-x)≠±f(x)?f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);④f(-x)=±f(x)?f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).這樣的函數(shù)只有一類,即f(x)=0,x∈D,且D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.奇、偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的奇偶性設(shè)非零函數(shù)f(x),g(x)的定義域分別是F,G,若F=G,則有下列結(jié)論:注意:上述表格中不考慮f(x)±g(x)=0;f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則f(x)是偶函數(shù).(

)(2)若f(x)是偶函數(shù),則它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(

)(3)若f(-2)=f(2),則f(x)(x∈R)是偶函數(shù).(

)(4)若f(x)(x∈R)是偶函數(shù),則f(-2)=f(2).(

)(5)若f(2)≠f(-2),則f(x)(x∈R)不是偶函數(shù).(

)(6)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R).(

)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)√

(6)×解析:只有f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(-x)=f(x)時(shí),f(x)才是偶函數(shù),故(1)錯(cuò)誤;f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是f(x)為偶函數(shù)的必要條件,故(2)正確;對(duì)任意x∈R,滿足f(-x)=f(x),f(x)才是偶函數(shù),僅憑兩個(gè)特殊的函數(shù)值相等不足以判斷函數(shù)的奇偶性,故(3)錯(cuò)誤而(4)正確;為了說明f(x)不是偶函數(shù),舉一個(gè)反例即可,故(5)正確;f(x)=0,定義域?yàn)閇-1,1],該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),故(6)錯(cuò)誤.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),定義域?yàn)镈,若0∈D,f(0)是否為定值?提示:∵f(x)為奇函數(shù),∴對(duì)任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,為定值.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.上述結(jié)論可簡(jiǎn)記為“奇同偶異”.2.偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值,取得最值時(shí)的自變量的值互為相反數(shù);奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上取得的最值互為相反數(shù),取得最值時(shí)的自變量的值也互為相反數(shù).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析1.奇偶性與單調(diào)性都是函數(shù)的重要性質(zhì),單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì),是研究函數(shù)值在某一區(qū)間內(nèi)的變化趨勢(shì);而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì),是研究函數(shù)圖象在整個(gè)定義域上的對(duì)稱性.2.研究函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性對(duì)了解函數(shù)非常重要,如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù),根據(jù)它的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱或關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì),只要把這個(gè)函數(shù)的定義域分成關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩部分,由函數(shù)在其中一部分上的圖象和性質(zhì),即可推斷出它在整個(gè)定義域內(nèi)的圖象和性質(zhì).而研究該函數(shù)其中一部分圖象的情況,就得研究其函數(shù)值的變化,這就是單調(diào)性,只有把這兩種性質(zhì)結(jié)合在一起才能更好地了解函數(shù)的特征.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)若奇函數(shù)f(x)在[-6,-2]上是減函數(shù),且最小值是1,則它在[2,6]上是(

)A.增函數(shù)且最小值是-1B.增函數(shù)且最大值是-1C.減函數(shù)且最大值是-1D.減函數(shù)且最小值是-1答案:C

解析:∵奇函數(shù)f(x)在[-6,-2]上是減函數(shù),且最小值是1,∴函數(shù)f(x)在[2,6]上是減函數(shù)且最大值是-1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:分析利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性時(shí),先求出函數(shù)的定義域,看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系.為了判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,既可以從f(-x)開始化簡(jiǎn)整理,也可以考慮f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.當(dāng)f(x)不等于0時(shí)也可考慮

與1或-1的關(guān)系,還可以考慮使用圖象法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠-1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(4)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(方法一)當(dāng)x>0時(shí),-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴f(x)是奇函數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟1.根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為奇函數(shù),偶函數(shù),既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).2.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法(1)定義法:(2)圖象法:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練判斷下列函數(shù)的奇偶性:(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;(3)f(x)=0.(2)f(x)的定義域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).(3)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用函數(shù)的奇偶性求解析式例2已知f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.分析(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),將f(-1)轉(zhuǎn)化為f(1)求解;(2)先設(shè)出所求區(qū)間上的自變量,利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn),把它轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上,代入已知的解析式,再次利用函數(shù)的奇偶性求解.注意不要忽略x=0時(shí)f(x)的解析式.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函數(shù),則f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.當(dāng)x=0時(shí),f(-0)=-f(0),則f(0)=-f(0),即f(0)=0.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟1.這類問題常見的情形是:已知當(dāng)x∈(a,b)時(shí),f(x)=φ(x),求當(dāng)x∈(-b,-a)時(shí)f(x)的解析式.若f(x)為奇函數(shù),則當(dāng)x∈(-b,-a)時(shí),f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)為偶函數(shù),則當(dāng)x∈(-b,-a)時(shí),f(x)=f(-x)=φ(-x).2.若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù),則必有f(0)=0,不能漏掉.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究若將本例中的“奇”改為“偶”,“x>0”改為“x≥0”,其他條件不變,求f(x)的解析式.解:當(dāng)x<0時(shí),-x>0,此時(shí)f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式為探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用1.比較函數(shù)值的大小例3已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系是(

)A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)答案:A

解析:∵f(x)在R上是偶函數(shù),∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵2<3<π,且f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(2)<f(3)<

f(π),∴f(-2)<f(-3)<f(π).故選A.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷函數(shù)值的大小時(shí),先利用函數(shù)的奇偶性將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)函數(shù)值的大小作出比較.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究(1)若將本例中的“增函數(shù)”改為“減函數(shù)”,其他條件不變,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系如何?(2)若將本例中的“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”,其他條件不變,比較這三個(gè)函數(shù)值的大小.解:(1)因?yàn)楫?dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)是減函數(shù),所以有f(2)>f(3)>f(π).又因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù),所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),從而有f(-2)>f(-3)>f(π).(2)因?yàn)楹瘮?shù)為定義在R上的奇函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在R上是增函數(shù),因?yàn)?3<-2<π,所以f(-3)<f(-2)<f(π).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.解函數(shù)不等式例4已知定義在區(qū)間[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,若f(1-m)<f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-2,2]上為奇函數(shù),且在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟解有關(guān)奇函數(shù)f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先將f(a)+f(b)<0變形為f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的單調(diào)性去掉“f”,化為關(guān)于a,b的不等式.另外,要特別注意函數(shù)的定義域.由于偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反,所以我們要利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(|x|)=f(-|x|)將f(g(x))中的g(x)全部化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用單調(diào)性去掉符號(hào)f,使不等式得解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究若將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”,把區(qū)間“[0,2]”改為“[-2,0]”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:因?yàn)楹瘮?shù)為[-2,2]上的偶函數(shù),又函數(shù)在[-2,0]上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在[0,2]上單調(diào)遞增,不等式可化為f(|1-m|)<f(|m|),探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用定義法、賦值法解決抽象函數(shù)奇偶性問題典例1若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,則(

)A.f(x)是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)B.f(x)是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)C.f(x)是奇函數(shù),且在R上不是單調(diào)函數(shù)D.無法確定f(x)的單調(diào)性和奇偶性探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解析:令x1=x2=0,則f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令x1=x,x2=-x,則f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù).設(shè)x1<x2,則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),由于x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,故f(x2)<f(x1),所以函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù).故選B.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)典例2已知函數(shù)f(x),x∈R,若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),求證:函數(shù)f(x)為偶函數(shù).證明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②由①②得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).反思感悟1.判斷抽象函數(shù)的奇偶性,應(yīng)利用函數(shù)奇偶性的定義,找準(zhǔn)方向,巧妙賦值,合理、靈活變形,找出f(-x)與f(x)的關(guān)系,從而判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性.2.有時(shí)需要在整體上研究f(-x)+f(x)的和的情況.比如:上面典例1中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足:對(duì)任意α,β∈R,總有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2019,則下列說法正確的是(

)A.f(x)-1是奇函數(shù)B.f(x)+1是奇函數(shù)C.f(x)-2019是奇函數(shù)D.f(x)+2019是奇函數(shù)答案:D

解析:令α=β=0,則f(0)-[f(0)+f(0)]=2

019,即f(0)=-2

019.令β=-α,則f(0)-[f(α)+f(-α)]=2

019,即f(α)+f(-α)=-4

038,則f(-α)+2

019=-2

019-f(α)=-[2

019+f(α)],即f