教 班 專業(yè)班 學(xué) 成績—二三四五六已知f(ex)dxe2xCf(x)2x2 xdx ln| |Cx2 4 x x2ln(x1x2dxxln(x x21) x2f(xxx21f(x)dx，則1f(x)dx3 5．2

x(ex2sin(x4sinx)dx2 0|sinx|dx2n1ln

dx4xdy1exy2的通解為ey22exC

dy

ytan

的特解為x y2y3yxsinx的特解形式(axbcosxcxdsinx（不必求解假設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為tan(x21)，求不定積分xf(x)dxf(x)(tan(x21))2xsec2(x2xf(x)dxxf(x)f2x2sec2(x21)tan(x21)1sin計算不定積分1cosxdx1sinxdx dxsinxdx1sec2xdxln(1cosx)1cosx 1cosx 1cosx tanxln(1cosx)2tan

2ln|

x|

x x方法二：作變換u 21sinxdx(12u)duuln(1u2 （4分1cos 1tanxln(sec2x) tanx2ln|cosx| n2n2利用定積分定義計算極限lim1 n2n2n2nn2n2lim1 n2n21(11(1n1(n1(nnlim1n

04yy(xf(x2xf(t)dtx2f(x0f(0)f(x)2f(x)f(x)e2x[C1

（1分Ce2xx2f(0)0C2f(x)1e2xx

（1分 判斷反常積分0(1x)(1x2 11x1 1 1 1 (1x)(1x2) 21x2 21x 21x2 41x2 21x [arctanx ln(1)ln(1 [arctanx ln(1)ln(10(1x)(1x2 lim(1arctanx1 4

1xtant （3分0(1x)(1x 01tan 0sintcos sin dt [ dt 0sintcos4

0sintcos 0sintcos （3分 （3分0(1x)(1x 01tan 0sintcos11 221

costsinsintcos

[tln|sintcost

（3分 46．已知f(x)在x0處可導(dǎo)，且f(0)0,f(0)1，計算極限xflim x

10f(xt)dtx0f lim

f

lim

f

lim2xf(x2

f(x2)f f(0) 三、[7分y1exxy2x1)yx1y0的yu(x)exxex(2x1)ex(x1)exyu(x)exy(uu)ex,y(u2uuyu(x)exxuu0令pu，xdpp0，方程通解為p （1分 u

1uCln|x|C 1yex(Cln|x|C21四、[8分平面區(qū)域D由曲線y 2x,y1 ，y軸以及直線x2圍成。求區(qū)域D的面積，以及D繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積。22 2 2[2(2x)3x2 14 2(2x)20

0x2022(1x 2x 173五、[9分f(xg(xg(x)f(xf(x)A 證明af(x)g(x)dxA0g(x)dx 利用（1）中結(jié)論計算積分22

xln(x

)dx，其中a0af(x)g(x)dx

f(x)g(x)dxaf(x)f(x) （3分A

g(x)dxAa