數(shù)學(xué)新課標(biāo)解讀與實(shí)踐：“情境—問(wèn)題—思維”視角下的問(wèn)題鏈教學(xué)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提出：教學(xué)中要注重發(fā)揮情境設(shè)計(jì)與問(wèn)題提出對(duì)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，提出能引發(fā)學(xué)生思考的數(shù)學(xué)問(wèn)題或引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出合理問(wèn)題，使學(xué)生在問(wèn)題思考中逐步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).要實(shí)現(xiàn)這一目的，需要關(guān)注兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是情境的設(shè)計(jì)與問(wèn)題的提出；二是問(wèn)題的聚焦與問(wèn)題鏈的引領(lǐng).本文從“情境—問(wèn)題—思維”的視角出發(fā)，就如何在情境教學(xué)中實(shí)現(xiàn)問(wèn)題生成、核心問(wèn)題確立及問(wèn)題鏈引領(lǐng)等諸方面展開(kāi)研究.01問(wèn)題生成哈爾莫斯曾說(shuō)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要.”如何能夠讓學(xué)生在教師設(shè)計(jì)的情境中主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，這就要求我們要在明確學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知心理的基礎(chǔ)上，基于學(xué)生的學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)指向數(shù)學(xué)本質(zhì)、兼具“真、趣、美、簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)情境，使學(xué)生用已有的知識(shí)方法在情境的思考中產(chǎn)生認(rèn)知沖突、心理困境，從而形成需要解決的問(wèn)題，引領(lǐng)后續(xù)的探究活動(dòng).案例1二次函數(shù)的概念引入.情境設(shè)計(jì)如圖1,已知矩形花圃ABCD一面靠墻，另外三面所圍成的柵欄的總長(zhǎng)度是19m.1)如果花圃的面積是24m2,則花圃的邊AB的長(zhǎng)度是多少?2)當(dāng)花圃的邊AB的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，你有什么發(fā)現(xiàn)?活動(dòng)開(kāi)展教學(xué)中先由學(xué)生自己計(jì)算、想象，給出基于自己理解的發(fā)現(xiàn)，然后教師利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)展示矩形ABCD的面積隨邊AB的長(zhǎng)度變化而變化，在此基礎(chǔ)上感知變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生思考這種變化中是否蘊(yùn)涵著不變的數(shù)量關(guān)系及如何表達(dá)出來(lái).案例分析本案例是在九年級(jí)學(xué)生已經(jīng)掌握了一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行的問(wèn)題探索.對(duì)于問(wèn)題1),學(xué)生可以列方程求解；問(wèn)題2)是從“化靜為動(dòng)”的角度出發(fā)，通過(guò)對(duì)圖形動(dòng)態(tài)想象和借助幾何畫(huà)板的直觀演示，讓學(xué)生提出自己的發(fā)現(xiàn).學(xué)生通過(guò)思考可以發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)AB和矩形ABCD的面積之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，自然就會(huì)引發(fā)學(xué)生的積極思考“如何把兩變量間對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)”,當(dāng)已有的一元二次方程知識(shí)在表示此數(shù)量關(guān)系時(shí)存在思維的困境，便形成了認(rèn)知沖突，并生成了相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題：如何表示在變化過(guò)程中兩個(gè)變量間的數(shù)量關(guān)系?由此引領(lǐng)后續(xù)的思考與探究.02問(wèn)題聚焦數(shù)學(xué)的靈魂是數(shù)學(xué)問(wèn)題，為避免教學(xué)實(shí)踐中數(shù)學(xué)問(wèn)題的“淺、散、亂”現(xiàn)象，要注重對(duì)在情境中由認(rèn)知沖突生成問(wèn)題的聚焦，以形成指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心問(wèn)題，統(tǒng)領(lǐng)后續(xù)的探索與思考.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心問(wèn)題是指從數(shù)學(xué)知識(shí)的整體建構(gòu)出發(fā)，對(duì)一節(jié)課或教學(xué)單元起著統(tǒng)領(lǐng)作用的關(guān)鍵數(shù)學(xué)問(wèn)題，它指向問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，整合課堂教學(xué)的重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，并由此生成整節(jié)課(單元)的教學(xué)探索活動(dòng)，具有統(tǒng)領(lǐng)性、生成性、建構(gòu)性的特點(diǎn).在數(shù)學(xué)情境教學(xué)中，通過(guò)情境謀勢(shì)，形成認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生的積極思考，在觀察、猜想等思維的碰撞中自然生成諸多問(wèn)題，教師要及時(shí)引導(dǎo)、啟發(fā)，在諸多問(wèn)題中歸納聚焦具有開(kāi)放度和生成性的核心問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生思維發(fā)展，并由此不斷產(chǎn)生新問(wèn)題、新觀點(diǎn)，在問(wèn)題探索中實(shí)現(xiàn)基于自我理解的知識(shí)方法的體系建構(gòu).案例2勾股定理[1].情境設(shè)計(jì)利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)具，演示“勾股定理注水法”證明過(guò)程(如圖2),讓學(xué)生們說(shuō)說(shuō)自己的發(fā)現(xiàn).活動(dòng)開(kāi)展學(xué)生觀察演示過(guò)程得出不同的結(jié)論：兩個(gè)小正方體的體積等于大正方體的體積；兩個(gè)小正方形的面積等于大正方形的面積；兩個(gè)較短邊長(zhǎng)的平方和等于長(zhǎng)邊的平方；直角三角形的兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方……教師引領(lǐng)學(xué)生對(duì)諸多結(jié)論進(jìn)行分析，梳理它們之間的內(nèi)部關(guān)系，進(jìn)而確立核心問(wèn)題“哪類三角形的兩邊的平方和等于長(zhǎng)邊的平方”.案例分析通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)演示的觀察思考，學(xué)生往往認(rèn)為實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了“直角三角形的兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方”,教師及時(shí)進(jìn)行啟發(fā)“圖中的三角形一定是直角三角形嗎”“如果不能確定是怎樣的三角形，應(yīng)該如何思考”,從而使得問(wèn)題聚焦到“哪類三角形的兩邊的平方和等于長(zhǎng)邊的平方”,形成核心問(wèn)題.接著，利用分類討論的方法，按照直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形分別進(jìn)行探索，在遵循從特殊到一般的歸納思維的指導(dǎo)下，通過(guò)畫(huà)圖驗(yàn)證、一般化證明的過(guò)程形成結(jié)論.通過(guò)情境形成認(rèn)知沖突，引發(fā)思考，將諸多問(wèn)題聚焦到核心問(wèn)題，進(jìn)而引領(lǐng)后續(xù)的系列探索，這就是核心問(wèn)題的重要作用之體現(xiàn).03問(wèn)題鏈引領(lǐng)數(shù)學(xué)知識(shí)是個(gè)體思考的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生思考的舞臺(tái)，基于情境的謀勢(shì)，引發(fā)認(rèn)知沖突，形成的數(shù)學(xué)問(wèn)題能引發(fā)學(xué)生的思考，而如何讓思考走向深入，數(shù)學(xué)思維得以發(fā)展，需要基于核心問(wèn)題的問(wèn)題鏈引領(lǐng)與驅(qū)動(dòng).所謂問(wèn)題鏈，是指根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、數(shù)學(xué)知識(shí)體系、學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知心理，在情境的認(rèn)知沖突中所形成的核心問(wèn)題，通過(guò)遞進(jìn)、變式、類比、引申、逆變等方式，形成具有邏輯關(guān)聯(lián)和開(kāi)放度、生長(zhǎng)性的問(wèn)題串.從形式上看，問(wèn)題鏈?zhǔn)菃?wèn)問(wèn)相連、環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題串；從本質(zhì)上看，問(wèn)題鏈?zhǔn)且詫W(xué)生的學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)為定位，以數(shù)學(xué)思維為指導(dǎo)，指向數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)一定的數(shù)學(xué)思想方法的序列問(wèn)題.由于對(duì)問(wèn)題鏈關(guān)注視角的差異，研究者對(duì)問(wèn)題鏈有不同的分類方法：黃光榮教授從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的分析出發(fā)把問(wèn)題鏈分為推廣(伸縮)鏈、引申鏈、綜合鏈和深化鏈這4種基本類型[2];唐恒鈞教授從數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部關(guān)聯(lián)出發(fā)把問(wèn)題鏈分為推廣鏈、特殊鏈、類比鏈和逆向鏈，從教學(xué)功能的區(qū)分出發(fā)分為知識(shí)建構(gòu)型問(wèn)題鏈、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)型問(wèn)題鏈、專題探究型問(wèn)題鏈等[3].本文基于上述理論的指導(dǎo)，以問(wèn)題鏈所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思維為依據(jù)，把問(wèn)題鏈分為歸納鏈、類比鏈、演繹鏈和逆向鏈，并結(jié)合教學(xué)實(shí)例加以分析.3.1問(wèn)題歸納鏈問(wèn)題歸納鏈?zhǔn)窃跀?shù)學(xué)一般化思維的指導(dǎo)下，遵循從特殊到一般的基本原則，通過(guò)若干特殊問(wèn)題，歸納其中蘊(yùn)涵的客觀規(guī)律和數(shù)量關(guān)系的系列問(wèn)題串.在問(wèn)題歸納鏈中，注重對(duì)問(wèn)題的觀察、猜想和驗(yàn)證，透過(guò)偶然尋必然，利用特例找一般，通過(guò)抽取問(wèn)題的共同屬性形成數(shù)學(xué)規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維.歷史上，許多著名的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是在對(duì)具體問(wèn)題的觀察、猜想、思考中歸納得出的，如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬大定理等.在初中階段，由于受到學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知心理的限制，教學(xué)中往往運(yùn)用的是不完全歸納方法，要借助適當(dāng)?shù)睦幼寣W(xué)生了解這種方式歸納的結(jié)論具有或然性，避免“以偏概全”的錯(cuò)誤.案例3位置的確定.情境引入我國(guó)的航母編隊(duì)航行在茫茫大海上，如何向基地報(bào)告航母的準(zhǔn)確位置?問(wèn)題1公交車行駛在公交線路上，如何向車站報(bào)告自己的位置?如果一個(gè)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，如何準(zhǔn)確表示它的位置?問(wèn)題2如何在教室里準(zhǔn)確表示每一個(gè)座位的位置?如何在平面內(nèi)準(zhǔn)確表示一個(gè)點(diǎn)的位置?問(wèn)題3如何在三維的空間內(nèi)表示點(diǎn)的位置?通過(guò)以上問(wèn)題的思考，你有什么發(fā)現(xiàn)?案例分析本案例源于蘇科版教科書(shū)《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第5.1節(jié)“位置的確定”,這是基于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)軸上點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系基礎(chǔ)上，對(duì)平面上位置確定問(wèn)題的探究.本課是函數(shù)學(xué)習(xí)的起始課，通過(guò)生活中物體位置確定到數(shù)學(xué)上點(diǎn)的位置確定，從一維位置確定問(wèn)題(1個(gè)有序?qū)崝?shù)表示),拓展到二維平面位置確定問(wèn)題(2個(gè)不同有序?qū)崝?shù)表示),并指向三維空間位置探索(3個(gè)不同的有序?qū)崝?shù)表示)的發(fā)展，經(jīng)歷抽象、歸納與模型化的數(shù)學(xué)思考過(guò)程，在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.3.2問(wèn)題類比鏈問(wèn)題類比鏈?zhǔn)窃跀?shù)學(xué)類比思維的指導(dǎo)下，從此類到彼類，在處理新問(wèn)題時(shí)，類比以前處理類似問(wèn)題的視角和方法而提出解決思路的問(wèn)題串.拉普拉斯認(rèn)為發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的工具主要是歸納和類比，歸納思維和類比思維體現(xiàn)為一種智慧和能力，二者可有效培養(yǎng)學(xué)生預(yù)測(cè)、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的能力.在教學(xué)中，教師要注重變換情境，利用類比和歸納的思維訓(xùn)練促進(jìn)學(xué)生知識(shí)能力的高路遷移，從而實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新能力的培養(yǎng).案例4反比例函數(shù)的圖形與性質(zhì).情境設(shè)計(jì)展示反比例函數(shù)y=2x,教師提問(wèn).問(wèn)題1回顧學(xué)習(xí)過(guò)的一次函數(shù)y=2x,你能想到什么?問(wèn)題2從數(shù)的角度思考，一次函數(shù)y=2x中的x和y有怎樣的關(guān)系?從形的角度思考，函數(shù)的圖象是怎樣的，有哪些特點(diǎn)?根據(jù)“數(shù)”和“形”所得到的結(jié)論之間有沒(méi)有關(guān)聯(lián)?問(wèn)題3類比思考y=2x的角度和方法，當(dāng)你看到式子y=2x時(shí)，能想到什么?問(wèn)題4從數(shù)的角度思考，反比例函數(shù)y=2x中的x和y有怎樣的關(guān)系?從形的角度思考，函數(shù)的圖象是怎樣的，由哪些特點(diǎn)?根據(jù)“數(shù)”和“形”得到的結(jié)論之間有沒(méi)有關(guān)聯(lián)?問(wèn)題5請(qǐng)利用本節(jié)課的方法，課后思考函數(shù)y=2x+2和y=2x+2的圖象與性質(zhì).案例分析本案例是蘇科版教科書(shū)《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第11章“反比例函數(shù)”第二課時(shí)的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的圖形與性質(zhì)及反比例函數(shù)的概念，本節(jié)課主要是類比一次函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究方法，思考反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(見(jiàn)圖3).教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧在一次函數(shù)圖象與性質(zhì)探索中“以數(shù)猜形、以形助數(shù)”的過(guò)程，明確了由x和y的數(shù)量關(guān)系(取值范圍、符號(hào)關(guān)系、增減關(guān)聯(lián))與圖象分布(交點(diǎn)情況、象限分布、圖象升降)的數(shù)形結(jié)合分析方法.利用類比思維，按照上述方法探索y=2x的圖象與性質(zhì)，并拓展到y(tǒng)=2x+2和y=2x+2的思考.通過(guò)關(guān)注方法與結(jié)論的“同”與“不同”,在現(xiàn)象中尋找規(guī)律，于變化中思考不變，在觀察、猜想、說(shuō)理的過(guò)程中發(fā)展創(chuàng)新能力和理性思維.3.3問(wèn)題演繹鏈問(wèn)題演繹鏈?zhǔn)侵冈跀?shù)學(xué)演繹思維的指導(dǎo)下，遵循從一般到特殊的基本原則，通過(guò)條件強(qiáng)化，聚焦特殊化問(wèn)題而形成的系列問(wèn)題串.在問(wèn)題演繹鏈中，常常從已確定的對(duì)象集合出發(fā)關(guān)注該集合中較小的子集，在一般性質(zhì)的基礎(chǔ)上思考特殊的存在.通過(guò)問(wèn)題的特殊化思考與一般化抽象，尋找數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性和差異性，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)和辯證的統(tǒng)一.案例5平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)的再探索.情境設(shè)計(jì)請(qǐng)說(shuō)出平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)，并思考當(dāng)平行四邊形圖形變化時(shí)(始終保持是平行四邊形),對(duì)角線的性質(zhì)是否發(fā)生變化?問(wèn)題1當(dāng)平行四邊形變化時(shí)，它的兩條對(duì)角線是否存在相等的情況?這時(shí)的平行四邊形應(yīng)滿足什么條件?問(wèn)題2當(dāng)平行四邊形變化時(shí)，它的兩條對(duì)角線是否存在垂直的情況?這時(shí)平行四邊形應(yīng)滿足什么條件?問(wèn)題3如果一個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線垂直且相等，那么它應(yīng)滿足什么條件?問(wèn)題4在上述的圖形變化中，平行四邊形的邊和角有怎樣的變化?案例分析本案例是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行重組而開(kāi)展的探究性活動(dòng).基于平行四邊形的“對(duì)角線互相平分”的性質(zhì)，從平行四邊形的運(yùn)動(dòng)變化的視角出發(fā)，探究平行四邊形的兩條對(duì)角線可能存在的特殊關(guān)系：一是當(dāng)對(duì)角線相等時(shí)，平行四邊形應(yīng)滿足的條件；二是當(dāng)對(duì)角線垂直時(shí)，平行四邊形應(yīng)滿足的條件；三是當(dāng)對(duì)角線垂直且相等時(shí)，平行四邊形應(yīng)滿足的條件.借助圖形的運(yùn)動(dòng)變化，感知“變中有不變”和“變中有新知”,并以此為突破口，思考平行四邊形的邊、角的變與不變，從而在基于自我理解的基礎(chǔ)上建構(gòu)平行四邊形和矩形、菱形、正方形的知識(shí)體系(如圖4).3.4問(wèn)題逆向鏈問(wèn)題逆向鏈?zhǔn)窃跀?shù)學(xué)逆向思維的引領(lǐng)下，在原問(wèn)題的基礎(chǔ)上通過(guò)變換視角、反向思考而形成的系列問(wèn)題串.問(wèn)題逆向鏈注重打破常規(guī)、突破思維定勢(shì)的束縛，執(zhí)果索因，反其道而思之，從不同的角度或問(wèn)題的對(duì)立面提出新問(wèn)題，進(jìn)而引領(lǐng)探究活動(dòng).如根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)思考它的判定方法，或者是把問(wèn)題的條件和結(jié)論互換得到新問(wèn)題等，通過(guò)問(wèn)題的逆向思考可有效發(fā)展學(xué)生的求異思維和發(fā)散思維，培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性和嚴(yán)謹(jǐn)性.案例6中點(diǎn)四邊形探索.情境設(shè)計(jì)回顧三角形的3條中位線形成的三角形的性質(zhì)，類比探究中點(diǎn)四邊形(順次連接四邊形的中點(diǎn)形成的四邊形)的性質(zhì).問(wèn)題1任意四邊形所形成的中點(diǎn)四邊形是怎樣的四邊形?問(wèn)題2平行四邊形所形成的中點(diǎn)四邊形是怎樣的四邊形?問(wèn)題3矩形、菱形和正方形所形成的中點(diǎn)四邊形分別是怎樣的四邊形?問(wèn)題4如果中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，那么原四邊形是怎樣的四邊形?問(wèn)題5如果中點(diǎn)四邊形是矩形，那么原四邊形應(yīng)滿足怎樣的條件?問(wèn)題6如果中點(diǎn)四邊形是菱形，那么原四邊形應(yīng)滿足怎樣的條件?問(wèn)題7如果中點(diǎn)四邊形是正方形，那么原四邊形應(yīng)滿足怎樣的條件?問(wèn)題8凹四邊形所形成的中點(diǎn)四邊形的特性與上述結(jié)論是否一致?案例分析在實(shí)際教學(xué)中，往往是由不同類型的問(wèn)題鏈交織使用，共同促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.本案例是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形中位線知識(shí)之后所開(kāi)展的探究性學(xué)習(xí)：首先，通過(guò)回顧三角形的3條中位線形成三角形的特性，類比探究中點(diǎn)四邊形的相關(guān)結(jié)論；其次，從一般四邊形到平行四邊形、矩形、菱形和正方形的逐步的特殊化探究過(guò)程，思考中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)變化；再次，從問(wèn)題的反面提出問(wèn)題，“當(dāng)中點(diǎn)四邊形是平行四邊形、矩形、菱形或正方形時(shí)，原四邊形應(yīng)滿足的對(duì)角線要求”;最后，從凸四邊形拓展到凹四邊形的類比探究，形成了不同思維引領(lǐng)下的完整的問(wèn)題鏈教學(xué)(如圖5),在問(wèn)題探究中促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的綜合發(fā)展.04問(wèn)題探索“引與思”在問(wèn)題鏈的教學(xué)實(shí)踐中，既要注重教師對(duì)問(wèn)題設(shè)計(jì)的“引領(lǐng)”作用，也要重視學(xué)生問(wèn)題“生成”的自然性.教師要認(rèn)真研讀教材，把握學(xué)情，從學(xué)生的認(rèn)知心理和思維習(xí)慣出發(fā)進(jìn)行教學(xué)情境和問(wèn)題的設(shè)計(jì)，使問(wèn)題預(yù)設(shè)的科學(xué)性和問(wèn)題生成的自然性渾然天成.同時(shí)注重對(duì)問(wèn)題及時(shí)的追問(wèn)和反問(wèn)，引發(fā)學(xué)生的進(jìn)一步思考，形成新的問(wèn)題，使得學(xué)生的思維從模糊走向清晰、從無(wú)序走向有序、從感性走向理性，最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的聚焦和引領(lǐng).教師在情境問(wèn)題的教學(xué)中是情境的設(shè)計(jì)者、問(wèn)題的