第二章

分岔與奇怪吸引子第二章

分岔與奇怪吸引子1第一節(jié)簡單數(shù)學(xué)分岔第二節(jié)平方映射與倍周期分岔第三節(jié)流體不穩(wěn)定性與洛倫茲方程第四節(jié)李雅普諾夫指數(shù)與奇怪吸引子分岔與奇怪吸引子第一節(jié)簡單數(shù)學(xué)分岔分岔與奇怪吸引子2第一節(jié)簡單數(shù)學(xué)分岔引言分岔概念1切分岔2轉(zhuǎn)換鍵型分岔3叉式分岔4霍夫型分岔第一節(jié)簡單數(shù)學(xué)分岔3彈性壓桿的分岔引言分岔概念

分岔是一種普遍的自然現(xiàn)象。力學(xué)上指一種力學(xué)狀態(tài)在臨界點發(fā)生的轉(zhuǎn)變、分開或一分為二。如：一根受力的彈性壓桿當(dāng)壓力超過壓桿的臨界負(fù)荷時，會出現(xiàn)彎曲。許多重要物理現(xiàn)象數(shù)學(xué)上可以某類微分方程來描述。數(shù)學(xué)上分岔研究非線性微分方程當(dāng)某一參數(shù)變化時其解發(fā)生突變的臨界點附近的行為。

在P—s平面上當(dāng)P<Pc時，桿的唯一平衡狀態(tài)是保持直線；當(dāng)P>Pc時有三種平衡狀態(tài)：保持直線(OC方向)、偏向+s或-s方向,不同平衡狀態(tài)的分岔點為Pc。這時保持直線是不穩(wěn)定的，稍有擾動平衡狀態(tài)便會偏向+s或-s。兩種偏向+s或-s狀態(tài)是穩(wěn)定的。彈性壓桿的分岔引言分岔概念分岔是一種普遍的自然41.切分岔數(shù)學(xué)模型利用方程：由得平衡點

(a)當(dāng)μ＜0時,解x0為虛數(shù)，因此不存在奇點，(b)當(dāng)μ＞0時出現(xiàn)兩個奇點,，說明上述方程的解在x0=0處發(fā)生了分裂。

μ＞0兩個奇點的穩(wěn)定性

在解x0附近取一點，計算它與平衡點距離隨時間變化。設(shè)距離：隨時間變化：忽略高階量1.切分岔數(shù)學(xué)模型利用方程：忽略高階量5解，當(dāng)時，，此解是穩(wěn)定的，是穩(wěn)定的結(jié)點。解，當(dāng)時，，解是不穩(wěn)定的，它是鞍點。

切分岔是一個鞍–結(jié)分岔相流形狀解的穩(wěn)定性與相流1.切分岔解解的穩(wěn)定性與相流1.切分岔解62轉(zhuǎn)換鍵型分岔利用方程：解在分岔點(x0,μ)＝(0,0)處發(fā)生轉(zhuǎn)折，故稱轉(zhuǎn)換鍵型分岔

解的穩(wěn)定性

采用與分析切分岔穩(wěn)定性同樣的方法，知：μ＜0，平衡點x0=0是穩(wěn)定的,平衡點x0=-m是不穩(wěn)定的；μ＞0，平衡點x0=0是不穩(wěn)定的，平衡點x0=+m是穩(wěn)定的。

數(shù)學(xué)模型平衡點2轉(zhuǎn)換鍵型分岔利用方程：數(shù)學(xué)模型平衡點7

由分岔圖可見，μ＜0或μ＞0都是一對鞍–結(jié)點：μ＜0時，軸線是結(jié)點，是不穩(wěn)定的；μ＞0時，的軸線是不穩(wěn)定的，是穩(wěn)定結(jié)點。由鞍點與穩(wěn)定結(jié)點附近的相軌線流向，轉(zhuǎn)換鍵型分岔的相流形狀如下圖。2轉(zhuǎn)換鍵型分岔相流由分岔圖可見，μ＜0或μ＞0都是一對鞍–結(jié)點：2轉(zhuǎn)83叉式分岔利用方程：

由得平衡點分岔圖形象一把叉子，故稱岔式分岔。解的穩(wěn)定性：μ＜0時只有x0=0

的平衡點，經(jīng)分析方法可知它是穩(wěn)定的。μ＞0有三個平衡點，x0=0是不穩(wěn)定的，解是穩(wěn)定的。

數(shù)學(xué)模型相流圖形3叉式分岔利用方程：數(shù)學(xué)模型相流圖形9杜芬方程具有叉式分岔由勢能曲線知：

a.

在時僅有一個平衡點：

b.在時存在三個平衡點：可見在參數(shù)k=0處發(fā)生了一次從單解轉(zhuǎn)為三解的叉式分岔。

c.在這三個平衡點中，，處在勢能極小點，是穩(wěn)定的；處在勢能極大點，是不穩(wěn)定的平衡點。3叉式分岔杜芬方程的叉式分岔杜芬方程具有叉式分岔3叉式分岔杜芬方程的叉式分岔104霍夫型分岔

數(shù)學(xué)模型引入極坐標(biāo)求導(dǎo)代入原方程令正弦余弦系數(shù)相等4霍夫型分岔數(shù)學(xué)模型引入極坐標(biāo)求導(dǎo)代入原方程令正弦余弦11

對方程

積分,可得：C，t0為積分常數(shù)。1.μ≤0，距離r隨時間而縮短，當(dāng)時間

時。說明μ軸線上各點是穩(wěn)定的焦點。2.

μ＞0，r

值隨時間增長，不論初始r的大小；當(dāng)時形成閉合圈即極限環(huán)4.霍夫型分岔分岔分析參數(shù)μ從負(fù)變到正，從焦點產(chǎn)生出極限環(huán),這種分岔稱霍夫分岔。分岔點位于μ=0。對方程1.μ≤0，距離r隨時間而縮短，當(dāng)時間12范德玻耳方程分岔引進(jìn)參數(shù)作用量I與角度量q相位求平均平衡點：

對于平衡點I2

鄰域有:

為初始對I2的偏離量。作用量

I對的偏離量隨時間指數(shù)減小。當(dāng)，,,I2是穩(wěn)定的解。

4.霍夫型分岔

對于平衡點I1鄰域有:

I0是初始對I1的偏離小量。作用量I

隨時間指數(shù)增長,I1是不穩(wěn)定解,為不穩(wěn)定焦點。范德玻耳方程分岔引進(jìn)參數(shù)作用相位求平均平衡點：對13范德玻耳方程分岔4.霍夫型分岔結(jié)論

范德玻耳方程霍夫型分岔與參數(shù)的e正負(fù)有關(guān)。上面討論的是e

為正值情況，即：

如果e為正值，相平面上坐標(biāo)原點是不穩(wěn)定的焦點，而極限環(huán)是穩(wěn)定的。不論初始相點處于環(huán)內(nèi)還是環(huán)外，時總是趨向于極限環(huán)。

如果e為負(fù)值，情況剛好相反，坐標(biāo)原點變?yōu)榉€(wěn)定的焦點，為系統(tǒng)的不動點，而極限環(huán)則是不穩(wěn)定的。當(dāng)

時，環(huán)內(nèi)相點趨于不動點，環(huán)外相點則遠(yuǎn)離環(huán)而去。范德玻耳方程分岔4.霍夫型分岔結(jié)論14第二節(jié)平方映射與倍周期分岔

1.平方映射2.平方映射的不動點及其穩(wěn)定性3.平方映射的周期解及其穩(wěn)定性4.倍周期分岔的功率譜第二節(jié)平方映射與倍周期分岔1.平方映射15

物理學(xué)上一個動力學(xué)系統(tǒng)可以用連續(xù)變量表示，也可以用離散數(shù)表示。一個以為連續(xù)變量的單參數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)：這里為系統(tǒng)參數(shù)。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)作等間隔t，t+1，t+2，t+3，…變化，則時間演化方程改寫為：當(dāng)時間間隔不取整數(shù)，各時刻寫成相應(yīng)的狀態(tài)為：時間演化方程變成離散方程：數(shù)學(xué)上稱為映射的方程。在非線性發(fā)展史上第一個將映射方程用于研究系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)的是美國科學(xué)家梅(MayRobert)

映射方程1．平方映射

物理學(xué)上一個動力學(xué)系統(tǒng)可以用連續(xù)變量表示，也可以用16映射方程計算對一個映射的計算采用的是迭代方法。即給定一個初值將其代入映射計算得，將代入映射計算得，由可算得，如此一直計算得：例如：一個簡單映射1次迭代：2次迭代：n次迭代：于是有：如果將值看成為一條線上的一個點，則該組數(shù)值就構(gòu)成一條軌道。1．平方映射

映射方程計算對一個映射17動力學(xué)系統(tǒng)用連續(xù)變量表示為微分方程，離散數(shù)表示時為映射(map)，兩者對應(yīng)關(guān)系為：映射與微分方程對應(yīng)關(guān)系迭代計算解方程

1．平方映射

動力學(xué)系統(tǒng)用連續(xù)變量表示為微分方程，離散數(shù)表示時為映射(ma18平方映射導(dǎo)出—生態(tài)平衡方程

1838年，生物學(xué)家伏埃胡斯脫（Verhulst）在研究生物種群演化時提出一種設(shè)想：一個世代交替的生物種群是在一個受制約的環(huán)境中生息繁衍的。第

n

代有:第n+1

代有:A如不考慮生存環(huán)境對種群生存的影響，第

n

代與第

n+1代有如下關(guān)系：

當(dāng)R>1，種群數(shù)量將線性地?zé)o限制增長。

B種群受環(huán)境制約，數(shù)量有最大限額，種群繁殖空間第n

代與第

n+1代關(guān)系

1．平方映射

平方映射導(dǎo)出—生態(tài)平衡方程1838年，生物學(xué)家伏埃胡斯19平方映射計算方程展開

xn+1值與xn值是平方關(guān)系，稱平方映射，文獻(xiàn)中稱洛吉斯蒂映射(logisticmap),該式是拋物線表示式，也稱拋物映射。由于親、子兩代種群數(shù)約化值，在0~1間，參數(shù)μ取值在[0，4]內(nèi)。

離散映射采用迭代計算。即給定參數(shù)m值與初始值x0

，就有：…設(shè)：各次計算值為：

在此參數(shù)下，計算結(jié)果趨向一個終值：1.平方映射

平方映射計算方程展開1.平方映射20作圖計算準(zhǔn)備:1.坐標(biāo)2.作條拋物線：3.作的對角線，稱恒等線通過它做投影。1.平方映射

平方映射在平面上是一條拋物線，拋物線高度由m值決定。作圖計算準(zhǔn)備:1.平方映射平方映射21作圖計算在橫坐標(biāo)x0

處作豎直線與拋物線相交，交點為x1。從此點作水平線與對角線相交，此交點橫坐標(biāo)為x1。由橫坐標(biāo)x1作垂線，與拋物線相交x2，移植到對角線上，得橫坐標(biāo)x2…。作圖過程象結(jié)網(wǎng)，趨向于恒等線與拋物線交點B，這是計算的終值。1.平方映射

平方映射在平面上是一條拋物線，拋物線高度由m值決定。作圖計算在橫坐標(biāo)x0處作豎直線與拋物線相交，交點為x1。22作圖計算1.平方映射

平方映射在平面上是一條拋物線，拋物線高度由m值決定。作圖計算1.平方映射平方映射23平方映射的不動點通過作圖或數(shù)值計算表明，計算可以得到一個不變的終值，它被稱為映射的不動點。一個映射的不動點就是xi與xi+1相同時的數(shù)值，它不再因繼續(xù)迭代而發(fā)生變化。對平方映射，不動點為：解此方程得：即有兩個不動點。實際上，兩個不動點就是拋物線與迭代線的兩個交點A與B。拋物線的高度與μ值有關(guān)，最大高度在m=1/2處且等于μ/4。如果參數(shù)μ較小(m<1)，拋物線高度較低，它與迭代線只有一個交點，即原點A。在這種情況下，不管初值如何迭代最終趨于原點，原點是唯一的不動點。2.平方映射的不動點平方映射的不動點通過作圖或數(shù)值計算表明，計算可以得到24平方映射的兩個不動點2.平方映射的不動點平方映射的兩個不動點2.平方映射的不動點25m<1時走向不動點A當(dāng)參數(shù)m<1時，拋物線高度較低，與迭代線只有一個交點A。這時不管初值如何，迭代最終趨于原點，原點是唯一的不動點。圖b是隨迭代次數(shù)n的變化曲線，這是最終衰變到零的指數(shù)衰變曲線。在生態(tài)上，雖然初始有一定的種群數(shù)量，但受到環(huán)境的制約最終走向了滅絕。2.平方映射的不動點m<1時走向不動點A當(dāng)參數(shù)m<1時，拋物線高度較低，26μ=1~3時走向不動點B當(dāng)μ>1時平方映射會出現(xiàn)第二個不動點。下圖m

值為2.0與1.8時的迭代，可以看到雖然起始值很小，但每次迭代值增加，這是一個指數(shù)增長并最終穩(wěn)定的過程。終值與起始值無關(guān)。2.平方映射的不動點μ=1~3時走向不動點B當(dāng)μ>1時平方映射會27μ>2.3時振蕩走向不動點B

當(dāng)

m值增大到μ>2.3時，迭代結(jié)果開始出現(xiàn)振蕩起伏，然后逐步穩(wěn)定在某個數(shù)值。例如，當(dāng)m

=2.8時，迭代值經(jīng)過多次衰減振蕩后逐步穩(wěn)定。μ>2.3時通過振蕩走向不動點B2.平方映射的不動點

μ>2.3時振蕩走向不動點B當(dāng)m值增大到μ28不動點的穩(wěn)定性

非線性動力學(xué)核心問題之一就是研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。上述計算可見，當(dāng)μ<3時迭代走向不動點，當(dāng)μ>3迭代值出現(xiàn)持續(xù)振蕩，說明迭代在μ=3附近發(fā)生了變化，穩(wěn)定不動點變得不穩(wěn)定了。如一維映射具有不動點，即有解設(shè)en為對不動點的偏離量，需繼續(xù)迭代，有：對右邊在x*附近展開：略去的高階小項，利用不動點方程則得：對于穩(wěn)定的不動點，應(yīng)有：，即對于不穩(wěn)定的不動點,應(yīng)有:，即

2.平方映射的不動點

不動點的穩(wěn)定性非線性動力學(xué)核心問題之一就是研究29不動點的穩(wěn)定性對于穩(wěn)定的不動點，應(yīng)有,即：映射在不動點處斜率為45°迭代單調(diào)的趨近于

迭代經(jīng)過幾次起伏趨近于超穩(wěn)定不動點，最有利的穩(wěn)定情況，迭代圖上對應(yīng)于2.平方映射的不動點

不動點的穩(wěn)定性對于穩(wěn)定的不動點，應(yīng)有30不動點的穩(wěn)定性對于穩(wěn)定的不動點，應(yīng)有,即：2.平方映射的不動點

不動點的穩(wěn)定性對于穩(wěn)定的不動點，應(yīng)有31二周期解當(dāng)參數(shù)從μ=2.8繼續(xù)增大時，迭代出現(xiàn)的振蕩將維持下去，這種情況稱為周期解。圖為μ=3.2時迭代情況，取x0=0.04，在迭代進(jìn)行幾次后，其終值在一大一小的兩個定值之間跳躍，并與起始值無關(guān)，稱為周期2軌道運動。3.平方映射的周期解μ=3.2時xn+1在一大一小兩個值間跳躍二周期解當(dāng)參數(shù)從μ=2.8繼續(xù)增大時，迭代出現(xiàn)32四周期解

μ值進(jìn)一步增大時迭代會出現(xiàn)的振蕩起伏。μ值增大到3.5以上，迭代的終值起伏每隔四次出現(xiàn)重復(fù)，稱為周期4軌道運動。圖為μ=3.52時的xn+1～n曲線，仍取x0=0.2為起始值。

μ=3.52xn+1出現(xiàn)4周期循環(huán)

3.平方映射的周期解四周期解μ值進(jìn)一步增大時迭代會出現(xiàn)的振蕩起伏。μ33倍周期解序列

計算表明，隨

m

的增加，穩(wěn)定的周期軌道還在增加，于是可得如下倍周期分岔序列。

1.00<m<3.00周期1軌道(不動點)3.00<m<3.4495周期2軌道3.4495<m<3.5541周期4軌道3.5541<m<3.5644周期8軌道3.5644<m<3.5688周期16軌道

通常在確定的μ值下，迭代會進(jìn)入一個周期p的重復(fù)循環(huán)，即在次數(shù)i≥n后迭代有：

xn，xn+1，…

，xn+p-1

xn+p，xn+p+1，…

，xn+2p-1重復(fù)相同的值，稱為周期p軌道。如P=1，稱周期1軌道，為不動點；p=2為周期2軌道，p=4為周期4軌道。迭代也會進(jìn)入軌道點xi永不重復(fù)情況，即無周期狀態(tài)。但若每迭代一定次數(shù)，軌道點雖沒有準(zhǔn)確回到某個初始點xk，但與該點非常接近，則這種情況稱為準(zhǔn)周期軌道。它可看作無限長周期軌道。3.平方映射的周期解倍周期解序列計算表明，隨m的增加，穩(wěn)定的周期軌道還在34參數(shù)μ的變化引起軌道的周期性發(fā)生變化，類似于不動點的穩(wěn)定性，映射的周期解也有一個穩(wěn)定性問題。平方映射在μ=3.3時，對周期1軌道是不穩(wěn)定的，但對周期2軌道來說可滿足穩(wěn)定性條件。對于周期2軌道：

代入映射方程：復(fù)雜的表達(dá)式作圖出來很清楚，這是一條M形曲線。上圖為曲線,下圖為曲線。周期2的穩(wěn)定性

3.平方映射的周期解參數(shù)μ的變化引起軌道的周期性發(fā)生變化，類似于不動點的穩(wěn)35周期2的穩(wěn)定性

周期軌道與不動點之間具有類似性。根據(jù)上述對的計算：體系有一個周期2軌道體系應(yīng)有兩個不動點。

對μ=3.3，f(f(m,xn)有四個不動點：

其中與是的不動點，對應(yīng)周期1軌道；剩下兩個點即是周期2軌道點。3.平方映射的周期解周期2的穩(wěn)定性周期軌道與不動點之間具有類似性。根據(jù)上36多周期軌道的穩(wěn)定性

已知的不動點穩(wěn)定性條件為：即在不動點處斜率小于45°。對于周期2軌道，設(shè)有解。則在的不動點處應(yīng)有：

結(jié)論：周期2的不動點的穩(wěn)定性決定于與兩點處函數(shù)點的斜率。推廣到任意的周期軌道，即從求出周期n軌道的不動點。然后由m判定其穩(wěn)定性。3.平方映射的周期解復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)鏈法則多周期軌道的穩(wěn)定性已知37功率譜表示一個非線性系統(tǒng)的運動狀態(tài)，除采用時域方法（振動的時間圖）表示外，更多地使用了相圖（狀態(tài)圖）表示方法。此外頻譜表示也是一種重要的分析方法。隨著參數(shù)μ值的增加，平方映射出現(xiàn)了軌道周期成倍加長的倍周期分岔。從頻譜角度看，每次分岔意味著頻譜圖中出現(xiàn)一批對應(yīng)的新的頻率分量。因此需要從頻譜變化角度來討論一下分岔現(xiàn)象。相圖與頻譜圖有對應(yīng)關(guān)系。頻率為f的正弦周期運動，在相空間里是閉合圓環(huán)。頻