2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高一下學(xué)期期末綜合質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解指數(shù)不等式求出，從而求出并集.【詳解】因?yàn)?，解得，故，?故選：D2．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公報(bào)顯示繪制出的2017-2021年每年本專(zhuān)科、中等職業(yè)教育及普通高中的招生人數(shù)（單位：萬(wàn)）統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示，則下列關(guān)于2017-2021年說(shuō)法正確的是（

）A．每年本專(zhuān)科、中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)都在增長(zhǎng)B．中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)差距最大的年份是2019年C．本專(zhuān)科每年的招生人數(shù)增幅最大的年份是2018年D．本專(zhuān)科的招生人數(shù)所占比例最高的年份是2021年【答案】D【分析】根據(jù)柱狀圖的數(shù)據(jù)，逐一分析選項(xiàng)即可得出答案．【詳解】對(duì)于A：中等職業(yè)教育2017年招生人數(shù)為582萬(wàn)人,2018年招生人數(shù)為557萬(wàn)人，即2017-2018年中等職業(yè)教育招生人數(shù)出現(xiàn)減少，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：2017-2021年中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)差為：218萬(wàn)人，236萬(wàn)人，239萬(wàn)人，231萬(wàn)人，249萬(wàn)人，即中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)差距最大的是2021年，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：2018-2021年本專(zhuān)科每年的招生人數(shù)增幅為：，，，，即本專(zhuān)科每年的招生人數(shù)增幅最大的年份是2019年，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：2017-2021年本專(zhuān)科的招生人數(shù)所占比例為：，，，，，即本專(zhuān)科的招生人數(shù)所占比例最高的年份是2021年，故D正確，故選：D．3．已知向量，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，以及垂直的向量坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，可得，又由，可得，解得.故選：B.4．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．是單調(diào)遞增函數(shù) B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)解析式可判斷函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且為增函數(shù)可判斷A的正誤；由的解析式求得的解析式，再求得的解析式，化簡(jiǎn)即可判斷B的正誤；將特殊值代入即可排除C；由求得，再求得最值，可判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)斜率為正，當(dāng)時(shí)斜率為正，A正確；對(duì)于B，，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，則，故B正確；對(duì)于C，,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，所以，故D正確.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：分段函數(shù)的求解問(wèn)題，關(guān)鍵要把握各段的自變量的取值范圍.5．昆蟲(chóng)信息素是昆蟲(chóng)用來(lái)表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲(chóng)之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲(chóng)交流的化學(xué)分子語(yǔ)言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲(chóng)信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲(chóng)害的預(yù)報(bào)和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲(chóng)釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得的信息素濃度y滿(mǎn)足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)已知的濃度解析式，代入變量，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值.【詳解】由題意，，所以），即．又，所以．因?yàn)?，所以．故選：B．6．“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用，得出，從而求出，再利用偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可得出充分性成立，再利用，得出，從而判斷必要性成立，從而得出結(jié)果.【詳解】若，得到，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即或，當(dāng)時(shí)，恒有，當(dāng)時(shí)，，所以，若，則為偶函數(shù)，若為偶函數(shù)，則，所以，化簡(jiǎn)得，所以，故選：C.7．在中，，，，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件求得解得，，，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.【詳解】設(shè)，，根據(jù)題意得，解得，，，，，又、、三點(diǎn)共線(xiàn)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是由已知條件求出后，再由三點(diǎn)共線(xiàn)，得，所以化簡(jiǎn)后結(jié)合基本不等式可求出其最小值，8．已知等腰直角的斜邊分別為上的動(dòng)點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.若點(diǎn)均在球的球面上，則球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)共圓（不與重合），進(jìn)而確定，找到△，四邊形外接圓圓心，由棱錐外接球、面面垂直的性質(zhì)確定球心位置，設(shè)且，求外接球半徑最小值，即可得結(jié)果.【詳解】由點(diǎn)均在球的球面上，且共圓（不與重合），所以（不與重合），又為等腰直角三角形，為斜邊，即有，如上圖，△、△、△都為直角三角形，且，由平面圖到立體圖知：，，又面面，面面，面，所以面，同理可得面，將翻折后，的中點(diǎn)分別為△，四邊形外接圓圓心，過(guò)作面，過(guò)作面，它們交于，即為外接球球心，如下圖示，再過(guò)作面，交于，連接，則為矩形，綜上，，，則為中點(diǎn)，所以，而，，令且，則，故，，所以球半徑，當(dāng)時(shí)，，故球表面積的最小值為.故選：D9．已知，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，和共軛復(fù)數(shù)的概念求得，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)論．【詳解】由題意，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第一象限，故選：A．二、多選題10．如圖所示，在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形中，，且點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，若，則（

）

A． B．C．存在最小值 D．的最大值為【答案】ABC【分析】對(duì)于AB，將分別用表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷；對(duì)于CD，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，且點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，所以，則，故A正確；對(duì)于B，，則，故B正確；對(duì)于C，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)辄c(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，所以點(diǎn)的軌跡方程為，且在軸的下半部分，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．已知函數(shù)，滿(mǎn)足，且對(duì)任意，都有，當(dāng)取最小值時(shí)，則下列錯(cuò)誤的是（

）A．圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程為B．在上的值域?yàn)镃．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象D．在上單調(diào)遞減【答案】ABC【分析】根據(jù)題意的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)取最小值時(shí)，即周期最大，可得，所以，函數(shù)在時(shí)取得最小值，所以．求得，再逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又對(duì)任意，都有，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)取最小值時(shí)，即周期最大，可得．得，所以，函數(shù)在時(shí)取得最小值，所以．因?yàn)?，所以．即．令，得．故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，．此時(shí)的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故D正確．故選：ABC12．已知四棱錐，底面是正方形，平面，，點(diǎn)在平面上，且，則（

）A．存在，使得直線(xiàn)與所成角為B．不存在，使得平面平面C．當(dāng)一定時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)軌跡上所有的點(diǎn)連線(xiàn)和平面圍成的幾何體的外接球的表而積為D．若，以為球心，為半徑的球面與四棱琟各面的交線(xiàn)長(zhǎng)為【答案】BCD【分析】根據(jù)線(xiàn)面角是斜線(xiàn)與平面內(nèi)直線(xiàn)所成角的最小角判斷A，根據(jù)平面平面判斷B，根據(jù)圓錐與其外接球軸截面求球的半徑判斷C，利用側(cè)面展開(kāi)圖求球與側(cè)面交線(xiàn)長(zhǎng)，再由球與底面交線(xiàn)為以點(diǎn)A為圓心，為半徑的四分之一圓弧即可判斷D.【詳解】對(duì)A，如圖，由題意為直線(xiàn)與平面ABCD所成的角，所以與所成的角不小于，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，平面，平面，，又，面，面，點(diǎn)要在直線(xiàn)上，因?yàn)?，所以不存在，故B正確.對(duì)C，由題意知，幾何體為圓錐，作圓錐及外接球的軸截面圖，如圖，所以外接球的半徑滿(mǎn)足，解得，所以外接球的表而積為，故C正確；對(duì)D，將側(cè)面展開(kāi)，知球與側(cè)面的交線(xiàn)為以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓與側(cè)面展開(kāi)圖的交線(xiàn)，即圖中，因?yàn)?，所以，又，所以，由?duì)稱(chēng)性知，所以,故的長(zhǎng)為，又球與底面交線(xiàn)為以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓與底面ABCD的交線(xiàn)，故長(zhǎng)度為，所以球面與四棱琟各面的交線(xiàn)長(zhǎng)為，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：因?yàn)槠矫媾c球的截面為圓面，交線(xiàn)為一段圓弧，所以球與棱錐各面的交線(xiàn)是圓上一段，且圓的半徑為，所以只需求出圓心角，本題選項(xiàng)D可以沿側(cè)棱展開(kāi)，棱錐各個(gè)側(cè)面放在同一平面上，借助平面幾何知識(shí)及對(duì)稱(chēng)性求出圓心角為即可得解.三、填空題13．在矩形中，，，沿對(duì)角線(xiàn)把矩形折成二面角的平面角為時(shí)，則.【答案】【分析】畫(huà)出圖形，分別過(guò)兩點(diǎn)作，，垂足為,利用勾股定理求出相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)，再利用空間向量的線(xiàn)性關(guān)系表示求出，求出它的模．【詳解】分別過(guò)兩點(diǎn)作，，垂足為,如下圖所示：根據(jù)勾股定理可求出：，沿對(duì)角線(xiàn)把矩形折成二面角的平面角為時(shí)，則，.【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間向量求兩點(diǎn)之間的距離．14．如圖，在半徑為的圓中，點(diǎn)為圓上的定點(diǎn)，且，點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，以為原點(diǎn)，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)閳A的半徑為，且，可得，設(shè)點(diǎn)，其中，因?yàn)?，可得，所以，可得，因?yàn)?，可得，即的取值范圍?故答案為：.四、雙空題15．已知函數(shù)，則；設(shè)，若函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】先計(jì)算出的值，然后將的值代入并根據(jù)值所在范圍求解出；作出的圖象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)求的取值范圍，由此得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)橛袀€(gè)零點(diǎn)，所以的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象如下圖所示：當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可知，所以，即，故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，采用數(shù)形結(jié)合思想能高效解答問(wèn)題，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化能使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的問(wèn)題，常見(jiàn)的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的個(gè)數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）研究函數(shù)性質(zhì).五、填空題16．已知為平面上的單位向量，，且，則的最大值為．【答案】【分析】如圖，A，B是單位圓O上的點(diǎn)，其中，設(shè)到的角為，則，利用絕對(duì)值不等式和柯西不等式可求最大值.【詳解】如圖，A，B是單位圓O上的點(diǎn)，．

設(shè)到的角為，則到的角為，進(jìn)而，等號(hào)當(dāng)時(shí)取得，因此所求最大值為．故答案為:六、解答題17．如圖所示，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．(1)設(shè)，，求的值；(2)若，計(jì)算的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）由可直接求得結(jié)果；（2）由向量數(shù)量積定義和運(yùn)算律可求得，由此可得.【詳解】（1），，.（2），.18．已知復(fù)數(shù).(1)若z為純虛數(shù)，求m的值；(2)若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為14，求m的值.【答案】(1)5(2)1【分析】（1）先將復(fù)數(shù)進(jìn)整理，得出其實(shí)部和虛部，由條件可得實(shí)部為零，虛部不為零得出答案.(2)先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，得出實(shí)部與虛部，從而求出答案.【詳解】（1）由z為純虛數(shù)，則，解得（舍去）（2）所以，解得19．某校為加強(qiáng)黨史教育，進(jìn)行了一次黨史知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生的筆試成績(jī)均在75分以上（滿(mǎn)分100分），分成[75，80），[80，85）[85，90），[90，95），[95，100]共五組后，得到的頻率分布表如下所示：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[75，80）①

第2組[80，85）0.300第3組[85，90）30②

第4組[90，95）200.200第5組[95，100]100.100合計(jì)1001.00（1）請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖（用陰影表示）；（2）為能更好了解學(xué)生的知識(shí)掌握情況，學(xué)校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面答，最終從6位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位參加市安全知識(shí)答題決賽，求抽到的2位學(xué)生不同組的概率.【答案】（1）①處應(yīng)填的數(shù)為10人，②處應(yīng)填的數(shù)為0.300，直方圖見(jiàn)解析；（2）.【分析】(1)利用頻率等于頻數(shù)與總數(shù)的比值求解；(2)先用分層抽樣確定各組應(yīng)抽取的人數(shù)，而后利用古典概型中的列舉法求概率.【詳解】(1)第2組的頻數(shù)為100×0.300=30人，所以①處應(yīng)填的數(shù)為10人，②處應(yīng)填的數(shù)為0.300，頻率分布直方圖如圖所示，(2)因?yàn)榈?、4、5組共有60名選手，所以利用分層抽樣在60名選手中抽取6名選手進(jìn)入第二輪面試，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：人，第4組：人，第5組：人，所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人進(jìn)入第二輪面答.設(shè)第3組的3位學(xué)生為，第4組的2位學(xué)生為，第5組的1位學(xué)生為C1，則從這6位學(xué)生中抽取2位學(xué)生有：，，共15種情況.抽到的2位學(xué)生不同組的有：共11種情況.所以抽到的2位學(xué)生不同組的概率為.20．在中，角的對(duì)邊分別為.(1)求的大??；(2)再?gòu)臈l件①?條件②?條件③這三個(gè)條件選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求邊上高線(xiàn)的長(zhǎng).條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.【答案】(1).(2)條件①：；條件③：.【分析】（1）利用正弦定理，邊化角，再利用三角恒等變換求解即可.（2）根據(jù)三角形全等條件可知①③滿(mǎn)足條件，條件②由余弦定理可得有兩解，不滿(mǎn)足條件，條件①：根據(jù)，結(jié)合等面積求解即可；條件③：利用余弦定理結(jié)合等面積求解即可.【詳解】（1）在中因?yàn)?，由正弦定理得，所以，即，又因?yàn)?，，所以?（2）設(shè)邊上的高為，條件①：因?yàn)?，所以，，所以，根?jù)三角形全等（角角邊）可知存在且唯一確定.所以，則，解得，即邊上的高為.條件②：由余弦定理得，即，解得，此時(shí)滿(mǎn)足條件的的三角形有兩個(gè)，條件②不符合題意.條件③：根據(jù)三角形全等（邊角邊）可得存在且唯一確定，由余弦定理得，即，解得，則，解得，即邊上的高為.21．如圖，四棱錐中，平面，梯形滿(mǎn)足，，且，，為中點(diǎn)，，.(1)求證：，，，四點(diǎn)共面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到，，，令，依題意得到方程組，解得、，即可得證；（2）利用空間向量法求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；【詳解】（1）證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量??方向分別為??軸的正方向建立坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，因?yàn)?，設(shè)，則，所以，解得，所以，同理可得，∴，，，令，則，∴，