五年級(jí)奧數(shù)：帶余數(shù)的除法前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題?除此之外，例如:16-3-5-1,即16二5X3+1』匕時(shí)，被除數(shù)除以除數(shù)岀現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)的除法°一般地，如果過是整數(shù)b是整數(shù)(b^O),那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和t,0Cr<b,使得a二bXq+m當(dāng)尸0時(shí)，我們稱迅能被b整除。當(dāng)詳0時(shí)，我們稱耳不能被b整除，t為躲以b的余數(shù)，Q為濟(jì)以b的不完全商(亦簡(jiǎn)稱為商)-用帶余除式又可以表示為自斗b=q…斗0<r<K例1一個(gè)兩位數(shù)去除251,得到的余數(shù)是41?求這個(gè)兩位數(shù)舟分析這是一道帶余除法題，且要求的數(shù)是大于41的兩位數(shù)■解題可從帶余除式入手分析?解：丁被除數(shù)+除數(shù)二商…余數(shù)，即被除數(shù)二除數(shù)X商+余數(shù)，.'*251=除數(shù)X商+41,251-41=除數(shù)X商，■\210=除數(shù)X商。-'210=2X3X5X7,A210的兩位數(shù)的約數(shù)有ICk14、15.21.30、35、4厶70,其中42^070大于余數(shù)41.所以除數(shù)是毀或也■即要求的兩位數(shù)是匹或佩例2用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)熬數(shù)，商40,余數(shù)是16■被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)與余數(shù)的和是933,求被除數(shù)和除數(shù)各是多少？解’丁被除數(shù)二除數(shù)X商+余數(shù)，即被除數(shù)二除數(shù)X40+16o由題意可知：被除數(shù)+除數(shù)=933-40-16=877,???（除數(shù)X40+16）+除數(shù)=877,???除數(shù)X41=877-16,除數(shù)=861+41,除數(shù)二21,???被除數(shù)二21X40+16二856。答：被除數(shù)是856,除數(shù)是21。例3某年的十月里有5個(gè)星期六，4個(gè)星期日，問這年的10月1日是星期幾?解：十月份共有31天，每周共有了天，V31=7X4+3,???根據(jù)題意可知：有5天的星期數(shù)必然是星期四、星期五和星期六。???這年的10月1日是星期四。例43月18日是星期日，從3月17日作為第一天尸始往回?cái)?shù)（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星鬆?zhēng)?？解：每周?天，1993-7=284（周）???5（天）,從星期日往回?cái)?shù)5天是星期二，所以第1993天必是星期二.例5—個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,求適合此條件的最小數(shù)。這是一道古算題?它早在《孫子算經(jīng)》中記有：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”關(guān)于這道題的解法，在明朝就流傳著一首解題之歌：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五使得知.”意思是，用除以3的余數(shù)乘以70,用除以5的余數(shù)乘以21,用除以7的余數(shù)乘以15,再把三個(gè)乘積相加?如果這三個(gè)數(shù)的和大于105,那么就減去105,直至小于105為止.這樣就可以得到滿足條件的解.其魁方法1：2X70+3X21+2X15=233233-105X2=23符合條件的最小自然數(shù)是23。例5的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解：方法2：[3,7]+2=2323除以5恰好余3。所以，符合條件的最小自然數(shù)是23。方法2的思路是什么呢？讓我們?cè)賮砜聪旅鎯傻览}。例6—個(gè)數(shù)除以5余3,除以6余4,除以7余1,求適合條件的最小的自然數(shù)。分析"除以5余3”即“加2后被5整除"，同樣“除以6余4”即"加2后被6整除”。解：[5,6]-2=28,即28適合前兩個(gè)條件。想：28+[5,6]X?之后能滿足“7除余1”的條件？28+[5,61X4=14&148=21X7+1,又148<210=r5?6,71所以，適合條件的最小的自然數(shù)是148。例7—個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合條件的最小自然數(shù)。解：想：2+3X?之后能滿足“滁余3”的條件？2+3X2二8。再想：8+[3,5]X?之后能滿足“7除余4”的條件？8+[3,5]X3二53。???符合條件的最小的自然數(shù)是53。歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法?當(dāng)找到滿足某個(gè)條件的數(shù)后，為了再滿足另一個(gè)條件，需做數(shù)的調(diào)整，調(diào)整時(shí)注意要加上己滿足條件中除數(shù)的倍數(shù)。解這類題目還有其他方法，將會(huì)在有關(guān)''同余”部分講到。例8—個(gè)布袋中裝有小球若干個(gè).如果每次取3個(gè)，最后剩1個(gè)；如果每次取5個(gè)或7個(gè)，最后都剩2個(gè)?布袋中至少有小球多少個(gè)？解：2+[5,7]X1=37（個(gè)）丁37除以3余1,除以5余2,除以7余2,???布袋中至少有小球37個(gè)。例969、90和125被某個(gè)正整數(shù)疇時(shí)，余數(shù)相同，試求N的最大值。分析在解答此題之前，我們先來看下面的例子：1滁以2余1,1滁以2余1,即15和19被滁余數(shù)相同（余數(shù)都是1）。但是19-15能被2整除.由此我們可以得到這樣的結(jié)論：如果兩個(gè)整數(shù)嶄吒，均被自然數(shù)礫，余數(shù)相同，那么這兩個(gè)整數(shù)之差（大-?。┮欢鼙籱整除。反之，如杲兩個(gè)整數(shù)之差恰被m整除，那么這兩個(gè)整數(shù)被礫的余數(shù)一定相同。例9可做如下解答：???三個(gè)整數(shù)被礫余數(shù)相同，A