斜槽異步電機(jī)三維有限元分析

1維有限元方法的應(yīng)用對(duì)于直步異步電機(jī)，二維漩渦場(chǎng)步行時(shí)間的推移是有限的，電動(dòng)汽車的方程是連接到外部電路方程和旋轉(zhuǎn)平衡的方程的。在有限網(wǎng)格旋轉(zhuǎn)技術(shù)的幫助下，可以直接考慮矩陣中的非線性特征、環(huán)境效益和轉(zhuǎn)子的實(shí)際旋轉(zhuǎn)。但是,幾乎所有在實(shí)際應(yīng)用中的異步電機(jī)的轉(zhuǎn)子都采用斜槽的方式。斜槽后定子和轉(zhuǎn)子沿軸向各橫截面相對(duì)位置不一樣,使得各橫截面電磁場(chǎng)的分布情況不一樣,二維有限元方法不能直接應(yīng)用。然而,同三維場(chǎng)方法相比,由于二維場(chǎng)網(wǎng)格剖分簡(jiǎn)單和計(jì)算時(shí)間少的優(yōu)點(diǎn),在實(shí)際應(yīng)用中仍十分希望能把模型簡(jiǎn)化成二維的情況。斜槽異步電機(jī)的多截面法把電機(jī)沿著軸向分成若干段,每一段可近似為一直槽電機(jī)。再利用二維橫截面電磁場(chǎng)有限元來(lái)進(jìn)行分析。為了保證流過(guò)每段導(dǎo)條中的電流相等,需要把各橫截面的電磁場(chǎng)方程聯(lián)立求解。這樣的嘗試至今仍未見(jiàn)在國(guó)內(nèi)外報(bào)道過(guò)。另一種方法是采用電機(jī)的電路模型來(lái)代替實(shí)際的渦流電磁場(chǎng)模型,電磁場(chǎng)計(jì)算僅為電路模型提供參數(shù)。這樣各橫截面的電磁場(chǎng)可分別求解。其缺點(diǎn)是渦流效應(yīng)不能直接包含在場(chǎng)的方程中。特別是在電機(jī)的起動(dòng)計(jì)算中,仍需采用傳統(tǒng)的集膚效應(yīng)系數(shù)的方法,給計(jì)算帶來(lái)較大的誤差。本文提出了直接聯(lián)立求解多截面渦流電磁場(chǎng)方程的方法。該方法在數(shù)學(xué)模型中直接考慮了轉(zhuǎn)子斜槽,集膚效應(yīng),轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)和電磁量的非正弦性。當(dāng)加到電機(jī)的端電壓給出后,可直接計(jì)算出電機(jī)的電流和轉(zhuǎn)矩等。文中推導(dǎo)了多截面模型的數(shù)學(xué)方程,提出了網(wǎng)格生成的方法,以及軟件的結(jié)構(gòu)等。最后給出了兩臺(tái)相同規(guī)格11kW斜槽異步電動(dòng)機(jī)的計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。多截面模型中略去了轉(zhuǎn)子橫向電流的影響。在需要考慮轉(zhuǎn)子橫向電流引起的損耗時(shí),需采用三維場(chǎng)模型。該模型正在發(fā)展中,其研究成果將另文發(fā)表。2電機(jī)端部響應(yīng)特性首先引入以下假設(shè):(1)定子鐵心外表面和轉(zhuǎn)子鐵心內(nèi)表面無(wú)漏磁。(2)由于鐵心由硅鋼片疊壓而成,在有限元模型中鐵心中的渦流忽略不計(jì)。(3)電機(jī)的端部效應(yīng)采用把電路方程耦合到有限元方程中去的方法處理。(4)電機(jī)在軸向被看作由若干段直槽電機(jī)組成。在每一段中磁場(chǎng)垂直電機(jī)軸向,矢量磁位只有軸向分量。所以每一段的電磁場(chǎng)可簡(jiǎn)化為二維的情況。每段之間的電磁關(guān)系通過(guò)同槽的電流相等聯(lián)系在一起。根據(jù)上述假設(shè),從麥克斯韋方程組可得到求解區(qū)域的電磁場(chǎng)基本方程??x(ν?A?x)+??y(ν?A?y)=-j(1)式中A——矢量磁位的軸向分量ν——材料的磁阻率j——總電流密度2.1在空氣和鐵磁性區(qū)域j=0(2)2.2轉(zhuǎn)子端部變換的電路方程因?yàn)楦袘?yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為-?A/?t,在等k段導(dǎo)條兩端的感應(yīng)電勢(shì)為E(k)=-l(k)?A(k)?t(3)式中l(wèi)(k)——第k段的軸向長(zhǎng)度在第k段導(dǎo)條中的總電流密度j(k)(參考方向見(jiàn)圖1a)為j(k)=σl(k)[-u(k)+E(k)]=-σl(k)[u(k)+l(k)?A(k)?t](4)式中u(k)——第k段導(dǎo)條兩端的電位差σ——材料的電導(dǎo)率σl(k)E(k)——感應(yīng)的渦流電流密度把電流密度j(k)沿導(dǎo)條橫截面積分,得i(k)=-σl(k)[Su(k)+?Ωl(k)?A(k)?tdΩ](5)式中i(k)——導(dǎo)條中的總電流S——轉(zhuǎn)子導(dǎo)條的橫截面面積S=?ΩdΩ把式(5)中的l(k)移到公式的左邊,取k=1,2,…,M(這里M是電機(jī)軸向段數(shù)),然后把這M個(gè)方程相加,可得Μ∑m=1l(m)i(m)=-σ[SΜ∑m=1u(m)+Μ∑m=1?Ωl(m)?A(m)?tdΩ](6)根據(jù)第4條假設(shè),轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電流i=i(1)=i(2)=?=i(Μ)(7)把式(6)中的i(m)用i代替,可得i=-σl(Su+Μ∑m=1?Ωl(m)?A(m)?tdΩ)(8)式中l(wèi)——導(dǎo)條的軸向長(zhǎng)度u——導(dǎo)條兩端的電位差u=Μ∑m=1u(m)因?yàn)槭?5)的右邊項(xiàng)與式(8)相同,可得u(k)=l(k)lu+l(k)lSΜ∑m=1?Ωl(m)?A(m)?tdΩ-1S?Ωl(k)?A(k)?tdΩ(9)把式(9)代入式(4),可得j(k)=-[σlu+σ?A(k)?t+σlSΜ∑m=1?Ωl(m)?A(m)?tdΩ-σS?Ω?A(k)?tdΩ](10)把式(10)代入式(1),注意到j(luò)(k)和A(k)可以簡(jiǎn)寫為j和A,可得轉(zhuǎn)子導(dǎo)條區(qū)域的電磁場(chǎng)方程??x(ν?A?x)+??y(ν?A?y)=σlu+σ?A?t+σ?A?t+σlSΜ∑m=1?Ωl(m)?A(m)?tdΩ-σS?Ω?A(m)?tdΩ(11)i和u的另一個(gè)關(guān)系可通過(guò)轉(zhuǎn)子端部繞組的電路方程獲得。由于各轉(zhuǎn)子導(dǎo)條通過(guò)端環(huán)連接在一起,它們的關(guān)系必須用矩陣方程表示[u]=[Ζ][i](12)式中[u],[i]——一列矩陣,其中每一元素表示每根導(dǎo)條二端的電位差和導(dǎo)條中的電流[Z]——轉(zhuǎn)子端部網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣方程(8)、(11)、(12)組成了轉(zhuǎn)子導(dǎo)條區(qū)域的基本方程,其中u可首先從方程組中消去。2.3電機(jī)軸向均勻分段運(yùn)動(dòng)方程的建立由于定子繞組用漆包線繞制而成,可認(rèn)為電流密度j沿導(dǎo)體的橫截面均勻布。一相的定子繞組電路如圖1b所示。為了和轉(zhuǎn)子方程保持一致,電流i的參考方向與電勢(shì)的參考方向一致。設(shè)每相定子繞組有w匝串聯(lián)而成,每匝導(dǎo)體一邊的橫截面積分別為S1,S2…,Sw,另一邊的橫截面積分別為Sw+1,Sw+2,…S2w,且每匝導(dǎo)體單邊橫截面積均為S,定子相繞組的電路方程為Vs=u-Rσi-Lσdidt(13)u=E-Ri(14)式中Vs——外施電壓i——相電流Rσ,Lσ——端部繞組的電阻和電感u——每相定子繞組直線部分兩端電勢(shì)差之和R——每相定子繞組直線部分電阻每相的感應(yīng)電勢(shì)為E=-1S∑m=1Μl(m)[?S1(m)?A?tdΩ+?S2(m)?A?tdΩ+?+?Sw(m)?A?tdΩ-(?Sw+1(m)?A?tdΩ+?Sw+2(m)?A?tdΩ+?+?S2w(m)?A?tdΩ)]=-1S∑m=1Μl(m)(?Ω+(m)?A?tdΩ-?Ω-(m)?A?tdΩ)(15)式中Ω(m)+=S1(m)+S2(m)+…+S(m)wΩ(m)-=Sw+1(m)+Sw+2(m)+…+S2w(m)把式(15)代入式(14),并注意到R=2wl/σS及每相的總導(dǎo)體面積Ω(m)=Ω(m)++Ω(m)-=2wS,可得i=-σ2wl[Su+∑m=1Μl(m)(?Ω+(m)?A?tdΩ-?Ω-(m)?A?tdΩ)](16)注意到j(luò)=i/S,式(1)成為??x(ν?A?x)+??y(ν?A?y)=-σ2wl[u+1S∑m=1Μl(m)(?Ω+(m)?A?tdΩ-?Ω-(m)?A?tdΩ)](17)把式(13)代入式(16),得i=-σ2wl[S(Vs+Rσi+Lσdidt)+∑m=1Μl(m)(?Ω+(m)?A?tdΩ-?Ω-(m)?A?tdΩ)](18)式(17)和(18)組成了定子導(dǎo)體區(qū)域的基本方程。假如對(duì)電機(jī)軸向采用均勻分段的方法,即l(1)=l(2)=?=l(Μ)=lΜ,在式(8)、(16)、(17)和(18)中1l∑m=1Μl(m)?A(m)?t可簡(jiǎn)化為1Μ∑m=1Μ?A(m)?t電機(jī)的轉(zhuǎn)矩平衡方程為Jmdωdt=Τe-Τf(19)式中Jm——電機(jī)及負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ω——電機(jī)的角速度Te——電磁轉(zhuǎn)矩Tf——負(fù)載轉(zhuǎn)矩電磁轉(zhuǎn)矩采用麥克斯韋應(yīng)力的方法計(jì)算。根據(jù)有限元離散方法,把電磁場(chǎng)方程,電路方程和轉(zhuǎn)矩方程式耦合在一起,求解電機(jī)的運(yùn)行特性問(wèn)題可歸結(jié)為求解下面的非線性代數(shù)方程組[ΚC][Aiω]+[QR][?A/?t?i/?t?ω/?t]=[Ρ](20)式中[A],[i],ω——待求解的矢量磁位、電流和電機(jī)角速度[K][C][Q][R]——系數(shù)矩陣[P]——與輸入電壓有關(guān)的列矢量3轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)、橫截面的網(wǎng)格式(20)需采用時(shí)步法求解,這要求有限元網(wǎng)格的轉(zhuǎn)子部分能隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)。同時(shí),又要求在一個(gè)橫截面的網(wǎng)格生成后又能很容易地生成其他橫截面的網(wǎng)格。本文提出的方法在定、轉(zhuǎn)子基本網(wǎng)格形成后可很容易對(duì)轉(zhuǎn)子網(wǎng)格旋轉(zhuǎn),步驟簡(jiǎn)單不易出錯(cuò),無(wú)需顯著增加計(jì)算機(jī)時(shí)間。3.1解區(qū)域劃分成雙部分首先生成電機(jī)第一段上橫截面的基本網(wǎng)格。從氣隙處把求解區(qū)域劃分成二個(gè)部分:定子部分和轉(zhuǎn)子部分,每部分包括氣隙的一部分。二部分的網(wǎng)格分別生成。每一基本網(wǎng)格可采用消去節(jié)點(diǎn)算法和網(wǎng)格自動(dòng)加密的方法自動(dòng)生成。3.2轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子網(wǎng)格的改變定子內(nèi)表面節(jié)點(diǎn)上和轉(zhuǎn)子外表面節(jié)點(diǎn)上的磁位量通過(guò)周期邊界條件聯(lián)系起來(lái)。也就是說(shuō),當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),轉(zhuǎn)子網(wǎng)格的形狀保持不變,只是轉(zhuǎn)子節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)和周期邊界條件發(fā)生改變(圖2)。這樣,定子網(wǎng)格和轉(zhuǎn)子網(wǎng)格只需生成一次。由于網(wǎng)格的形狀可以保持不變,由網(wǎng)格形狀變化所引起的噪聲也不會(huì)產(chǎn)生。3.3斜槽的原因其他段橫截面和第一段橫截面幾何上的區(qū)別僅在于由于斜槽的原因,其他段橫截面的轉(zhuǎn)子部分將轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)很小的角度。所以,只要把第一段的轉(zhuǎn)子網(wǎng)格轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)很小的角度,就可得到其他段上的網(wǎng)格(圖2)。3.4網(wǎng)格的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)一段接一段地對(duì)各段網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn),單元進(jìn)行重新連續(xù)編號(hào)。網(wǎng)格的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)仍是二維的。除了在多截面法中引入的段與段之間的關(guān)系外,時(shí)步法有限元的算法同一般的方法基本上是一樣的。3.5網(wǎng)格劃分的統(tǒng)計(jì)當(dāng)計(jì)算結(jié)束時(shí),需要觀察各橫截面上磁場(chǎng)的分布情況。按照網(wǎng)格連接的逆過(guò)程,連接起來(lái)的網(wǎng)格又可以分解成每一段的網(wǎng)格數(shù)據(jù)。這樣,每一段橫截面上的磁力線就很容易繪制。4非線性系統(tǒng)方程的求解對(duì)時(shí)間的離散采用向后歐拉差分格式。在穩(wěn)態(tài)問(wèn)題的計(jì)算中,有限元在復(fù)數(shù)域的解用來(lái)作為時(shí)步法的初值A(chǔ)(0)和i(0)。本文對(duì)非線性系統(tǒng)方程組的求解采用牛頓-拉夫遜法,對(duì)線性方程組的求解采用預(yù)條件Cholesky-共軛斜量法。因?yàn)楦鶕?jù)上一步的解很容易估計(jì)出下一步的初值,從而可減少迭代的次數(shù)。另一方面,由于在迭代法中對(duì)系數(shù)矩陣只需存儲(chǔ)非零元素,可節(jié)約計(jì)算機(jī)的內(nèi)存。所以在時(shí)步法有限元中,采用迭代法是比較合適的。5數(shù)據(jù)文件間的熱鍵中斷問(wèn)題軟件由四個(gè)工作模塊組成(圖3)。各模塊由一個(gè)用C寫成的主模塊控制。各模塊之間通過(guò)數(shù)據(jù)文件進(jìn)行數(shù)據(jù)傳遞。若計(jì)算機(jī)有別的用途,計(jì)算可隨時(shí)通過(guò)熱鍵中斷,以后可在中斷處重新起動(dòng)。這個(gè)方法使得計(jì)算機(jī)可得到充分的利用。有限元程序用LaheyFortran90寫成,編譯后的執(zhí)行程序能自動(dòng)檢測(cè)并利用計(jì)算機(jī)的擴(kuò)展內(nèi)存。6電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速測(cè)試結(jié)果文中提出的方法已用來(lái)計(jì)算一臺(tái)實(shí)際的斜槽異步電動(dòng)機(jī)(11kW,380V,50Hz,Δ連結(jié),4極,定子48槽,轉(zhuǎn)子44槽,轉(zhuǎn)子導(dǎo)條斜1.2轉(zhuǎn)子齒距)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行和起動(dòng)過(guò)程。軟件在586/90MHz個(gè)人計(jì)算機(jī)上運(yùn)行。時(shí)步法的時(shí)間步長(zhǎng)為0.039ms。電機(jī)在額定負(fù)載運(yùn)行情況下轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)30°后計(jì)算所得的磁力線分布如圖4所示。采用不同軸向分段數(shù)時(shí)計(jì)算所得的定子相電流波形如圖5所示。通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的定子相電流波形如圖6所示。每步的平均計(jì)算時(shí)間和與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較的誤差如表1所示。其中誤差由下式定義ε=∑k=1,3,5,?65|Ιtest(k)-Ιcompu(k)|/∑k=1,3,5,?65(Ι(k)test)2(21)式中I(k)test——通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的第k次諧波電流的幅值I(k)compu——通過(guò)計(jì)算得到的幅值從圖5、圖6和表1可以看到:①若用直槽模型來(lái)計(jì)算斜槽電機(jī),將