第七章靜態(tài)動(dòng)態(tài)測試數(shù)據(jù)處理第1頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

第一節(jié)靜態(tài)測試數(shù)據(jù)處理

一、試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法

1.表格法——用表格來表示函數(shù)的方法。

特點(diǎn)：簡單方便，但不能給出所有的函數(shù)關(guān)系，不易看出函數(shù)的變化規(guī)律。

2.圖示法——根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果作出的盡可能反映真實(shí)情況的曲線。

特點(diǎn)：直觀看出函數(shù)變化規(guī)律，但圖示僅有函數(shù)變化關(guān)系而不能進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。

3.經(jīng)驗(yàn)公式法——用回歸分析的方法確定經(jīng)驗(yàn)公式的函數(shù)類型及其參數(shù)的方法。

特點(diǎn)：可對公式進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。第2頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

二、回歸分析與曲線擬合

為了便于用數(shù)學(xué)方法研究汽車試驗(yàn)中各被測量之間的規(guī)律，在靜態(tài)測量數(shù)據(jù)處理中，尋求用簡便的經(jīng)驗(yàn)公式表達(dá)各變量之間的關(guān)系是很重要的。根據(jù)最小二乘法原理確定經(jīng)驗(yàn)公式的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法稱為回歸分析。處理兩個(gè)變量之間的關(guān)系稱為一元回歸分析。第3頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月1.一元線性回歸分析

如果對兩個(gè)變量x和y分別進(jìn)行了n次測定，得到n對測定值（，），(i＝1，2，…，n)，將其描在直角坐標(biāo)圖上，就得到n個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)。若各點(diǎn)都分布在一條直線附近，則可用一條直線來代表變量x與之間的關(guān)系。

式中：—回歸直線上的理論計(jì)算值；

a,b—線性回歸系數(shù)。第4頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月用實(shí)例介紹一元線性回歸分析的方法和步驟例：某車輛在水平道路上行駛，測得車輛行駛的距離和時(shí)間的數(shù)值如表7-1所示。求距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。表7-1

解：1）回歸方程的確定將表7-1中的數(shù)據(jù)畫在坐標(biāo)紙上,如圖7-1所示。

圖7-1某車行駛時(shí)時(shí)間─距離關(guān)系距離(m)700900116011901270149016202130時(shí)間(s)3.84.24.74.84.95.45.65.7第5頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

從圖7-1看出，這些點(diǎn)近似于一條直線，于是可以利用一條直線來代表變量之間的關(guān)系

式中：—公式中算出的值；x—距離L的值；

a,b—線性回歸系數(shù)。

2）確定函數(shù)中的各參數(shù)用這條直線算出的值，代表測定數(shù)據(jù)的平均值，實(shí)測值與平均值之差代表殘差，殘差值越小說明回歸直線越接近理想直線。因此確定回歸直線的原則是找出一條直線使其與實(shí)測數(shù)據(jù)之間的誤差比任何其他直線與實(shí)測數(shù)據(jù)之間的誤差都小，即殘差的平方和最小，這就是最小二乘法的基本思想。記第6頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

回歸方程的確定就是確定系數(shù)a、b，據(jù)《數(shù)學(xué)分析》知，使Q取最小的a、b必須滿足如下方程組：

即

第7頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月解得：

或

式中：

第8頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月3）對曲線擬合所得經(jīng)驗(yàn)公式的精度進(jìn)行檢驗(yàn)

盡管最小二乘法反映的是誤差最小原則，但所求得的經(jīng)驗(yàn)公式的精度并非一定可以滿足要求。因?yàn)椋汕懊娴姆治鲞^程不難看出，前面計(jì)算中的誤差最小只是測試結(jié)果與我們所選定曲線類型之間的誤差最小，或許實(shí)測結(jié)果的規(guī)律原本就與選定曲線的類型不符。我們需對曲線擬合的精度進(jìn)行檢驗(yàn)。關(guān)于“精度”檢驗(yàn)，人們提出過多種方法，在此僅介紹一種在工程上最常用的方法，即相對誤差法。所謂“精度”，事實(shí)上就是相對誤差的大小。若能將經(jīng)驗(yàn)公式的檢測結(jié)果與實(shí)測值之間的相對誤差控制在要求的范圍內(nèi)，顯然是符合工程上的要求的，即：

式中：—允許的相對誤差。第9頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.一元非線性回歸一元線性回歸是工程實(shí)際中最簡單的一種形式，但更多的是一些非線性的問題。下面介紹如何利用線性回歸方法解決非線性問題。

1）確定經(jīng)驗(yàn)公式類型將測試結(jié)果描在坐標(biāo)圖上，并用光滑曲線將其連起來。江實(shí)驗(yàn)曲線與《數(shù)學(xué)手冊》上的典型曲線進(jìn)行比較，選取與試驗(yàn)曲線最接近的曲線方程作為經(jīng)驗(yàn)公式的類型。

2）將曲線進(jìn)行直線化變換如：①雙曲線方程

令

則：變?yōu)椋旱?0頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

②對數(shù)曲線令：則：③指數(shù)曲線對上式兩邊取對數(shù)得：令：，則：

3）按照前面所介紹的直線（一元線性）擬合的方法進(jìn)行計(jì)算。

4）檢驗(yàn)其曲線擬合的精度，若達(dá)不到所需精度的要求，則應(yīng)重新選擇曲線類型進(jìn)行擬合，直至滿足精度要求為止。

5）再將直線方程變換為原曲線方程。第11頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

a)雙曲線b)指數(shù)曲線c)冪函數(shù)曲線d)對數(shù)曲線e)指數(shù)曲線f)S型曲線

圖7-2幾種常見的典型函數(shù)曲線第12頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月3.將試驗(yàn)結(jié)果擬合成多項(xiàng)式前面所講的典型曲線往往是有限的，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果與任何一條典型曲線都不相符時(shí)，就要尋找新的曲線，顯然那就是多項(xiàng)式。

1）多項(xiàng)式次數(shù)的確定多項(xiàng)式次數(shù)的確定一般采用差分法。設(shè)自變量的取值是等間距的，即：計(jì)算出因變量的相鄰值之間的差值，即一階差值，，，二階差值為，，三階差值為，，

n階差值為，，第13頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)某階差值滿足下列關(guān)系式時(shí)，

式中：δy

—y的測量誤差。

2）確定多項(xiàng)式的系數(shù)同樣用最小二乘法，即：

令，，，，即可求出a0，a1，…，am的數(shù)值第14頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月

3）經(jīng)驗(yàn)公式精度的檢驗(yàn)多項(xiàng)式的曲線擬合，其擬合精度的檢驗(yàn)方法與一元線性回歸相同。

第15頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)動(dòng)態(tài)測試數(shù)據(jù)處理一、動(dòng)態(tài)測試數(shù)據(jù)處理概述1）動(dòng)態(tài)測試與靜態(tài)測試靜態(tài)測試：被測量靜止不變測量誤差基本相互獨(dú)立動(dòng)態(tài)測試：被測量隨時(shí)間或空間而變化測量系統(tǒng)處于動(dòng)態(tài)情況下測量誤差具有相關(guān)性2）動(dòng)態(tài)測量誤差特點(diǎn)時(shí)空性；隨機(jī)性；相關(guān)性；動(dòng)態(tài)性1.動(dòng)態(tài)測試第16頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月2.動(dòng)態(tài)測試數(shù)據(jù)的分類確定性數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)測試數(shù)據(jù)隨機(jī)過程數(shù)據(jù)周期數(shù)據(jù)非周期數(shù)據(jù)非平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程正弦周期復(fù)雜周期準(zhǔn)周期各態(tài)歷經(jīng)瞬態(tài)數(shù)據(jù)非各態(tài)歷經(jīng)第17頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月確定性數(shù)據(jù)：能夠用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)１）周期數(shù)據(jù)①正弦周期數(shù)據(jù)②復(fù)雜周期數(shù)據(jù)0000第18頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月２）非周期數(shù)據(jù)①準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)0（不全為有理數(shù)）②瞬態(tài)數(shù)據(jù)0第19頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月二、時(shí)域內(nèi)研究隨機(jī)變量之間的關(guān)系1.兩隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)兩變量x,y之間的相關(guān)程度：相關(guān)系數(shù)分析兩個(gè)信號或一個(gè)信號在一定時(shí)移前后之間的關(guān)系±表示一變量隨另一變量的增加而增或減。第20頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月2.信號的自相關(guān)函數(shù)對各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號及功率信號定義自相關(guān)函數(shù)第21頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：1）

2）

自相關(guān)函數(shù)在時(shí)為最大值：3）當(dāng)4）自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)

第22頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月5）周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù),其幅值與原周期信號的幅值有關(guān),而丟失了原信號的相位信息.第23頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月例7-1求正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù).為一隨機(jī)變量.解:在一個(gè)周期內(nèi)來研究第24頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月可見:正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)余弦函數(shù),在時(shí)具有最大值,但它不隨的增加而而衰減至零.它保留了原正弦信號的幅值和頻率信息,而丟失了初始相位信息.

自相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用:

1)信號類型的判別

2)實(shí)際分析中的應(yīng)用

第25頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月3.信號的互相關(guān)函數(shù)兩個(gè)各態(tài)歷經(jīng)過程的隨機(jī)信號x(t)和y(t)的互相關(guān)函數(shù)：的性質(zhì)：第27頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月1）2）同頻相關(guān)，不同頻不相關(guān)3）互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)；x(t)和y(t)之間的滯后時(shí)間當(dāng)時(shí)移足夠大或時(shí),x(t)和y(t)互不相關(guān),第28頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)過程是平穩(wěn)的,在t時(shí)刻從樣本計(jì)算的互相關(guān)函數(shù)應(yīng)和時(shí)刻從樣本采樣計(jì)算的互相關(guān)函數(shù)是一致的,即:為非偶函數(shù)的證明：第29頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月)()()(0)()sin()()sin()()()(2700tjqjqwqwxyRtytxttxtytytxtxtytx求其互相關(guān)函數(shù)的相位差；與時(shí)刻的相位角；相對于和設(shè)有兩個(gè)周期信號例--=---+=+=-第30頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月解：因?yàn)槭侵芷诤瘮?shù)，可以用一個(gè)共同周期內(nèi)的平均值代替其整個(gè)歷程的平均值，

故：

可見:兩個(gè)均值為零且具有相同頻率的周