徑向基函數(shù)求解偏微分方程的方法

徑向函數(shù)插值法是理論中的一個(gè)廉價(jià)工具。這是一種簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)插值方法。它具有計(jì)算格式簡(jiǎn)單、節(jié)點(diǎn)配置靈活、計(jì)算工作量小、精度相對(duì)較高的優(yōu)點(diǎn)。越來(lái)越受到重視。它的應(yīng)用領(lǐng)域是不斷擴(kuò)大的，也是解決偏差分量的有效方法。1d-aj對(duì)于f(x)∈C[a,b],x1,x2,…,xN∈[a,b]為互不相同的點(diǎn),FQ是一個(gè)由徑向基函數(shù)Φ1,Φ2,…,ΦN生成的函數(shù)空間,記為FΦ=span{Φ1,Φ2,…,ΦN},求f(x)在FΦ中的插值逼近:Sf(x)=Ν∑j=1ajΦj(x)∈FΦ使Sf(x)滿足:Sf(x)=f(xk)(k=1,2,…,N),設(shè)Φ(x)=?(‖x‖),則Φj(x)=Φ(x-xj)=?(|x-xj|)(j=1,2,?,Ν),那么FΦ={?(|x-x1|),?(|x-x2|),?,?(|x-xΝ|)},記A={Φj(xk)}(N×N,α=(a1,a2,…,aN)T,f=(f(x1),f(x2),…,f(xN))T,則插值用徑向基函數(shù)方法求解偏微分方程·設(shè)在二維區(qū)域上有一偏微分方程Lu=f(x,y),(x,y)∈Ωu=g(x,y),(x,y)∈?Ω?u?n=h(x,y),(x,y)∈?Ω}(1)依RBF方法,其近似解可表示為uΝ(X,Y)=ΝΙ-Νd-Νa∑j=1uj?(rj)(2)其中,uj為待定系數(shù);?(rj)為徑向基函數(shù),rj是點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(xj,yj)距離的范數(shù),即rj=|(x,y)-(xj,yj)|,二維域時(shí)rj=√(x-xj)2+(y-yj)2;N為自然數(shù),{(xj,yj)}ΝΙ1表示為區(qū)域Ω內(nèi)部的插值點(diǎn),{(xj,yj)}NI/NdNI/I和{(xj,yj)}NI/Nd/NaNI/Nd/I分別為本質(zhì)邊界條件和自然邊界條件上的插值點(diǎn)·如果這兩類邊界是重合的,也可以選取不同的點(diǎn)分別作為各自的離散點(diǎn)·將式(2)代入式(1)得Ν∑j=1(L?)(|(xi,yi)-(xj,yj)|)uj=f(xj,yj)i=1,2,?,ΝΙΝ∑j=1?(|(xi,yi)-(xj,yj)|uj)=g(xj,yj)i=ΝΙ+1,ΝΙ+2,?,ΝΙ+ΝdΝ∑j=1???n(=(xi,yi)-(xj,yj)=uj=h(xj,yj)i=ΝΙ+Νd+1,?,Ν}(3)這樣可以得到待定系數(shù){uj}Nj=1(N=NI+Nd+Na為所有的離散點(diǎn)數(shù))·目前徑向基函數(shù)的類型有:Gauss分布函數(shù)?(r)=e-c2r2、Multi-Quadric函數(shù)?(r)=(c2+r2)β(其中β是正的實(shí)數(shù))、逆Multi-Quadric函數(shù)?(r)=(c2+r2)-β(其中β是正的實(shí)數(shù))等·下面討論徑向基函數(shù)插值的唯一可解性·定義1設(shè)函數(shù)Φ:Rn→R,若對(duì)所有由互不相同元素xj組成的集合X={x1,x2,…,xN}?Rn及所有的α∈Rn/{0}滿足(ⅰ)Ν∑j=1αjxpj=0(|p|)＜m,m＞0,p∈Νn0)(ⅱ)Ν∑j,k=1αjαkΦ(xj-xk)＞0則稱函數(shù)Φ為m階條件正定的,零階條件正定的函數(shù)稱為正定義的函數(shù)·事實(shí)上,正定義的概念有另一種表達(dá)式·定義2設(shè)函數(shù)Φ:Rn→R,若Φ的Fourier變換F[Φ]∈L1(Rn),且?guī)缀跆幪幱蠪[Φ]>0,則稱函數(shù)Φ是正定義的定理1若Φ(x)是正定義的,則-Φ*(x)是正定義的證明F[-Φ*]=-(iω)2F[Φ]=ω2F[Φ]>0定理2設(shè)徑向基函數(shù)Φ(x)是正定義的,則矩陣A={Φj(xk)}N×N是對(duì)稱正定矩陣,此時(shí)插值問(wèn)題唯一可解·證明由Φ的定義可知A是對(duì)稱的,?c≠0∈RN,有(Ac,c)=Ν∑j=1Ν∑k=1cjckΦj(xk)=Ν∑j=1Ν∑k=1cjck?(|xk-xj|)={-Φ(2)j(xk)}Ν×ΝΝ∑j=1Ν∑k=1cjck(12π)n×+∞∫-∞F[Φ]ei?ω,xk-xj?dω=(12π)n+∞∫-∞F[Φ]|c(ω)|2dω＞0,其中,c(ω)=Ν∑j=1cjei?ω,xj?所以A是正定的,從而A是對(duì)稱正定的,由于f(xk)=Ν∑j=1ajΦj(k=1,2,?,Ν)寫(xiě)成向量形式為Aα=f,由A的性質(zhì)可知α=A-1f,從而可唯一確定出Sf=Ν∑j=1ajΦj即插值問(wèn)題(1)唯一可解,由定理1,定理2,可直接得出下面推論·推論1B={-Φ(2)j(xk)}N×N為對(duì)稱正定矩陣·2x-關(guān)于4確定插值函數(shù)srx,y插值結(jié)論考慮二元函數(shù)z=sin(kxy),(-π2≤x,y≤π2)(x1,y1)=(-0.3,-0.5),(x2,y2)=(-0.5,0.7),(x3,y3)=(0.8,1),(x4,y4)=(1.5,1.5)處的函數(shù)值·結(jié)點(diǎn)值取為xi=-π2+π4i,i=1,?,4;yi=-π2+π4j,j=1,2,?,4[JX*4]?[JX-*4]考慮k=1及k=3兩種情形,再用徑向基函數(shù)方法計(jì)算插值函數(shù)SR(x,y)插值結(jié)點(diǎn)取法同上,可以得到表1、表2·采用徑向基函數(shù)方法時(shí),選用multiquadrics函數(shù),即?(r)=√r2+c(c＞0),經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明k=1時(shí),c取8結(jié)果最好;k=3時(shí),c取1結(jié)果最好·也就是說(shuō)采用同一徑向基函數(shù)方法參數(shù)不同精度也不一樣·再來(lái)看一下徑向基函數(shù)方法在偏微分方程中的應(yīng)用·考慮問(wèn)題?2u=2(x2+y2-2)Ω=(-1,1)×(-1,1)u|?Ω=0其方程的精確解為u=(1-x2)(1-y2)首先采用形函數(shù)作為基函數(shù),插值結(jié)點(diǎn)取為xi=-1+0.5i,i=0,1,?,4;yj=-1+0.5j,j=0.1,?,4,可以得到表3·采用徑向基函數(shù)?=1√r2+c在這次數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,參數(shù)c=8作為插值函數(shù)可以得到表4·很明顯采用徑向基函數(shù)作為基函數(shù)比用形函數(shù)作為基函數(shù)精度高,從表4采用徑向基函數(shù)求解偏微分方程絕對(duì)誤差相當(dāng)小,精確度也相當(dāng)高,但是徑向基函數(shù)?=1√r2+c中參數(shù)c的大小不同,其實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差大小有很大不同,經(jīng)大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,當(dāng)c=8時(shí)精度最高·3徑向基函數(shù)的應(yīng)用徑向基函數(shù)方法求解偏微分方程有許多優(yōu)點(diǎn),其優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需數(shù)值積分,是強(qiáng)形式的滿足;相對(duì)其他方法,求解思路直接,編程簡(jiǎn)單,可方便地應(yīng)用于微分方程邊值問(wèn)題的求解;如果選擇的徑向基函數(shù)及自由參數(shù)后,計(jì)算精度很高,但是由于它是一種新的方法,還有許多問(wèn)題有待于進(jìn)一步研究·徑向基函數(shù)的選取只能憑經(jīng)驗(yàn),而沒(méi)有系統(tǒng)的理論,而對(duì)徑向基函數(shù)的參數(shù)的選取,