專題26：筷子夾湯圓專題1．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對于任意的實(shí)數(shù)，都有；（Ⅲ）若方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求證：．【解析】（Ⅰ）由，可得．當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅱ）證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令函數(shù)，即，則．，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，對于任意實(shí)數(shù)，，即對任意實(shí)數(shù)，都有；（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，，設(shè)方程的根為，可得．在上單調(diào)遞減，又由（Ⅱ）知，因此．類似地，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，對于任意的，有，即．設(shè)方程的根為，可得，在上單調(diào)遞增，且，因此，由此可得．2．已知函數(shù)，．其中．．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對于任意的正實(shí)數(shù)，都有；（3）設(shè)，若關(guān)于的方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)根，，求證：．【解析】（1）由，可得，其中，且．下面分兩種情況討論：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，解得，或，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：遞減遞增遞減所以，在，上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；所以，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，即，則．由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以對應(yīng)任意的正實(shí)數(shù)，都有，即對于任意的正實(shí)數(shù)，都有．（3）證明：不妨設(shè)，由（2）知，設(shè)方程的根為，可得，由（Ⅱ）知，可得．類似地，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，當(dāng)，，即對于任意的，，設(shè)方程的根為，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，因此，由此可得：，因?yàn)?，所以，故：．則，所以當(dāng)時(shí)，即有．3．已知函數(shù)，，其中，且．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對于任意的正實(shí)數(shù)，都有；（Ⅲ）若關(guān)于的方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，求證：．【解析】（本題滿分為14分）（Ⅰ）由，可得，其中，且．下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，解得，或，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：所以，在，上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；所以，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（Ⅱ）證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，即，則．由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以對應(yīng)任意的正實(shí)數(shù)，都有，即對于任意的正實(shí)數(shù)，都有．（Ⅲ）證明：不妨設(shè)，由（Ⅱ）知，設(shè)方程的根為，可得，由（Ⅱ）知，可得．類似地，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，當(dāng)，，即對于任意的，，設(shè)方程的根為，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，因此，由此可得：，因?yàn)椋?，故：．所以：?．已知函數(shù)在點(diǎn)，處的切線方程為．（1）求，；（2）設(shè)曲線與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對于任意的實(shí)數(shù)，都有；（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：．【解析】（1）將代入切線方程中，有，所以，即，又，所以．若，則，與矛盾，故．（2）證明：由（1）可知，令，有或，故曲線與軸負(fù)半軸的唯一交點(diǎn)為．曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，令，則，所以，．當(dāng)時(shí)，若，，，若，，在時(shí)單調(diào)遞增，．故，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由知在時(shí)單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增．所以，即成立．（3）證明：，設(shè)的根為，則，又單調(diào)遞減，且，所以，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，有，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故．又，所以．5．已知函數(shù)．（1）求在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若，證明：在，上恒成立；（3）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：．【解析】（1）函數(shù)，由，由，，所以切線方程為，（2）當(dāng)，時(shí)，，所以．故只需證，構(gòu)造，，又在，上單調(diào)遞增，且（1），知在，上單調(diào)遞增，故（1）．因此，得證．（3）由（1）知在點(diǎn)，處的切線方程為．構(gòu)造，，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．設(shè)方程的根．又，由在上單調(diào)遞減，所以．另一方面，在點(diǎn)處的切線方程為．構(gòu)造．，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，（1），所在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以（1）．設(shè)方程的根．又，由在上單調(diào)遞增，所以．，，，所以，得證．6．已知函數(shù)，曲線在原點(diǎn)處的切線為．（1）證明：曲線與軸正半軸有交點(diǎn)；（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線為直線，求證：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；（3）若關(guān)于的方程為正實(shí)數(shù)）有不等實(shí)根，，求證：．【解析】證明：（1）因?yàn)椋梢阎茫?，解得，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，（2），所以，存在，使得．即曲線與軸正半軸有交點(diǎn)，；（2）曲線在點(diǎn)處的切線，令，，則，又當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以對任意實(shí)數(shù)都有，即對任意實(shí)數(shù)都有，故曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；（3）因?yàn)?，所以為減函數(shù)，設(shè)方程的根為，由（2）可知，所以記，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，所以，對任意的實(shí)數(shù)，都有，即設(shè)方程的根，則，所以于是，令，又，則，所以在，上為增函數(shù)，又，所以，，所以．7．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅲ）若方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求證：．【解析】（Ⅰ）由已知得：由得：又當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取得極大值，極大值為（1），無極小值．（3分）（Ⅱ）設(shè)，，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為：（6分）（Ⅲ）設(shè)，令即，則由于在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，，，即，都有；設(shè)方程的根為，．在單調(diào)遞減，且，設(shè)曲線在點(diǎn)原點(diǎn)處的切線方程為：，則易得，，有，即，設(shè)方程的根為，則，在單調(diào)遞增，且，，即．8．已知函數(shù)，是的極值點(diǎn)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線為直線．求證：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，求證：．【解析】（Ⅰ）；由題意知，；；（Ⅱ）證明：設(shè)曲線在，處切線為直線；令；；；在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；；，即，即上的點(diǎn)都不在直線的上方；（Ⅲ）由（Ⅱ）設(shè)方程的解為；則有，解得；由題意知，；令，；；在上單調(diào)遞增；；的圖象不在的下方；與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；則有，即；；關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增；．9．已知函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)．設(shè)曲線與軸正半軸相交于點(diǎn)，，曲線在點(diǎn)處的切線為，求證：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；若關(guān)于的方程為正實(shí)數(shù)）有兩個(gè)不等實(shí)根，，求證：．【解析】證明：由題意可得：，，．，，可得：曲線在點(diǎn)處的切線為，令，．，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．，因此：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方．由可得：，解得．．．曲線在點(diǎn)處的切線為，．同理可得：在點(diǎn)處的切線為：．與，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，．則，．．下面證明：．．．．10．已知函數(shù)，，在點(diǎn)，（1）處的切線方程記為，令．設(shè)函數(shù)的圖象與軸正半軸相交于，在點(diǎn)處的切線為，證明：曲線上的點(diǎn)都