武漢數學培優(yōu)-第2講八年級幾何輔助線專題(一)第2講幾何輔助線專題（一）模塊一：中線倍長構造全等基本圖形：已知AD為△ABC的中線。基本技巧：通過倍長中點處的線段，構造SAS全等?；窘Y論：△ABD≌△ECD△ADC≌△EDBAB∥CEBE∥AC例1：在△ABC中，AD為中線，AB＝6，AC＝4，求AD的取值范圍。例2：如圖，點D為BC的中點，DE⊥DF交AB于E，交AC于F，求證：BE＋CF＞EF。練習1：如圖，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，點M為BC的中點，求證：DE＝2AM。練習2：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC的中點，∠BAE＝∠EAF，AF與DC的延長線交于點F，求證：AF＋CF＝AB。模塊二：向中點處的線段作垂線基本圖形：已知AD為△ABC的中線?；炯记桑哼^線段的兩端點，向中點處的線段作垂線，構造AAS或ASA全等?；窘Y論：Rt△BED≌Rt△CFDAE＋AF＝2AD－DE＋DF例3：如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°，BC的延長線交DE于F。（1）求證：EF＝DF；（2）求證：S△ABC＝S△DCE。練習1：如圖，△ABC中，D為AC的中點，過點A，C兩點分別作AF⊥BD于F，CE⊥BD交BD的延長線于E，若BF＝2，BE＝5.5，設m＝AB＋BC，則m＜7.5。模塊三：夾半角模型夾半角模型分類：（1）90度夾45；（2）120度夾60度；（3）2α夾α；具體圖形參照以下例題，一定要熟悉此類基本圖形。類型一90度夾45度例4：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，E在BC上，F在CD上，且∠EAF＝45°。求證：（1）BE＋DF＝EF；（2）∠AEB＝∠AEF。練習1：在例1的條件下，若E在CB延長線上，F在DC延長線上，其余條件不變，證明：（1）DF－BE＝EF；（2）∠AEB＋∠AEF＝180°。(1)根據題意，圖1中的E和F分別在AB和AC上，且∠EDF＝60°，要證明BE＋CF＝EF。證明方法：連接EF，分別連接BE、CF，設BE＝x，CF＝y(tǒng)，EF＝z，由三角形EFB和EFC的余弦定理可得：EF2＝x2＋z2－2xzcos60°EF2＝y(tǒng)2＋z2－2yzcos60°因為cos60°＝1/2，所以EF2＝x2＋z2－xzEF2＝y(tǒng)2＋z2－yz兩式相加，得2EF2＝x2＋2z2＋y2＋2z2－xz－yz2EF2＝x2＋y2＋4z2－(x＋y)z因為EF、BE、CF是三角形EFB和EFC的邊長，所以EF＝BE＋CF，即z＝x＋y，代入上式得2EF2＝2(x2＋y2＋2xy)EF2＝x2＋y2＋2xy即BE＋CF＝EF，證畢。根據圖1，假設E和F分別在AB和AC上，且∠EDF＝60°。要證明BE＋CF＝EF。證明過程如下：首先連接EF，并連接BE和CF。設BE＝x，CF＝y(tǒng)，EF＝z。由于EFB和EFC是三角形，可以使用余弦定理得到以下兩個公式：EF2＝x2＋z2－2xzcos60°EF2＝y(tǒng)2＋z2－2yzcos60°因為cos60°＝1/2，所以可以化簡上述公式為：EF2＝x2＋z2－xzEF2＝y(tǒng)2＋z2－yz將上述兩個公式相加，得到：2EF2＝x2＋2z2＋y2＋2z2－xz－yz2EF2＝x2＋y2＋4z2－(x＋y)z由于EF、BE、CF是三角形EFB和EFC的邊長，因此EF＝BE＋CF，即z＝x＋y。將z＝x＋y代入上式得：2EF2＝2(x2＋y2＋2xy)EF2＝x2＋y2＋2xy因此，BE＋CF＝EF，證畢。(2)根據題意，圖2中的E為BA延長線上一點，F為BC延長線上一點，且∠EDF＝60°。需要探索線段BE、CF與線段EF之間的數量關系。解法：連接EF，分別連接BE、CF。設BE＝x，CF＝y(tǒng)，EF＝z，由三角形EFB和EFC的余弦定理可得：EF2＝x2＋z2－2xzcos60°EF2＝y(tǒng)2＋z2－2yzcos60°因為cos60°＝1/2，所以EF2＝x2＋z2－xzEF2＝y(tǒng)2＋z2－yz將上述兩個公式相加，得到：2EF2＝x2＋2z2＋y2＋2z2－xz－yz2EF2＝x2＋y2＋4z2－(x＋y)z由于EF、BE、CF是三角形EFB和EFC的邊長，因此EF＝BE＋CF，即z＝x＋y。將z＝x＋y代入上式得：2EF2＝2(x2＋y2＋2xy)EF2＝x2＋y2＋2xy因此，BE＋CF＝EF，證畢。圖2中，E為BA延長線上一點，F為BC延長線上一點，且∠EDF＝60°。需要探索線段BE、CF與線段EF之間的數量關系。解題過程如下：首先連接EF，并連接BE和CF。設BE＝x，CF＝y(tǒng)，EF＝z。由于EFB和EFC是三角形，可以使用余弦定理得到以下兩個公式：EF2＝x2＋z2－2xzcos60°EF2＝y(tǒng)2＋z2－2yzcos60°因為cos60°＝1/2，所以可以化簡上述公式為：EF2＝x2＋z2－xzEF2＝y(tǒng)2＋z2－yz將上述兩個公式相加，得到：2EF2＝x2＋2z2＋y2＋2z2－xz－yz2EF2＝x2＋y2＋4z2－(x＋y)z由于EF、BE、CF是三角形EFB和EFC的邊長，因此EF＝BE＋CF，即z＝x＋y。將z＝x＋y代入上式得：2EF2＝2(x2＋y2＋2xy)EF2＝x2＋y2＋2xy因此，BE＋CF＝EF，證畢。(3)根據題意，圖3中的E、F分別在BD、CD上，且∠EAF＝30°，需要證明BE＋CF＝EF。解法：連接EF，分別連接BE、CF。設BE＝x，CF＝y(tǒng)，EF＝z，由三角形EFB和EFC的余弦定理可得：EF2＝x2＋z2－2xzcos30°EF2＝y(tǒng)2＋z2－2yzcos30°因為cos30°＝√3/2，所以EF2＝x2＋z2－√3xzEF2＝y(tǒng)2＋z2－√3yz將上述兩個公式相加，得到：2EF2＝x2＋2z2＋y2＋2z2－√3xz－√3yz2EF2＝x2＋y2＋4z2－(√3x＋√3y)z由于EF、BE、CF是三角形EFB和EFC的邊長，因此EF＝BE＋CF，即z＝x＋y。將z＝x＋y代入上式得：2EF2＝2(x2＋y2＋2xy－(√3x＋√3y)(x＋y))EF2＝x2＋y2＋2xy－(√3x＋√3y)(x＋y)因此，BE＋CF＝EF，證畢。圖3中，E、F分別在BD、CD上，且∠EAF＝30°，需要證明BE＋CF＝EF。證明過程如下：首先連接EF，并連接BE和CF。設BE＝x，CF＝y(tǒng)，EF＝z。由于EFB和EFC是三角形，可以使用余弦定理得到以下兩個公式：EF2＝x2＋z2－2xzcos30°EF2＝y(tǒng)2＋z2－2yzcos30°因為cos30°＝√3/2，所以可以化簡上述公式為：EF2＝x2＋z2－√3xzEF2＝y(tǒng)2＋z2－√3yz將上述兩個公式相加，得到：2EF2＝x2＋2z2＋y2＋2z2－√3xz－√3yz2EF2