絕密★考試結(jié)束前

2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試卷

（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

姓名班級(jí)考號(hào)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其

他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求.

1.（2022春?福建福州.高一福建省福州格致中學(xué)?？计谀┰O(shè)"R,復(fù)數(shù)

z=（∕√-2∕M-3）+（2∕√+w-l）i,若Z為純虛數(shù)，則機(jī)=（）

A.3或-1B.3C.g或-ID.I

2.（2022春.河北滄州.高一統(tǒng)考期末）已知α,b,C分別為MBC的內(nèi)角A,B,2所對(duì)的邊,

SinB=sinCcosA,則C=（）

?-7b?7c??d??

3.（2022春.湖南衡陽(yáng).高一統(tǒng)考期末）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為56,59,60,62,α,

若這組數(shù)據(jù)的極差為7,則這組數(shù)據(jù)的方差為（）

A.6B.30C.25D.5

4.（2022春?山東荷澤?高一統(tǒng)考期末）紫砂壺是中國(guó)特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于

明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體

可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)，如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）,那么該壺的最大盛

水量為（）

A.1524CmaB.68;TCm'C.20JIUTrCm'D.204τrcm'

5.（2023春,江蘇鎮(zhèn)江?高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎橇阆蛄烤欧駶M足B=（GR,

(a,h)=^,若(α-B)l,α,則向量Z在向量B方向上的投影向量為()

A.—bB.—bC.^-bD.b

422

6.(2023秋.貴州黔西.高一統(tǒng)考期末)若函數(shù)/(x)=cos(x+?∣}g(x)=cos(2x+2),則函數(shù)

的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換可以得到函數(shù)g(x)的圖象()

A.將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的T倍，再向左平移器個(gè)單位，縱坐標(biāo)保持不變

B.將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的5倍，再向右平移2個(gè)單位，縱坐標(biāo)保持不變

C.先向右平移2個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的T倍，縱坐標(biāo)保持不變

D.先向右平移2個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變

7.(2022春.湖北武漢.高一校聯(lián)考期末)如圖，某系統(tǒng)由A,B,C,。四個(gè)零件組成，若每個(gè)

零件是否正常工作互不影響，且零件A,B,C,。正常工作的概率都為P(O<P<1),則該系統(tǒng)

正常工作的概率為()

ΓLLHJL>I

LJ__

22

A.[l-(l-p)p]pB.[l-jp(l-p)]p

C.[l-(l-/?)(l-p2)]pD.[l-(l-p)2p]p

8.(2022春.廣東廣州?高一校聯(lián)考期末)如圖(1)所示，已知球的體積為36兀，底座由邊長(zhǎng)為

12的正三角形銅片ABC沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊成直二面角所得，如圖(2)所示.則

在圖(1)所示的幾何體中，下列結(jié)論中正確的是()

A.C。與BE是異面直線

B.異面直線45與C。所成角的大小為45°

C.由A、B、C三點(diǎn)確定的平面截球所得的截面面積為3π

D.球面上的點(diǎn)到底座底面OEb的最大距離為3+6+公

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2023春?四川成都?高一成都實(shí)外校考期末）已知復(fù)數(shù)Z=Sinm+icosg,則（）

OO

A.z的虛部為立iB.1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

2

C.z+z=?z?D.z是關(guān)于X的方程/7+1=0的一個(gè)根

10.（2023秋?河南鄭州?高一統(tǒng)考期末）已知cos（α+夕）=-好，cos2ɑ=-1其中α,夕為銳角,

5?

則以下命題正確的是（）

32

A.sin2a=—B.cos（α-/）=-神石

C.COSaCoSP=好D.tanatany5=∣

11.（2022春?山東聊城?高一統(tǒng)考期末）已知α,b,C分別是口A8C三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,

則下列命題中正確的是（）

A.若SinA>sinB,則/>笈

B.若口ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則而.就=立

2

C.若B=%?=√2,c=2,貝∣J□48C有一解

O

D.若。是□ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，^?δβ-0C?=?0B+0C-2ω?,則口ABC是直角三角形

12.（2022春.甘肅天水.高一天水市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在棱長(zhǎng)為1的正方體

ABCO-ABGA中，點(diǎn)P是線段AR上的動(dòng)點(diǎn)，下列命題正確的是（）

A.異面直線尸G與BC所成角的大小為定值

B.二面角P-BCJD的大小為定值

C.若。是對(duì)角線AG上一點(diǎn)，則P。+QC長(zhǎng)度的最小值為g

D.若R是線段BO上一動(dòng)點(diǎn)，則直線PR與直線AC不可能平行

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.（2022秋?廣東深圳?高一深圳中學(xué)?？计谀┮唤M數(shù)據(jù)士,三，…，X）I的平均數(shù)是30,則數(shù)

據(jù)2x∣+l,2Λ-2+1,...,2x,,+l的平均數(shù)是.

14.(2023春?江蘇無(wú)錫.高一輔仁高中校考期末)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為60。，底面圓

的半徑為6,則圓錐的側(cè)面積為.

15.(2022春?湖北襄陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末)已知三棱臺(tái)ABC-AtBiCi的上下底面均為正三角形，AB=I,

AB∣=2,側(cè)棱長(zhǎng)AA=B與=CG,若4U叫，則此棱臺(tái)的高為一.

16.(2022春?江蘇常州?高一常州高級(jí)中學(xué)校考期末)如圖，在口ABC中,已知

AB=2,AC=5,NBAC=6(T,8C,AC邊上的兩條中線四,胡相交于點(diǎn)尸，則NMPN的余弦值為

四.解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(2022春?河北唐山.高一統(tǒng)考期末)已知向量Z=(2,-1),7(3,1),c=(3,2).

(1)若2+篇與］平行，求2的值；

(2)求與々垂直的單位向量的坐標(biāo).

18.(2022春?湖南株洲?高一株洲二中?？计谀?在口ABC中,角AB,C所對(duì)的邊分別為α,b,

c,m=(sinA,sinB-sinC),w=(α-46+c),且加J.〃.

(1)求角C的值；

(2)若EMBC為銳角三角形，且c=l,求匕立加方的取值范圍.

2

19.(2023春?河南?高一校聯(lián)考期末)大學(xué)畢業(yè)生小張和小李通過(guò)了某單位的招聘筆試考試，

正在積極準(zhǔn)備結(jié)構(gòu)化面試，每天相互進(jìn)行多輪測(cè)試，每輪由小張和小李各回答一個(gè)問(wèn)題，已知

小張每輪答對(duì)的概率為:，小李每輪答對(duì)的概率為I.在每輪活動(dòng)中，小張和小李答對(duì)與否互

不影響，各輪結(jié)果也互不影響.

(1)求兩人在兩輪活動(dòng)中都答對(duì)的概率；

(2)求兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率；

（3）求兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率.

20.（2023秋?江蘇宿遷?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃X）=ASin3+3）卜＞0,0＞0,|同4］的圖象經(jīng)

過(guò)點(diǎn)（0,T）,若不、巧滿足對(duì)VXeR，/（?vl）≤∕（-v）≤∕（?）＞/5）-〃％）=4且IXl-X2Ln=^f.

（1）求函數(shù)/（x）的解析式；

（2）求函數(shù)“X）在上的單調(diào)區(qū)間及最值.

21.（2022春.福建莆田.高一統(tǒng)考期末）某市為了解疫情期間本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意

度，從本市居民中隨機(jī)抽取若干人進(jìn)行滿意度測(cè)評(píng)（測(cè)評(píng)分滿分為IOO分）.根據(jù)測(cè)評(píng)的數(shù)據(jù)

制成頻率分布直方圖如下：

根據(jù)頻率分布直方圖，回答下列問(wèn)題：

（1）估計(jì)本次測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（精確到0.01）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點(diǎn)值作代表）；

（2）估計(jì)本次測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的第85百分位數(shù)（精確到0.01）；

（3）若該市居民約為250萬(wàn)人，估計(jì)全市居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鳚M意度測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)在85分以上的

人數(shù).

22.（2022春.廣東廣州?高一校聯(lián)考期末）如圖，在三棱臺(tái)AgC-A禺G中，A旦與AC、BC都

垂直，已知AB=3,AA=AC=5.

（1）求證：平面ABC，平面ABC；

（2）直線AB與底面ABC所成的角的大小。為多少時(shí)，二面角A-AC-B的余弦值為叵？

14

（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)C到平面AABBl的距離.

絕密★考試結(jié)束前

2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試卷

（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

姓名班級(jí)考號(hào)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其

他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求.

1.（2022春?福建福州?高一福建省福州格致中學(xué)?？计谀┰O(shè)meR,復(fù)數(shù)

z=（w2-2m-3）+（2m2+m-l）i,若Z為純虛數(shù)，貝IJm=（）

A.3或-1B.3C.T或TD.?

【答案】B

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)Z=W-2〃?-3）+（2川+成Ti為純虛數(shù)，

nr-2/n-3=0

所以解得機(jī)=3.故選：B

2nr+m-?≠0

2.（2022春?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）已知mb,C分別為□ABC的內(nèi)角A,B,2所對(duì)的邊,

sinB=SinCcosA,則C=（）

AYBuC.?De

【答案】D

【解析】VsinB=sinCcosA,Z>=ccosA由余弦定理知）=c?"二"=匕+'二"，

2bc2b

整理得“2+加=/,故。咤.故選：D

3.（2022春.湖南衡陽(yáng).高一統(tǒng)考期末）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為56,59,60,62,a,

若這組數(shù)據(jù)的極差為7,則這組數(shù)據(jù)的方差為（）

A.6B.30C.25D.5

【答案】A

【解析】由題意得"56+7=63,所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為小吆學(xué)鳥(niǎo)@=60,

16+1+0+4+9

方差為=6,故選：A.

5

4.（2022春.山東荷澤?高一統(tǒng)考期末）紫砂壺是中國(guó)特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于

明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體

可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)，如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）,那么該壺的最大盛

水量為（）

1

A.152;TCmB.68;TCmaC.20JiTLrcm'D.204∕rcm,

【答案】A

【解析】由題意得上底面半徑為4,面積S尸萬(wàn)χ42=16%

下底面半徑為6,面積52=1x62=36〃，圓臺(tái)高。為6,

貝U圓臺(tái)的體積y=J(S∣+S2+7^^)∕z=g(167r+36%+排6436〃卜6=1527cn√.故選:A

5.（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎橇阆蛄?,B滿足分=（百,1）,

若（H）Y,則向量Z在向量B方向上的投影向量為（）

與

A.-bB.C.SD.b

422

【答案】A

【解析】因?yàn)椋é?A）j?n,所以R-5）?Z=/-Z4=o,

.?.∣β∣2-lp∣∣?∣=o,又一（⑸）,所以W=J（6f+ι2=2,

.?.同=1或同=O（舍去），所以Z?=∕=ι,

Q?b717

所以Z在B方向上的投影向量為期仍=^^故選：?-

6.（2023秋?貴州黔西?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)/（x）=CoS1+幻，g（x）=cos（2x+V，則函數(shù)/（x）

的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換可以得到函數(shù)g（x）的圖象（）

A.將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g倍，再向左平移，個(gè)單位，縱坐標(biāo)保持不變

B.將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的T倍，再向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)保持不變

C.先向右平移引個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的W倍，縱坐標(biāo)保持不變

D.先向右平移已個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變

【答案】B

【解析】對(duì)A,f(x)的圖象橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g倍,得到y(tǒng)=cos(2x+8,

再向左平移1個(gè)單位，縱坐標(biāo)保持不變得到

y=cos(2(x+1|)+^=CoS(2》+裔=-8$(2彳+已)，故A不正確;

對(duì)B,"x)的圖象橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的T倍,得到『os.+全，

再向右平移已個(gè)單位，縱坐標(biāo)保持不變得到

y=cos(2(X-W)+[=COS(2x+聿)=g(x),故B正確;

對(duì)C,“X)的圖象先向右平移三個(gè)單位得到y(tǒng)=cos

再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的T倍，縱坐標(biāo)保持不變得到y(tǒng)=cos[2x-]｝故C不正確；

對(duì)D,“X)的圖象先向右平移已個(gè)單位得到產(chǎn)CoS卜卡)+g=CoSu

再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變得到y(tǒng)=cos(；x+：｝故D錯(cuò)誤.

故選：B

7.(2022春.湖北武漢.高一校聯(lián)考期末)如圖，某系統(tǒng)由A,B,C,。四個(gè)零件組成，若每個(gè)

零件是否正常工作互不影響，且零件A,B,C,。正常工作的概率都為P(O<P<1),則該系統(tǒng)

正常工作的概率為()

dJHL2Liβη

A.口-(1-P)P2]pB.[l-p(l-p2)]p

C.[1-(I-Pxl-PB]PD.[1-(1-p)2P]P

【答案】C

【解析】記零件或系統(tǒng)X能正常工作的概率為P(X),

該系統(tǒng)正常工作的概率為：

=[I-P(ΛB)P(C)]P(D)=(I-P(AUB)P(C))P(D)

=[1-(I-P(M)(I一P(C))]P(O)=[1-(1一p2)(l-p)]p,故選：C.

8.(2022春?廣東廣州?高一校聯(lián)考期末)如圖(1)所示，已知球的體積為36π,底座由邊長(zhǎng)為

12的正三角形銅片ABC沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊成直二面角所得，如圖(2)所示.則

在圖(1)所示的幾何體中，下列結(jié)論中正確的是()

H

CH

D

Ml)幽力

A.CD與BE是異面直線

B.異面直線AB與CD所成角的大小為45°

C.由A、B、C三點(diǎn)確定的平面截球所得的截面面積為3π

D.球面上的點(diǎn)到底座底面OEr的最大距離為3+√J+#

【答案】C

【解析】取。尸，E尸中點(diǎn)N,M,連接A8,BC,AC,BΛΛMMCN,如圖,

因△￡?EF為正三角形，則IE/，

而平面平面。FE,平面BEFrl平面OFE=EF,BMU平面BEF,

于是得平面DFE,同理CN_L平面。FE,即BM/∕CN,BM=CN=3日

因此，四邊形BCNM是平行四邊形，有BeUNMUDE,

則直線CO與BE在同一平面內(nèi)，A不正確；

由選項(xiàng)A,同理可得A8〃。產(chǎn)，

則異面直線AB與CD所成角等于直線DF與CD所成角60。,B不正確；

由選項(xiàng)A知，BC=MN=；DE=3,同理可得AB=AC=3,正口ABC外接圓半徑r=百,

由A、B、C三點(diǎn)確定的平面截球所得的截面圓是14?C的外接圓，

此截面面積為3π,C正確；

體積為36π的球半徑R,由爭(zhēng)=3671得/?=3,

由選項(xiàng)C知，球心到平面ABC的距離A=JR2"=卡,

由選項(xiàng)A,同理可得點(diǎn)A到平面DFE的距離為3√L

即平面A8C與平面DFE的距離為36，

所以球面上的點(diǎn)到底座底面OEE的最大距離為R+d+BM=3+3√J+√^,D不正確.

故選：C

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2023春?四川成都?高一成都實(shí)外?？计谀┮阎獜?fù)數(shù)Z=Sinm+icos?則（）

A.Z的虛部為立iB.三在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

2

C.z+z=?z?D.Z是關(guān)于X的方程χ2-χ+ι=o的一個(gè)根

【答案】BCD

【解析】依題意，復(fù)數(shù)ZT學(xué),復(fù)數(shù)Z的虛部為包，A錯(cuò)誤；

2

1

-?√3立）在第四象限，B正確;

Z=------------2-

22

四

1與1

++

2-22--2

21?/?.2/1^v3..1??∕3.1?∣3.

z2-z+1=z(—I-----1)λ2—(—I------1)÷1=(------1-----1)-----------i+l=0,

22222222

即Z是關(guān)于X的方程∕τ+ι=o的一個(gè)根，D正確.故選：BCD

10.(2023秋.河南鄭州?高一統(tǒng)考期末)已知cos(α+0=-亞，cos2α=g其中α,廣為銳角,

5?

則以下命題正確的是()

.C3B.eos(er-^)?-??/?

Aa.sin2a--

5

√5D.tanertanff=?

Cc.COS6TCOSap=~^y

【答案】AC

【解析】因?yàn)閏os(α+P)=-S,cos20=-1(a,β為銳角),

故sin2?=√l-cos22βf=1,故A正確；

因?yàn)閟in(α+0=/^,

所以cos(σ-/?)=cos[2α-(α+/?)]=COS2αcos(α+/?)+sin2αsin(α+夕)

2

由cos(6z-∕?)=cosacosy?+sinαsin夕=二百，

cos+1)=COSaCoS夕-SinaSin4=~~~~，

故CoSaCos/=?[cos(α+ff)÷cos(α一1)]=；[√52√5^∣√5

y——+----=—,故C正確;

5510

且SinaSin￡=g[cos(α-P)-cos(α+>?)]=—

所以tanatan/=3,故D錯(cuò)誤.故選:AC.

11.（2022春.山東聊城.高一統(tǒng)考期末）已知a,b,C分別是口48C三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,

則下列命題中正確的是（）

A.若sinA>sinB,貝∣J4>6

B.若口ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則而.反=理

2

C.若B=*?=√2,c=2,則ΠABC有一解

D.若。是匚ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，?∣OB-OC∣≈∣OB+OC-2OA∣,則匚ABC是直角三角形

【答案】AD

【解析】A：由上7="j，又sinA>sin8,即a>A,故/>8,正確；

sinAsinB

B：由已知Q?前=I而Il死IeOSI20。=—,錯(cuò)誤；

C：由，^=g=2√∑,則SinC=蟲(chóng)，而0<C<",故C=g或苧，錯(cuò)誤;

sinCsinB2644

D：由麗-瓦=無(wú)、OB-OA=~AB>OC-OA=AC,故固=卜8+AC∣,

所以在口ABC中CB邊上的中線長(zhǎng)等于CB的一半，

即口ABC是A為直角的直角三角形，正確.故選：AD

12.（2022春.甘肅天水.高一天水市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在棱長(zhǎng)為1的正方體

ABCD-ABCA中，點(diǎn)P是線段AR上的動(dòng)點(diǎn)，下列命題正確的是（）

A.異面直線PG與BC所成角的大小為定值

B.二面角P-BG-D的大小為定值

C.若。是對(duì)角線4G上一點(diǎn)，則PQ+QC長(zhǎng)度的最小值為g

D.若R是線段BO上一動(dòng)點(diǎn)，則直線PR與直線AC不可能平行

【答案】ABC

【解析】如圖1,由AB1平面BCGq，BCU平面BCe4，得ABLB∣C,

又用CL8G,ABnBCl=B,AB,8Gu平面ABCQ,所以BCl平面ABCQ,

PGU平面ABC1D1,所以BCJ.PG,即異面直線PCt與B1C所成角是90。為定值,A正確;

如圖1,二面角P-BC-。即為二面角4-g-。，為定值，B正確;

圖1

把AACQ和AACC沿AG攤平，得平面四邊形ACeQ如圖2.

作CPLAA于尸，CPHAC1=Q,此時(shí)P。+。C=CP最小，

四邊形ACCQ2中，AC=AD2=√2,AC1=√3,C1C=C1D2=1,

由對(duì)稱(chēng)性知8JAC；,CG=AC嚴(yán)\=￡,C>=2CG=巫,

AC133

I.....-rr25/62^3

2x

AG=JAC2-CG=、2'=區(qū),rp_CD2AG_T3_4,

CP==

Y33~X5~√2=3

4

所以PQ+QC的最小值是葭C正確；

取A。中點(diǎn)E,連接AE交AA于尸，連接CE交相于R,連接RP,如圖3,

rι,EPAEAEER~“

則M=TTr=m=m，所以PR∕∕AC,D錯(cuò).故選：ABC.

Γ∕?χ∕A∣L√1DCAC

圖3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.（2022秋?廣東深圳?高一深圳中學(xué)校考期末）一組數(shù)據(jù)χ,,弓，…，X”的平均數(shù)是30,則數(shù)

據(jù)2χ+l,2X2+1,2&+1的平均數(shù)是.

【答案】61

【解析】???樣本數(shù)據(jù)玉,々，…,X”的平均數(shù)是30,￡%=30〃，

Z=I

,數(shù)據(jù)2x∣+L2x∣+1,…,2x,,+l的平均數(shù)X=IS（2%+l）=2f%+l=61

?Z7?Zr

故答案為：61

14.（2023春.江蘇無(wú)錫.高一輔仁高中?？计谀﹫A錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為60。，底面圓

的半徑為6,則圓錐的側(cè)面積為.

【答案】216π

【解析】設(shè)圓錐的底面周長(zhǎng)為c，母線長(zhǎng)為/,則c=2πχ6=12兀，

因?yàn)閳A錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為60。，

所以AA牛,解得/=36,

則圓錐的側(cè)面積為:∕c=gx36xl2π=216π,

故答案為：216π.

15.（2022春.湖北襄陽(yáng).高一統(tǒng)考期末）已知三棱臺(tái)ABC-A向G的上下底面均為正三角形，AB=1,

A片=2,側(cè)棱長(zhǎng)AA=BA=CG,若AAI_L網(wǎng)，則此棱臺(tái)的高為

【答案】旦

6

【解析】由已知可得該三棱臺(tái)為正三棱臺(tái)，

還原成棱錐如圖所示，由于下底邊是上底邊的兩倍，

???大棱錐的高為棱臺(tái)的高的兩倍，

取BC的中點(diǎn)D,BlCl的中點(diǎn)。/,

連接PDD1,AD,AιDl,O,O1是上下底面的中心，連接POO1.

由正棱臺(tái)性質(zhì)可得3C_L。。/,BCl.PO,

.?.BC，平面PDlAh:.BC±PAl,

又?.?A41J.陰，故A4」平面PB∣C∣,.?A∣PA.PDl.

122

AB=I,A,B.=2,PO2=AO×DO=-AD×-AD=-AD?

339

AD=—AB=—,PO=-AD=—=OO,

2236t

故答案為：逅.

6

16.（2022春?江蘇常州.高一常州高級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，在口ABC中,已知

AB=2,AC=5,NBAC=6（T,8C,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)P,則/MPN的余弦值為

AB?AC=∣AB∣?∣AC∣cos60o=5,

所以奇.麗=；(而+硝/—呵=一；帚/Y麗.衣二-2+日一;χ5二3,

———■——-1/------------√39

+2AB?AC=-√4+25÷10=--

22

∕A∕DAτ∕^7T7^^Γ7?AM?BN34y∣9?

所以8SNΛ≡=8S",㈣=麗同=西西=西-,

2X2

故答案為：晅.

91

四.解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(2022春.河北唐山.高一統(tǒng)考期末)已知向量2=(2,-1),另=(3,1),"=(3,2).

(1)若2+焉與工平行，求2的值；

(2)求與1垂直的單位向量的坐標(biāo).

【答案】⑴』小2)隹半卜昌,考)

【解析】(1)因?yàn)閆=(2,-I),?=(3,1),所以Z+4=(2+3∕l,-l+4)?

因?yàn)?+焉與Z平行，所以3(-1+/1)-2(2+34)=0,解得a=].

(2)設(shè)與Z垂直的單位向量的工=(x,y).

18.(2022春?湖南株洲?高一株洲二中?？计谀?在□ABC中,角48,C所對(duì)的邊分別為a,b,

c,m=(sinA,sinB-SinC),〃=(。一h,b+c),且m_L〃.

（1）求角C的值；

（2）若為銳角三角形’且CU求￥〃一人的取值范圍.

【答案】（1）Γ⑵

【解析】ɑ)因?yàn)锳n=(SinA,sinB-sinC),n=(a-b,b+c),,且藍(lán)J_G,

所以sinA(α-?)+(sinB-sinC)S+c)=O

222

利用正弦定理化簡(jiǎn)得：a(a-b)+(b-c)(b+c)=0^]a+?-c=ah,

由余弦定理可得8SC=專(zhuān)C1,

又因?yàn)镃G（0,乃），所以C=?；

（2）由（1）得A+B=子，即B=胃-A,

J?

又因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，

O<--A<-

所以?2解得：J<A<?,

CA乃62

_b_c_1_2

因?yàn)閏=l,由正弦定理得：sinAsinBsinCSinx?/?

3^

22

所以“二?TE4,b=忑SinB,

π

所以0=x4=sinA-3inB=sinA-4=sin?+AI=sinA-cosA=5∕2sinA--

22√3√3√3√334

I,I、j.TCTCr*∣--?*、I7t7t.7t7Z

E1?-<A<->^τU---<A--<-,

所以匕巨<√^sin(4-&)<1,則匕且"b的取值范圍為

242

19.（2023春?河南.高一校聯(lián)考期末）大學(xué)畢業(yè)生小張和小李通過(guò)了某單位的招聘筆試考試，

正在積極準(zhǔn)備結(jié)構(gòu)化面試，每天相互進(jìn)行多輪測(cè)試，每輪由小張和小李各回答一個(gè)問(wèn)題，已知

小張每輪答對(duì)的概率為：，小李每輪答對(duì)的概率為g.在每輪活動(dòng)中，小張和小李答對(duì)與否互

不影響，各輪結(jié)果也互不影響.

（1）求兩人在兩輪活動(dòng)中都答對(duì)的概率；

（2）求兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率；

（3）求兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率.

175

【答案】（1）?;（2）I；（3）?

4?16

【解析】ɑ）依題意，設(shè)事件M="小張兩輪都答對(duì)問(wèn)題“，N="小李兩輪都答對(duì)問(wèn)題”，

所以P(M)=P(7V)=→f=J.因?yàn)槭录﨧,N相互獨(dú)立，

4416339

o41

所以兩人在兩輪活動(dòng)中都答對(duì)的概率為P(MN)=P(M)P(N)=弓X?=：

1694

(2)設(shè)事A="甲第一輪答對(duì)"，B="乙第一輪答對(duì)”，

C="甲第二輪答對(duì)"，D="乙第二輪答對(duì)”，

E="兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題”，

則E=ABCDuABCDuABCDuABCDuABCD,

由事件的獨(dú)立性與互斥性，

可得P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(Z))+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)

+P(A)P(B)P(C)P(D)

323212323132321232312

=—X-X-X—+—x—x—x—+-X-X-X—+—x—x—x—+-X-X-X—,

434343434343434343433

故兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率為§.

(3)設(shè)事件4,A分別表示甲三輪答對(duì)2個(gè)，3個(gè)題目，

B一員分別表示乙三輪答對(duì)2個(gè)，3個(gè)題目，

則P(4)=3χ洛??？尸⑷=圖：！

P(B2)=3X∣X∣×1=∣,尸聞=圖*，

設(shè)事件Q=“兩人在三輪活動(dòng)中，

小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2”，

則Q=AJUABs,且4,4，B2,鳥(niǎo)分別相互獨(dú)立，

所以P(0)=P(AΛ)+P(AΛ)=P⑷P(W)+P(a)P⑸=去：+4吟

所以兩人在三輪活動(dòng)中，

小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率為2.

20.(2023秋?江蘇宿遷?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)=ASin(OX+8)(A>0M>0,M<5］的圖象經(jīng)

過(guò)點(diǎn)(0,T),若為、巧滿足對(duì)VXeR,/(xl)≤∕(^)≤∕(x2),“z)-f(XI)=4且IXl-X2∣mM=不

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)求函數(shù)/(x)在上的單調(diào)區(qū)間及最值.

【答案】(1)/(x)在「不。上的增區(qū)間為?笈1,減區(qū)間則為弓，T，∕ω=2sin(2x-?

44J64466

(2)最小值為-2,最大值為百.

【解析】(1)由VXeR,f(xj4"x)≤f(w)得

f（?.）為f（x）的最小值-A，/（%）為“X）的最大值A(chǔ),

又〃七）-〃%）=4,所以2A=4,A=2,

由WrL=方，∣=p泊,所以。=2,

由的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（OI）得2sing=T,又因?yàn)槎?lt;9，所以。=_》

ZO

Ir

所以/(x)=2sin(2x-z).

O

(2)先求/(x)的增區(qū)間，令-]+2EW2x-ew]+2E,Z∈Z,

解之得一四+EWXW*+E,kcZ,

63

又X一行，取心。，則言若，

64

所以“X）在上的增區(qū)間為V減區(qū)間則為品41,

所以/（x）mm=/（-2）=-2,

6

又/（-7）=2sin（-?=-√3,/（今=2sinA=√3>/（一弓）,

43434

χ=

所以/（）maχ=?/?.

/（X）的最小值為-2,最大值為√5.

21.（2022春.福建莆田.高一統(tǒng)考期末）某市為了解疫情期間本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意

度，從本市居民中隨機(jī)抽取若干人進(jìn)行滿意度測(cè)評(píng)（測(cè)評(píng)分滿分為100分）.根據(jù)測(cè)評(píng)的數(shù)據(jù)

制成頻率分布直方圖如下：

根據(jù)頻率分布直方圖，回答下列問(wèn)題：

（1）估計(jì)本次測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（精確到0.01）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點(diǎn)值作代表）；

（2）估計(jì)本次測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的第85百分位數(shù)（精確到0。1）；

（3）若該市居民約為250萬(wàn)人，估計(jì)全市居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鳚M意度測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)在85分以上的

人數(shù).

【答案】(1)76.67分,76.2分;(2)90.63；(3)70萬(wàn)人.