2022-2023學(xué)年重慶市巴蜀中學(xué)高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷(三)

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足/(1一i)=2i,其中W為Z的共聊復(fù)數(shù)，則z=()

A.1+iB.-1+iC.1—iD.-1—i

2.已知向量1=(2,—1),E=(X,2),若為1孔貝IJIN-B|=()

A.10B.√10C.3√5D.2√10

3.已知集合A={x?x2<?x?],集合B={x∣-l<x<0},R是實(shí)數(shù)集，財(cái)4∩(CRB)=()

A.(-1,0)B.[0,l)C.(0,1)D.(-1,1)

4.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)Vx,y∈R,都有/(X+y)=/(%)+/(y)-1成立,則/(x)

的圖象關(guān)于()

A.原點(diǎn)對(duì)稱B.y軸對(duì)稱C.點(diǎn)(0,1)對(duì)稱D.直線X=I對(duì)稱

5.李子壩站的“單軌穿樓”是重慶軌道交通的一大特色，吸引眾多游客來(lái)此打卡拍照.如圖

所示，李明為了測(cè)量李子壩站站臺(tái)距離地面的高度A8,采用了如下方法：在觀景臺(tái)的。點(diǎn)

處測(cè)得站臺(tái)A點(diǎn)處的仰角為60。；沿直線8。后退12米后，在尸點(diǎn)處測(cè)得站臺(tái)A點(diǎn)處的仰角

為45。.已知李明的眼睛距離地面高度為CO=EF=1.6米，則李子壩站站臺(tái)的高度AB約為(精

確到小數(shù)點(diǎn)后1位)(近似數(shù)據(jù)：√3≈1.73,√2≈1.41)()

A.30.0米B.28.4米C.27.0米D,26.4米

在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，則

6.｛αri｝a1a5+2a4aβ+α5α9=8,?+ɑ7=()

A.1B.√2C.4D.2√2

7.已知AABC中，AB=6,AC=2,AQ為NBAC的角平分線，ΛZ)=√3,則AABC的面積為

()

A.2√2B.4√2C.3√2D.3√3

8.如圖，已知雙曲線/一y2=α2(α>0)的左，右焦點(diǎn)分別

為F],F2,過(guò)F2的直線與雙曲線的右支交于P,Q兩點(diǎn).若

IQFll=IQP|,且對(duì)2=4就，則/1的值為()

A.3

9.如果方,另都是非零向量，則下列判斷正確的是()

A.若方2=b,則Zi=b或1=—b

B.若I為不I=I磯?|石|,則五〃B

C.若∣W+B∣=I五一石I，則五1石

D.若五、石同向，則lI?R=I五可/

10.已知等差數(shù)列｛c?｝的前〃項(xiàng)和為Sn,S13=3ɑ7,α1>0,則()

A.｛arι｝是遞減數(shù)列B.S7=S6

C.Sn取最大值時(shí)，n=7D.使Sn<0成立的最小的正整數(shù)〃為14

11.已知函數(shù)函X)=X(InX-a)+a(a為實(shí)數(shù)),則()

A.a=0時(shí)，函數(shù)/(x)在X=1處的切線方程是y=x-1

B.a=1時(shí)，/(%)>。對(duì)任意的X∈(0,+8)恒成立

C.a>1時(shí)，F(xiàn)(X)有兩個(gè)零點(diǎn)

D.a<1時(shí)，f(x)有唯一零點(diǎn)

12.已知等腰aABC中，NBAC=120。，BC=2√3,且荏=4南,/=〃前(九〃6R),麗=

2MF,若|祠|=|,則()

A.A2+2公—"2λjU=1B.-1≤λ—〃≤1

C.A2+“2的最大值為邛ID.A2+后的最大值為喈

OO

13.(/—$3的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

14.函數(shù)/(%)=ASin(3%+0)(3>0,VWVI)的部分圖象y

如圖所示，則函數(shù)/(%)的解析式為/(%)=.2工--人

π?O5π

~L2

15.如圖，在直四棱柱4BCD-AιBιGDι中，底面ABe。是等腰梯

形，AB//CD,AB=4,AD=CD=2,若四棱柱的高是3,則該

棱柱外接球的體積是.

16.已知定義在R上的函數(shù)/(x)=/+2ɑlog2(χ2+2)+a?-3有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α

的值為.

17.已知等差數(shù)列｛αrι｝的前〃項(xiàng)和為%，αs=9,Sw=100.

(1)求｛αn｝的通項(xiàng)即；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足:%=2須,｛分｝的前〃項(xiàng)和為求使7；<200成立的最大正整數(shù)〃的值.

18.已知△4BC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且3αcosC—b=0.

(1)求證：tanC=2tan∕l;

(2)若3c=√7b,求角C的大小.

19.2022年重慶半程馬拉松將于11月13日在巴南舉行，為了了解廣大市民對(duì)于馬拉松運(yùn)動(dòng)是

否喜愛、隨機(jī)抽取了400名市民作問(wèn)卷調(diào)查，結(jié)果如下表：

喜愛不喜愛合計(jì)

麗120

?i?IOO

在隨機(jī)抽取的400名市民中，抽到女性的概率是0.45.

(1)完成列聯(lián)表并根據(jù)小概率值α=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛馬拉松項(xiàng)目與性別有

關(guān)聯(lián)？

(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從接受問(wèn)卷調(diào)查且喜愛馬拉松的居民中隨機(jī)抽取10人認(rèn)定為該比

賽的志愿者，若從這10名志愿者中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行初級(jí)裁判培訓(xùn)，求抽到的4人中至少有

2名女士的概率.

n(ad-bc)2

附表及公式:

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

a0.150.100.050.025

~k2.0722.7063.8415.024

20.如圖，三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在底面的射影。在△4BC的高CO上，Q是側(cè)棱PC上一

點(diǎn)，截面QAB與底面ABC所成的二面角的大小等于/OPC的大小.

(1)求證：PC-L平面QAB；

(2)若DQ=4,PC=DC,PQ=DA=DB=2,求平面ABP與平面BPC所成夾角的余弦值.

21.已知橢圓C：盤+/=l(α>b>O)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,橢圓C的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等

于它的焦距，且過(guò)點(diǎn)(1,|).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)(不同于A,B),直線

AM與直線BN相交于點(diǎn)P,直線AN與直線BM相交于點(diǎn)Q,證明：PQLX軸.

22.已知函數(shù)f(x)=3―k(；+Inx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)存在極小值，且極小值等于—(Ink)?,求證：k+?nk>2e.

答案和解析

1.【答案】。

【解析】解：???z?(l-i)=2i,

.-_2i_2t(l+i)_,.

..Z-~`-,τz.、/.、——1!_+L,

1-1(IT)(JIl+ι)

???Z=-I-L

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查共軌復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：向量為=(2,-1),石=(X,2),alb,

則2x—2=0,解得X=1,

ɑ-ft=(1,-3),

則I五一9I=√12+(-3)2=√Tθ.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，求出X,再結(jié)合向量模公式，即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：因?yàn)锳={x∣x2<∣x∣}=(-1,0)U(0,1),集合B={x∣-1<x<0},

所以CRB={x?x≥0或X≤-1)

則A∩CRB=(0,1).

故選：C.

由已知根據(jù)集合的補(bǔ)集及交集運(yùn)算即可求解.

本題主要考查了集合的交集及補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：令x=y=0,則/(0)=f(0)+f(O)-1,解得/(0)=1,

令y=-X,p∣∣J∕(O)=/(x)+/(-%)-1,BP∕(x)+/(-X)=2,

所以/(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱.

故選：C.

令x=y=0,可得/(0)=1,再令y=—X,可得/(x)+/(—%)=2,進(jìn)而得解.

本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：由題意可得，CE=12,NACG=60°,Z)F=CE=12,/.AEG=45°,

設(shè)CG=X,

則AG=√3x,

???△4GE為等腰直角三角形，

???X+12=√3x,即X=?≈16.43,

?AB=AGA-GB=16.43+12+1.6≈30.0米.

故選：A.

設(shè)CG=x,則4G=Kx,結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，推得x+12=Kx,即可求解.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：???｛an｝是等比數(shù)列，

?*?ɑ?ɑ?=ɑ?>=。3ɑ7，~ɑ?,

2

?a1a5+2α4α6+αsα9=送+2α3α7+a；=(a3+α7)=8,Xan>0,

?,?ɑ?+Ciy?—2Λ∕^?

故選：D.

根據(jù)｛an｝是等比數(shù)列可得aι<?+2a4a6+a5a9=送+2a3a7+譜=8,進(jìn)一步結(jié)合an>0即可求

出?+。7的值?

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：由題意作出圖形，如圖所示：

Ill

則SMBC=SXABD+S>ACD，即］AB?ACsinZ-BAC=-AB?ADsin?BAD+-AC?ADsinZ.CAD,

???AB=6,AC=2,AD為ZBAC的角平分線，AD=√3,^??BAC=2?BAD=2?CADf

??×6×2sin2?BAD=?×6×?∕3sin?BAD+?×2×y∕3s?n?BADf^6s?n2?BAD=

4√3sinzBylD,

???V3sin2zBΛZ)=2sin?BAD=2√3sinzB?Z)?cos?BAD，

???cos?BAD=—,

.?.SinNBAD=√1-cos2?BAD=y,

則S-BC=SAABD+SAACD=j×6×√3×y+j×2×√3×y=4√2,

故選：B.

由題意得S-BC=5ΔΛSD+SAACD，即;4B?ACsin?BAC=^AB-ADsin?BAD+^AC-ADsin?CAD,

5L?BAC=2?BAD=2?CAD,結(jié)合二倍角公式，即可得出答案.

本題考查解三角形和二倍角公式,考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：設(shè)∣QF2=m，則IFlQl=2α÷m=(λ÷l)τn,可得2Q=AnI①，

7=r

又∣PFz∣=2m,∣F[P∣=2α+∣F2?ιl2√2α,

因?yàn)镃oSNaF2Q+COSZPF2F1=0,所以喀暮”皿+8α2+f%μm)2=°,

?z￡?2?2√2α?τn2?2√2α?λm

整理可得(4+1)=2λma—24Tn②，

由①②可得;I=3.

故選：A.

設(shè)IQF2=m,則∣PF2∣=ani'∣F1<2∣=2α+m=(λ+l)m,由CoSz?FιF2<?+COSNPF2&=0,即可

求解.

本題考查了雙曲線的方程、性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解："a2=h2,.?.?a?=?b?,但方向無(wú)法確定，故A錯(cuò)誤；

VIa?KI=?a??bICOS8=∣α∣?∣K∣,?cosθ=1,

???乙另的夾角為。=0,??.五,石同向，則五〃丸故B正確；

若1五十石1=I方一7∣,則a+1]二口一石∣2,

.?.α2÷2α?e+δ=α2-2α?h÷6,

??ab=0,?aLbf故C正確；

v∣∣K∣.α∣=∣K∣∣α∣,??a??b?=?a???b\9則癡Iql=I同㈤，

VIaI>0,IeI>0,且蒼,I同向,則|3|?五，I五I?E同向，

.?.?b?-a=?a?-b,故。正確.

故選：BCD.

根據(jù)向量的相關(guān)概念，結(jié)合數(shù)量積、模長(zhǎng)的運(yùn)算能求出結(jié)果.

本題考查向量的模、向量相等、向量數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛αn｝的公差為d,

因?yàn)楣?=3。7,

所以13(4；即3)_3ci7,即13α7=3α7,可得α?=°，

又a1>0,所以a1+6d=0?可得d=—≤0,

所以｛all｝是遞減數(shù)列，故A正確；

由=0,可得S?=$6+ɑ?=56，故B正確；

Sn取最大值時(shí)，n=6或7,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镾i3=0，S*=Sg+aβ=a8=a7+d=d<0,

所以使Sri<0成立的最小的正整數(shù)〃為14,故。正確.

故選：ABD.

由等差數(shù)列的性質(zhì)及前〃項(xiàng)和公式可求得公差d<0,再逐項(xiàng)判斷即可求得結(jié)論.

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前〃項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于4,當(dāng)α=0時(shí)，/(x)=xlnx,∕,(x)=Inx+1,

所以k=∕'CL)=1,

又當(dāng)久=1時(shí)，f(l)=0,所以切點(diǎn)為(1,0),

所以函數(shù)/(x)在X=1處的切線方程為y=》一1,故4正確；

對(duì)于B,當(dāng)α=1時(shí)，/(x)=X(InX—1)+1,

∕,(x)=Inx-1+1=Inx,當(dāng)x>l時(shí)，∕,(x)>0./(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<l,f'｛x)<0.f(x)單調(diào)遞減，

所以/(x)min=/(I)=0，所以/(x)≥0對(duì)任意的Xe(O,+8)恒成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)α>l時(shí)，f'[x｝=Inx—α+1,令((X)=0,可得x=etιτ,

當(dāng)％∈(0,eαT)時(shí),∕,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)*∈(eΟτ,+8)時(shí),∕,(χ)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以/(x)min=f(eaT)=eα-1(lneα^1-a)+a=-ea~1+a,

令g(a)=-ea~1+a,g'(a)=-ea~1+1為減函數(shù)，所以當(dāng)a>In寸，g'(a)<g'(l)=0,所以g(a)

為減函數(shù),

所以g(α)<g(l)=O,所以/(x)tnin<。，

當(dāng)XTo時(shí)，/(x)→ɑ>0,當(dāng)XT+8時(shí)，/(χ)→+∞,

所以α>l時(shí)，/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；

對(duì)于。，當(dāng)α<1時(shí)，∕,(x)=Inx-α+1,令f'(X)=0,可得X=etιτ,

當(dāng)Xe(O,ecιT)B寸，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(eατ,+8)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以/(x)min=/(eα-1)=ea-1(lnea^1—a)+a=-ea~1+a,

由C的分析可知，g(a)=-e。-1+a為減函數(shù)，由a<l,可得a-l<0,g(a)>g(l)=O,

所以a<1時(shí)，/(x)無(wú)零點(diǎn)，故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

對(duì)于A,將a=0代入/(久)，即可得到/(x)的表達(dá)式，求出f'(x),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的斜

率A=∕'(l),切點(diǎn)為(L0),由點(diǎn)斜式即可得到函數(shù)/(x)在X=1處的切線方程；

對(duì)于B,當(dāng)a=l時(shí)，對(duì)函數(shù)/(x)求導(dǎo)后研究函數(shù)/(x)單調(diào)性求出最值即可；

對(duì)于C、Z)選項(xiàng)，通過(guò)研究函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)/(x)圖像確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及切線，屬于中檔題.

12.【答案】BC

【解析】解：等腰△4BC中，?BAC=120。，BC=2√3,

.?.ABAC=2,值就=2X2X(-；)=-2,

A,???AE=λAB,AF=μAC{λ,μ∈R},EM=2MF,

.?.AM=AE+EM=AE+llF=AE+l(AF-AE')=^AE+lAF=lλAB+lμAC,

??????

AM2=(∣ΛAδ+∣μ^C)2=^λ2+yμ2-∣λμ=^,???A2+4μ2-2λμ=l,4錯(cuò)誤，

B?矛+4〃2—2Λ∕z=1,?*?(Λ—+3/=1,?.?>0??*?(A—<1,.?,—1≤X-μ≤1,

:?B正確,

C設(shè)A—〃=COS。，>∕3μ=sin0,.?.Λ=?sinΘ+cosθ,4=9sin。，

222

則不+〃2=ζ-Lsin0+COSe)2+(?sinθ)=∣sinθ+cosθ+?sinθeosθ

11+cos2β√3√315

=?(1—cos2θ)+K------4—ksin2θ=sin2θ+7COS26+7

L3366

羋Sin(2。+a)+且tana=

OOO

.??當(dāng)$也(2。+2=1時(shí)，則；12+42的最大值為彎ξ.?.C正確，。錯(cuò)誤,

故選：BC.

利用平面向量基本定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷A,由￥+3/?=1,3〃2≥0判斷B,

利用換元法，三角恒等變換判斷CD

本題考查平面向量基本定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，換元法，三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔

題.

13.【答案】12

【解析】解：展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(-2)rcrx6-3r

令6-3r=O得丁=2

：(X2--的展開式中的常數(shù)項(xiàng)艮用2+、=廢(χ2)3-2j∣)2=12.

故答案為12

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令X的指數(shù)為0,求出，?的值,將，?的值代入通項(xiàng),

求出常數(shù)項(xiàng).

本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問(wèn)題.

14.【答案】2sin(2x-≡)

【解析】解：如圖所示，4=2,=

412v3z4

則T=",則=2,

則/(%)=2sin(2x+φ),

又/砥)=2sin(2X1+⑴)=2,

則Sin第+*)=1,則M+3=,+217Γ,k∈Z,

故3=-∕+2kτr,k∈Z,又一5＜wV],則乎=一半

故答案為：2sin(2x-∣).

根據(jù)題意可得出A,再根據(jù)多=居-(一》=與可得3,最后根據(jù)/(沿=25皿2*.+9)=2,

結(jié)合一＜乎＜5，可求乎.

本題考查三角函數(shù)圖象相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】學(xué)Tr

【解析】解：如圖所示，取A8,4∕ι的中點(diǎn)分別為E,F,連接OE,CE,EF,

由題意可得OE=CE=2,即E為底面ABC。外接圓的圓心，

設(shè)EF的中點(diǎn)為。，則。為直四棱柱ABCD-&BlCIDl的外接球的球心，

連接。8,則。E=∣,

由勾股定理可得該棱柱外接球的半徑為R=OB=J(∣)2+22=|,

所以該棱柱外接球的體積是學(xué)R3=學(xué).(∣)3=lpπ.

??Zo

故答案為：~Γ~7τ?

O

取AB,AIBl的中點(diǎn)分別為E,F,EF的中點(diǎn)為。，由幾何圖形的特行可知。為直四棱柱ABCD-

4BIGDl的外接球的球心，據(jù)此求得球的半徑即可確定球的體積.

本題主要考查球與多面體的切接問(wèn)題，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等題.

16.【答案】一3或1

【解析】解：易知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，若/(x)在R上僅有一個(gè)零點(diǎn)，則該零點(diǎn)必為0,即f(0)=0,

所以2α+α2—3=0,解得α=1或α=—3.

故答案為：-3或1.

易知/(x)為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意可知/(0)=0,進(jìn)而得到2α+α2-3=0,由此

得解.

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，偶函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛ατι｝的公差為4

9

由Ik1∩n.得偏：解得伊=j,

(??o=100(10α1+45α=100Irf=2

所以Qn=1+2(n-1)=2n-1；

α2n1n

(2)易知bn=2n=2~=∣×4,

12n

所以〃=瓦+82+…+bn=?(4÷4+…+4)=?×)=24-2,

LL1-q?

令〃=駕工<200,得47l<301,又neN*,44=256,45=1024>301,

所以〃的最大值為4.

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列5｝的公差為止根據(jù)黑普。?？傻茫?瑞=Io(T從而求出為與

d的值即可求出｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)易知b"=2an=22"T=；x4n,從而根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可求出7；,進(jìn)一步結(jié)合

n∈N*并令Tn<200即可求出最大正整數(shù)n的值.

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生邏輯推理與運(yùn)算求解的能力,

屬于中檔題.

18.【答案】(1)證明：ZkABC中，3acosC—6=0,由正弦定理得3sin4cosC—SinB=0,

又B=Tr-(A+C)，所以3sin∕COSC-Sin(A+C)=0,

所以3sin4cosC—(sin∕4cosC+COS4sinC)=0,

所以2sin4cosC=COSASinC,

所以2,"4=即tanC=2tan4;

cosACoSC

(2)解：若3c=V7b,COSC=品

由余弦定理得，cosC==?,

t?2abe'3a

所以3(a2+/一c2)=2b2t

所以3a2+b2-3c2=3a2+b2-3×^b2=3a2-jb2=0,

所以α=∣b,

計(jì)算COSC=^-=—

3ɑ3X的2

又因?yàn)镃e(O,兀)，所以C=?

【解析】(1)根據(jù)正弦定理與三角形內(nèi)角和定理，利用三角恒等變換，即可證明結(jié)論成立;

(2)根據(jù)題意，利用余弦定理求得“與b的關(guān)系，即可求出CoSC與C的大小.

本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19.【答案】解：(1)計(jì)算抽到的女性人數(shù)為400X0.45=180,根據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下;

喜愛不喜愛合計(jì)

120100220

?i?80100180

合計(jì)200200400

'+WY2-400x(120x100-80x100)2

“舁——220×180×200×200—≈4.040<5.024,

根據(jù)小概率值α=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為喜愛馬拉松項(xiàng)目與性別有關(guān)聯(lián).

(2)用分層抽樣法從接受問(wèn)卷調(diào)查且喜愛馬拉松的居民中隨機(jī)抽取10人，男性有IOX/=6人,

女性有4人，從這10人中隨機(jī)抽取4人，抽到的4人中至少有2名女士的概率為

D_C不。看+C,?C[+或_23

【解析】(1)計(jì)算抽到的女性人數(shù)，填寫列聯(lián)表，計(jì)算χ2,對(duì)照附表得出結(jié)論.

(2)用分層抽樣法計(jì)算抽取的男性、女性人數(shù)，再計(jì)算所求的概率值.

本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)證明：:點(diǎn)尸在底面的射影。在AABC的高CO

上，

ΛPO1底面ABC,乂ABU底面ABC,

.?.AB1.PO,y.AB1DC,POCDC=0,

：.AB1平面PDC,又PCU平面PDC,

PCLAB,

-.-AB1平面PDC,

.??截面QAB與底面ABC所成的二面角的平面角為“DC=NOPC,

又NOPC+"Co=90°,

.?./.QDC+?PC0=90。，

.?.PCIDQ,JLPC1AB,SLDQCtAB=D,

：.PC_L平面QAB；

(2)根據(jù)題意及(1)易證△DQg4POC,

421

???PO=DQ=4,PQ=DO=2,tan?DPQ=-=2,tan∕-DP0=ξ=-,

2-53—,

?tanzC0P=tan(N0PQ—乙DPO)=?q-?=又P。=4,

???OC=3,

以過(guò)。且平行于A8的直線為)，軸，CQ為X軸，。尸直線為Z軸，建立如圖的坐標(biāo)系,

貝IJ根據(jù)題意可得P(0,0,4),4(2,-2,0),8(2,2,0),6(-3,0,0),

二麗=(2,2,-4),AB=(0,4,0),CB=(5,2,0),

設(shè)平面ABP與平面BPC的法向量分別為沅=(Xy,z),元=(α,b,c),

則M?翌=2x+2y-4z=0,伊.里=2α+2b-4c=0,

l≡-AB=4y=0m-CB=5α+2b=0

取布=(2,0,1),n=(4,-10,-3),

ΛCOS<≡<H>=√?√5=Γ

???平面ABP與平面BPC所成夾角的余弦值為最

【解析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)即可證明；

(2)先通過(guò)平面幾何知識(shí)算出。C,再建系，最后利用向量法求面面角.

本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，向量法求面面角，向量夾角公式的應(yīng)用，屬中檔題.

__________22

21.【答案】解：⑴由題意α=2c,b=√α2-c2=√3c,故橢圓C：+?2=1,

代入點(diǎn)解得c=l,a=2,b=y∕3,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+1=1；

證明：(2)由題意右焦點(diǎn)F(1,0),Λ(-2,0),8(2,0),

若直線/斜率不存在，直線方程為：x=l,代入橢圓方程可得Hl=1,解得y=±|,即M(l,∣),

NQ-J

11QQ

故直線AM：y=i(x+2),AN：y=-i(χ+2),BM：y=-](x-2),BN：y=∣(x-2),

(y=:(x+2)fy=-?(x+2)

聯(lián)立1n，可得P(4,3),聯(lián)立<\,可得Q(4,-3),

卜=如-2)[y=-∣(x-2)

Xp=XQ,故PQJ.X軸；

若直線/斜率存在，直線方程為：y=k(x-l),與橢圓聯(lián)立

y-

fc(-

∕X=-

+y2222

431即(4^2+3)X-8kx+4k-12=O,Δ>O恒成立,

不妨設(shè)M(%ι,yι),N(%2,y2%

故"1+"2=彘，xlx2=先冷'

故直線AM：y??(?+2),AMy=晶(X+2),BM-.y=已(尤-2),8N：y=抬(X-2),

r當(dāng)Γ2?

ly=-X÷1

市2?√

聯(lián)

uz立<4xX2÷2x2-θzl

?l及可得孫1

yzX2λ

=一(打一

k2-κ-√l3%2+4

寸

/為z2Λ

Dy=-(X+

一2?√

聯(lián)

z立

u<4XX+2X-6X2

?)時(shí)可得和=121

y=(zX2?

l2-v-√J3xι+0―4

-Z/l

32kj-48R-32√÷48ɑ

__%%2+2-2-6打_4-1-2+2久1-6工2_4.+31_4必+31_∩

p

Q_3X2+?1-43X1÷X2-4-8*122哭-8^+12?2χ~，

4∕?+3?4∕C2+3?

所以4=XQ,故PQjLX軸；

綜上：PQLx軸.

【解析】(1)由題意a=2c,b=√α2-c2=√3c,代入點(diǎn)坐標(biāo)求解即可；

(2)分直線/斜率存在，不存在兩種情況討論，與橢圓聯(lián)立，表示出直線AM,