2021年四川省廣元市高考數(shù)學(xué)第三次適應(yīng)性試卷（理科）一、選擇題（每小題5分）.1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2﹣1＜0}，則A∪B＝（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，1）2．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（2+i）（1﹣i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知p：x（x﹣1）＝0，q：x＝1，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．已知非零向量、滿足向量+與向量﹣的夾角為，那么下列結(jié)論中一定成立的是（）A．＝ B．||＝|| C．⊥ D．∥5．執(zhí)行如圖的程序，若輸入n＝3，x＝3，則輸出y的值為（）A．4 B．13 C．40 D．1216．已知函數(shù)，則（）A．y＝f（x）的圖象關(guān)于點（2，0）對稱 B．y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對稱 C．f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減 D．f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，4）上單調(diào)遞增7．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n8．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，且an+1﹣an＝n+1（n∈N+），則數(shù)列的前10項和為（）A． B． C． D．9．（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展開式中x2的系數(shù)是（）A．60 B．80 C．84 D．12010．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為x2+y2≤2，若將軍從點A（3，0）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y＝4，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A． B． C． D．11．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若xf′（x）﹣2f（x）＞0，f（﹣3）＝1，則不等式＜x的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B．（﹣3，3） C．（﹣3，0）∪（0，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）12．已知雙曲線E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作圓O：x2+y2＝a2的切線，切點為T，延長F2T交雙曲線E的左支于點P．若|PF2|＞2|TF2|，則雙曲線E的離心率的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（，+∞） C． D．二、填空題（每小題5分）.13．已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a5+a8＝15，則a3+a7＝．14．某正三棱錐正視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為．15．有4名男生、3名女生排隊照相，7個人排成一排．①如果4名男生必須連排在一起，那么有720種不同排法；②如果3名女生按確定的某種順序，那么有840種不同的排法；③如果女生不能站在兩端，那么有1440種不同排法；④如果3名女生中任何兩名不能排在一起，那么有1440種不同排法；則以上說法正確的有．16．用T（n）表示正整數(shù)n所有因數(shù)中最大的那個奇數(shù)，例如：9的因數(shù)有1，3，9，則T（9）＝9，10的因數(shù)有1，2，5，10，則T（10）＝5．計算T（1）+T（2）+T（3）+…+T（22021﹣1）＝．三、解答題：（本大題共5小題，第22（或23）小題10分，其余每題12分，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程、計算步驟．)17．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c＝6，△ABC的面積為2，求b．18．廣元某中學(xué)調(diào)查了該校某班全部40名同學(xué)參加棋藝社團(tuán)和武術(shù)社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如表：（單位：人）參加棋藝社團(tuán)未參加棋藝社團(tuán)參加武術(shù)社團(tuán)810未參加武術(shù)社團(tuán)715（Ⅰ）能否有95%的把握認(rèn)為參加棋藝社團(tuán)和參加武術(shù)社團(tuán)有關(guān)？（Ⅱ）已知既參加棋藝社團(tuán)又參加武術(shù)社團(tuán)的8名同學(xué)中，有3名男同學(xué)，5名女同學(xué)．現(xiàn)從這3名男同學(xué)，5名女同學(xué)中隨機(jī)選5人參加綜合素質(zhì)大賽，求被選中的女生人數(shù)X的分布列和期望．附：K2＝．P（K2≥k0）k019．如圖，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，點D是BC的中點．（1）求證：AD⊥C1D；（2）求平面ADC1與平面ABB1A1所成二面角的正弦值．20．已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F．（Ⅰ）若點C（p，1）到拋物線準(zhǔn)線的距離是它到焦點距離的倍，求拋物線的方程；（Ⅱ）點C（p，1），若線段CF的中垂線交拋物線于A，B兩點，求三角形ABF面積的最小值．21．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣ax﹣ln2（a∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＝2時，求函數(shù)g（x）＝f（x）﹣cosx+ln2在（﹣，+∞）上的零點個數(shù)．選考題：考生從22、23兩題中任選一題作答，將選擇的題號對應(yīng)的方框用2B鉛筆涂黑，多做按所答第一題計分．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在極坐標(biāo)系下，知圓O：ρ＝cosθ+sinθ和直線．（1）求圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)θ∈（0，π）時，求圓O和直線l的公共點的極坐標(biāo)．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式f（x﹣2）≥0的解集為（﹣∞，4]．（1）求m的值；（2）若a＞0，b＞0，c＞3，且a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值．參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2﹣1＜0}，則A∪B＝（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，1）解：集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2﹣1＜0}＝{x|﹣1＜x＜1}，A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．故選：B．2．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（2+i）（1﹣i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：因為（2+i）（1﹣i）＝2﹣2i+i﹣i2＝3﹣i，其對應(yīng)點（3，﹣1）在第四象限．故選：D．3．已知p：x（x﹣1）＝0，q：x＝1，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件解：p：解方程x（x﹣1）＝0，得x＝0或x＝1，∴p是q的必要不充分條件，故選：B．4．已知非零向量、滿足向量+與向量﹣的夾角為，那么下列結(jié)論中一定成立的是（）A．＝ B．||＝|| C．⊥ D．∥解：由題意可得（）⊥（），∴（）?（）＝﹣＝0，∴||＝||，故選：B．5．執(zhí)行如圖的程序，若輸入n＝3，x＝3，則輸出y的值為（）A．4 B．13 C．40 D．121解：模擬程序的運行，可得n＝3，x＝3，y＝1，i＝2滿足條件i≥0，執(zhí)行循環(huán)體，y＝4，i＝1滿足條件i≥0，執(zhí)行循環(huán)體，y＝13，i＝0滿足條件i≥0，執(zhí)行循環(huán)體，y＝40，i＝﹣1不滿足條件i≥0，退出循環(huán)，輸出y的值為40．故選：C．6．已知函數(shù)，則（）A．y＝f（x）的圖象關(guān)于點（2，0）對稱 B．y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對稱 C．f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減 D．f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，4）上單調(diào)遞增解：＞0，則函數(shù)定義域為（0，4），f（1）＝ln，f（3）＝ln3，即f（3）＝﹣f（1），有關(guān)于點（2，0）對稱的可能，進(jìn)而推測f（x+2）為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，f（x+2）＝ln，定義域為（﹣2，2），奇函數(shù)且單調(diào)遞增，∴f（x）為f（x+2）向右平移兩個單位得到，則函數(shù)在（0，4）單調(diào)遞增，關(guān)于點（2，0）對稱，故選：A．7．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n解：若α⊥β，m?α，n?β，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正確；若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β或α與β相交，故C錯誤；若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m，n異面，故D錯誤．故選：B．8．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，且an+1﹣an＝n+1（n∈N+），則數(shù)列的前10項和為（）A． B． C． D．解：∵a1＝1，且an+1﹣an＝n+1（n∈N+），∴an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝n+（n﹣1）+…+2+1＝，∴＝2．∴數(shù)列的前10項和＝+…+＝2×＝．故選：B．9．（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展開式中x2的系數(shù)是（）A．60 B．80 C．84 D．120解：（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展開式中x2的系數(shù)為．故選：D．10．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為x2+y2≤2，若將軍從點A（3，0）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y＝4，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A． B． C． D．解：設(shè)點A關(guān)于直線x+y＝4的對稱點A'（a，b），設(shè)軍營所在區(qū)域為的圓心為C，根據(jù)題意，A'C﹣為最短距離，先求出A'的坐標(biāo)，AA'的中點為（，），直線AA'的斜率為1，故直線AA'為y＝x﹣3，由，聯(lián)立得故a＝4，b＝1，所以A'C＝，故A'C﹣＝，故選：B．11．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若xf′（x）﹣2f（x）＞0，f（﹣3）＝1，則不等式＜x的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B．（﹣3，3） C．（﹣3，0）∪（0，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）解：令，則，∴當(dāng)x＞0時，g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，又f（x）為偶函數(shù)，則g（x）也為偶函數(shù)，∴g（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，又f（﹣3）＝1，則，∴當(dāng)x＞0時，即為，即g（x）＜g（﹣3）＝g（3），解得0＜x＜3；當(dāng)x＜0時，即為，即g（x）＞g（﹣3），解得x＜﹣3．∴所求不等式的解集為（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故選：A．12．已知雙曲線E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作圓O：x2+y2＝a2的切線，切點為T，延長F2T交雙曲線E的左支于點P．若|PF2|＞2|TF2|，則雙曲線E的離心率的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（，+∞） C． D．解：在Rt△OTF2中，|OT|＝a，|OF2|＝c，∴|TF2|＝b，cos∠PF2F1＝，由雙曲線的定義知，|PF2|﹣|PF1|＝2a，在△PF1F2中，由余弦定理知，|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|?|F1F2|?cos∠PF2F1，∴（|PF2|﹣2a）2＝|PF2|2+4c2﹣2|PF2|?2c?，解得|PF2|＝＝＞0，∴b＞a，∵|PF2|＞2|TF2|，∴＞2b，即b＜2a，∴1＜＜2，∴離心率e＝＝∈（，）．故選：C．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a5+a8＝15，則a3+a7＝10．解：∵等差數(shù)列{an}滿足a2+a5+a8＝15，∴a2+a5+a8＝3a5＝15，解得a5＝5，∴a3+a7＝2a5＝10．故答案為：10．14．某正三棱錐正視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為6．解：由正視圖知，該正三棱錐的底邊長為AB＝6，高為PO＝4，畫出正三棱錐P﹣ABC的直觀圖，如圖所示：則側(cè)視圖是底邊長為CD＝6×＝3，高為PO＝4的三角形，所以該三角形的面積為S＝×3×4＝6．故答案為：6．15．有4名男生、3名女生排隊照相，7個人排成一排．①如果4名男生必須連排在一起，那么有720種不同排法；②如果3名女生按確定的某種順序，那么有840種不同的排法；③如果女生不能站在兩端，那么有1440種不同排法；④如果3名女生中任何兩名不能排在一起，那么有1440種不同排法；則以上說法正確的有②③④．解：有4名男生、3名女生排隊照相，7個人排成一排，如果4名男生必須連排在一起，則用捆綁﹣內(nèi)部調(diào)整法，共有?＝576種不同排法，故A①誤；如果3名女生按確定的某種順序，那么有＝840種不同的排法，故②正確；如果女生不能站在兩端，則先選2名男生排在兩端，有?＝1440種不同排法，故③正確；如果3名女生中任何兩名不能排在一起，那么先排好男生，女生插空，有?＝1440種不同排法，故④正確，故答案為：②③④．16．用T（n）表示正整數(shù)n所有因數(shù)中最大的那個奇數(shù)，例如：9的因數(shù)有1，3，9，則T（9）＝9，10的因數(shù)有1，2，5，10，則T（10）＝5．計算T（1）+T（2）+T（3）+…+T（22021﹣1）＝．解：由T（n）的定義易知T（n）＝T（2n），且若n為奇數(shù)則T（n）＝n，令f（n）＝T（1）+T（2）+T（3）+…+T（2n﹣1），則f（n+1）＝T（1）+T（2）+T（3）+…+T（2n+1﹣1）＝1+3+…+（2n+1﹣1）+T（2）+T（4）+…+T（2n+1﹣2）＝+T（1）+T（2）+…+T（2n﹣1）＝4n+f（n），即f（n+1）﹣f（n）＝4n，分別取n為1，2，…，n并累加得f（n+1）﹣f（1）＝4+42+…+4n＝＝（4n﹣1），又f（1）＝T（1）＝1，所以f（n+1）＝（4n﹣1）+1，所以f（n）＝T（1）+T（2）+T（3）+…+T（2n﹣1）＝（4n﹣1﹣1）+1，令n＝22021﹣1，得：T（1）+T（2）+T（3）+…+T（22021﹣1）＝（42021﹣1﹣1）+1＝．故答案為：．三、解答題：（本大題共5小題，第22（或23）小題10分，其余每題12分，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程、計算步驟．)17．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c＝6，△ABC的面積為2，求b．解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sinB＝4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，∴cosB＝；（2）由（1）可知sinB＝，∵S△ABC＝ac?sinB＝2，∴ac＝，∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2××＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．18．廣元某中學(xué)調(diào)查了該校某班全部40名同學(xué)參加棋藝社團(tuán)和武術(shù)社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如表：（單位：人）參加棋藝社團(tuán)未參加棋藝社團(tuán)參加武術(shù)社團(tuán)810未參加武術(shù)社團(tuán)715（Ⅰ）能否有95%的把握認(rèn)為參加棋藝社團(tuán)和參加武術(shù)社團(tuán)有關(guān)？（Ⅱ）已知既參加棋藝社團(tuán)又參加武術(shù)社團(tuán)的8名同學(xué)中，有3名男同學(xué)，5名女同學(xué)．現(xiàn)從這3名男同學(xué)，5名女同學(xué)中隨機(jī)選5人參加綜合素質(zhì)大賽，求被選中的女生人數(shù)X的分布列和期望．附：K2＝．P（K2≥k0）k0解：（Ⅰ）由K2＝＝0.6734＜3.841，所以沒有95%的把握認(rèn)為參加棋藝社團(tuán)和參加武術(shù)社團(tuán)有關(guān)；（Ⅱ）由題意可知，X的可能取值為2，3，4，5，所以P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，則X的分布列為：X2345P所以E（X）＝2×+3×+4×+5×＝．19．如圖，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，點D是BC的中點．（1）求證：AD⊥C1D；（2）求平面ADC1與平面ABB1A1所成二面角的正弦值．【解答】（1）證明：在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則A（0，0，0），B（2，0，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），＝（1，1，0），＝（1，﹣1，﹣4），∵，∴，即AD⊥C1D；（2）解：由（1）知，＝（1，1，0），＝（0，2，4），設(shè)平面ADC1的法向量為，由，取z＝1，得y＝﹣2，x＝2，∴平面ADC1的法向量為＝（2，﹣2，1），平面ABA1的一個法向量＝（0，1，0），設(shè)平面ADC1與ABB1A1所成二面角為θ，∴cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴sinθ＝．∴平面ADC1與ABB1A1所成二面角的正弦值為．20．已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F．（Ⅰ）若點C（p，1）到拋物線準(zhǔn)線的距離是它到焦點距離的倍，求拋物線的方程；（Ⅱ）點C（p，1），若線段CF的中垂線交拋物線于A，B兩點，求三角形ABF面積的最小值．解：（I）拋物線的準(zhǔn)線方程是，焦點坐標(biāo)為∴，∵p＞0，∴，∴拋物線的方程為，（II）由題意，可得線段CF的中點坐標(biāo)為M（），，∴，∴直線AB的方程為，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），，∴，∴，∴＝＝，又∵根據(jù)兩點之間距離公式，∴，∴＝，令t＝p2，（t＞0），則，求導(dǎo)，∴當(dāng)0＜t＜2時，f'（t）＜0，f（t）單調(diào)遞減，當(dāng)t＞2時，f'（x）＞0，f（t）單調(diào)遞增，∴當(dāng)t＝2時，即時，S△ABF取得最小值，最小值為．21．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣ax﹣ln2（a∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＝2時，求函數(shù)g（x）＝f（x）﹣cosx+ln2在（﹣，+∞）上的零點個數(shù)．解：（1）由已知得函數(shù)f（x）的定義域為R，f'（x）＝ex﹣a，①當(dāng)a≤0時，因為f'（x）＞0，所以f（x）在R上單調(diào)遞增，②當(dāng)a＞0時，令f'（x）＞0，得x＞lna；令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時，f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增；（2）由已知得g（x）＝ex﹣2x﹣cosx，x∈（﹣，+∞），則g'（x）＝ex+sinx﹣2，①當(dāng)x時，因為g'（x）＝（ex﹣1）+（sinx﹣1）＜0，所以g（x）在（﹣，0）上單調(diào)遞減，所以g（x）＞g（0）＝0，所以g（x）在（﹣，0）上無零點，②當(dāng)x時，因為g'（x