立體幾何知識(shí)點(diǎn)整理2.線面平行姓名： ．直線和平面的三種位置關(guān)系方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。l〃mmua>nl//al乞a方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。1.線面平行a//p|lupjnl//a2.線面相交符號(hào)表示：．平行關(guān)系：方法三：用平面法向量實(shí)現(xiàn)。若n為平面a的一個(gè)法向*量，n丄/且lwa,則l//a。3.面面平行：符號(hào)表示：1.線線平行：ll//alupjnl//macP=m方法一：用線面平行實(shí)現(xiàn)。方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。l//1'm//m'l,muP且相交l',m'ua且相交方法二：用線面平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。方法三：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。a〃P、Yca=ll//mYcP=m三．垂直關(guān)系l//am//a jna//Pl,muP且相交1.線面垂直：若l丄a,m丄a，則l//m。方法四：用向量方法：■若向量l和向量m共線且l、m不重合，則l//m。方法一：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。l丄AC

l丄AB>nl丄aACcAB二AAC,ABua

方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。步驟2：解三角形求出角。（常用到余弦定理）2.面面垂直：a丄卩、=ml丄al丄m,luB余弦定理：方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。卩卩/丄aluB方法二：計(jì)算所成二面角為直角。3.線線垂直：方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。/方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。步驟2：解三角形求出角。（常用到余弦定理）2.面面垂直：a丄卩、=ml丄al丄m,luB余弦定理：方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。卩卩/丄aluB方法二：計(jì)算所成二面角為直角。3.線線垂直：方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。/丄a]>n/丄mmuaj方法二：三垂線定理及其逆定理。方法三：用向量方法：PO丄a、l丄OA|nl丄PAluaa2+b2一c2cos0=2ab（計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角）方法二：向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角（二）線面角（計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角）：cos0二AB-ACAB-IAC（1）定義：直線l上任取一點(diǎn)P（交點(diǎn)除外），作PO丄a于O,連結(jié)A0,則AO為斜線PA在面a內(nèi)的射影，ZPAO（圖中0）為直線l與面a所成的角。(2)范圍：[0°,90°]當(dāng)0=0°時(shí)，lua或l//a當(dāng)0=90°時(shí)，l丄a（3）求法：方法一：定義法。若向量l和向量m的數(shù)量積為0則l丄m。三．夾角問(wèn)題。（一）異面直線所成的角（1）范圍：（0°,90°]

步驟1：作出線面角，并證明。步驟2：解三角形，求出線面角。方法二：向量法（n為平面a的一個(gè)法向量）。sin0=cos<n,AP>n-APn-APn-AP（2）求法：方法一：定義法。步驟1：平移，使它們相交，找到夾角。dd=AP-cos<n-AP>（三）二面角及其平面角（1）定義：在棱l上取一點(diǎn)P,兩個(gè)半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n,則射線m和n的夾角9為二面角d—I—卩的平面角。(2)范圍:[0°,180。]（3）求法：方法一：定義法。步驟1：作出二面角的平面角（三垂線定理）,并證明步驟2：解三角形,求出二面角的平面角。方法二：截面法。步驟1：如圖，若平面POA同時(shí)垂直于平面d和卩，四．距離問(wèn)題。1．點(diǎn)面距。方法一：幾何法。步驟1：過(guò)點(diǎn)P作PO丄d于O,線段PO即為所求。步驟2：計(jì)算線段PO的長(zhǎng)度。（直接解三角形；等體積法和等面積法；換點(diǎn)法）方法二：坐標(biāo)法。n-AP2．線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距。3．異面直線之間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。步驟2：方法三：坐標(biāo)法（步驟2：方法三：坐標(biāo)法（計(jì)算結(jié)果可能與二面角互補(bǔ)）。則交線（射線）AP和AO的夾角就是二面角。、 m-n—如圖，m和n為兩條異面直線，nua且m//d，則異面直線m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m與平面d之間的距離。方法二：直接計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度。方法三：公式法。步驟二：判斷9與＜n-n＞的關(guān)系，可能相等或12者互補(bǔ)。如圖，AD是異面直線m和n的公垂線段m//m'，則異面直線m和n之間的距離為：d=\c2-a2-b2土2abcos9A，B，CA，B，C，D四點(diǎn)共面uAB=xAC+yAD五．空間向量（一）空間向量基本定理若向量a,b,c為空間中不共面的三個(gè)向量，則對(duì)空—?間中任意一個(gè)向量p，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)—F —F —F—FX、y、z，使得p=xa+yb+zc。（二） 三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面問(wèn)題1.A,B，C三點(diǎn)共線OOA=x0B+yOC，且x+y=1當(dāng)X=工2時(shí)亠是線段BC的 A，B，C三點(diǎn)共線OAB二九AC2.A，B，C，D四點(diǎn)共面OOA=xOB+yOC+zOD，且x+y+z=1當(dāng)X=y壬=3時(shí)，A是△ABC的 （三）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知空間中A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:A（x,y,z），B（x,y,z）則：111222AB= ；d=AB= A,B2^空間中的向量a=（x,卄z），b=（x,y,z）111222貝Ha+b= 亠a-b= a-b二 cosVa二b>= 六?常見(jiàn)幾何體的特征及運(yùn)算—A—? —?—?（一）長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體的對(duì)角線相等且互相平分。若長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與相鄰的三條棱所成的

角分別為a、卩、Y，則cos2a+cos2卩+：os2y=若長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與相鄰的三個(gè)面所成的角分別為a、卩、y，則cos2a+cos2P+cos2y=若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a、b、c，則體對(duì)角線長(zhǎng)為 ，表面積為 ，體積為。（二） 正棱錐：底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影在底面中心。（三） 正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。（四） 正多面體：每個(gè)面有相同邊數(shù)的正多邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)有相同棱數(shù)的凸多面體。（只有五種正多面體）（五） 棱錐的性質(zhì)：平行于底面的的截面與底面相似，且面積比等于頂點(diǎn)到截面的距離與棱錐的高的平方比。正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。（六）