2022-2023學(xué)年廣東省珠海市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A．66 B．54 C．26 D．14【答案】B【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】.故選：B2．已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表，則其數(shù)學(xué)期望（

）1240.20.6A．1 B．0.2 C．2.8 D．3【答案】D【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求解，進(jìn)而又期望的公式即可求解.【詳解】由表可知：，所以，故選:D3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】直接利用等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意，則，解得，所以.故選：A4．在楊輝三角中，每一個(gè)數(shù)值是它肩上面兩個(gè)數(shù)值之和.這個(gè)三角形開頭幾行如下圖，若第行從左到右第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)的比值為2，則（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】由楊輝三角的性質(zhì)知，第n行的數(shù)對(duì)應(yīng)的是展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由楊輝三角的性質(zhì)知，第n行的數(shù)對(duì)應(yīng)的是展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)榈谛袕淖蟮接业?2個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)的比值為2，所以，即，解得.故選：C.5．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可結(jié)合選項(xiàng)求解.【詳解】對(duì)于A,,故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,,故D錯(cuò)誤，故選：B6．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的定義可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，易知該數(shù)列的公比為，則，即，解得.故選：C.7．已知定義在上的函數(shù)的圖象如圖，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系，分類討論，，，與五種情況即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，此時(shí)，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，此時(shí)，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，此時(shí)，所以，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，易得，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，易得，則，不滿足題意；綜上：或，即不等式的解集為.故選：D.8．設(shè)函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足不等式，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】∵，∴，∴函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，又，∵，∴，∴恒成立，則是增函數(shù)，∵，∴，∴，得，故選：A二、多選題9．設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，則下列命題正確的是（

）A．若，則數(shù)列為等差數(shù)列B．若，則數(shù)列為等比數(shù)列C．若數(shù)列是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】AC【分析】對(duì)于A，C，利用等差數(shù)列的定義判斷即可，對(duì)于B，D，通過舉反例判斷【詳解】解：對(duì)于A，由等差數(shù)列的定義可知當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，所以，所以，，成等差數(shù)列，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比，為偶數(shù)時(shí)，，，均為零，所以，，不成等比數(shù)列，所以D錯(cuò)誤，故選：AC10．某商場(chǎng)設(shè)有電子盲盒機(jī)，每個(gè)盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個(gè)玩家只能用一個(gè)賬號(hào)登陸，且每次只能隨機(jī)選擇一個(gè)開啟．已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為，從第二次抽盲盒開始，若前一次沒抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為．記玩家第次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為，則（

）A． B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．當(dāng)時(shí)，越大，越小【答案】ABC【分析】記玩家第次抽盲盒并抽中獎(jiǎng)品為事件，依題意，，，，利用全概率公式可判斷A選項(xiàng)；利用全概率公式推出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷B選項(xiàng)；求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷C選項(xiàng)；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】記玩家第次抽盲盒并抽中獎(jiǎng)品為事件，依題意，，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，，所以，，又因?yàn)?，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則隨著的增大而減小，所以，.綜上所述，對(duì)任意的，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，D錯(cuò).故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的典型方法：（1）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；（2）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；（3）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，用累加法求解；（4）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，用累乘法求解.11．下列結(jié)論正確的有（

）A．若隨機(jī)變量滿足，則B．若隨機(jī)變量，且，則C．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則D．對(duì)于事件，若，且，則【答案】BD【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)判斷A，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解概率判斷B，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式及期望的性質(zhì)判斷C，根據(jù)條件概率公式求解判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)方差的性質(zhì)得，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，，所以，正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)榱糠亩?xiàng)分布，所以，則根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得，解得，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，根?jù)條件概率公式得，正確.故選：BD12．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.若函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，且點(diǎn)處的切線方程為，函數(shù)，則（

）A．，B．C．存在最大值，且最大值為D．存在最小值，且最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)切線的斜率以及切點(diǎn)為切線與曲線的公共點(diǎn)求出、的值，可判斷A選項(xiàng)；寫出函數(shù)的解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷B選項(xiàng)；寫出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以，，且，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，可得，所以，，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，令可得或，故點(diǎn)，B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，由可得，即，所以，，所以，，令，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)存在最小值，且最小值為，C錯(cuò)D對(duì).故選：ABD.三、填空題13．在的展開式中，的系數(shù)為.【答案】【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故答案為：14．已知函數(shù)，若直線過點(diǎn)，并且與曲線相切，則直線l的方程為．【答案】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程為，再根據(jù)切線過點(diǎn)，可求出，進(jìn)而求出結(jié)果．【詳解】∵點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．又∵，所以∴在處的切線方程為，∵切線過點(diǎn)，∴，解得，∴直線的方程為：，即直線方程為.故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：．若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為．15．A，B，C，D，E共5位教師志愿者被安排到甲?乙?丙?丁4所學(xué)校參加支教活動(dòng)，要求每所學(xué)校至少安排一位教師志愿者，且每位教師志愿者只能到一所學(xué)校支教，在A教師志愿者被安排到甲學(xué)校支教的前提下，甲學(xué)校有兩名教師志愿者的概率為.【答案】/0.4【分析】求出A教師志愿者被安排到甲學(xué)校的排法，然后再求出在A教師志愿者被安排到甲學(xué)校支教的前提下，甲學(xué)校有兩名志愿者的排法，根據(jù)條件概率進(jìn)行計(jì)算，從而可求解．【詳解】A教師志愿者被安排到甲學(xué)校，若甲學(xué)校只有一個(gè)人，則有種安排方法，若甲學(xué)校有2個(gè)人，則有種安排方法，A教師志愿者被安排到甲學(xué)校共有60種安排方法，在A教師志愿者被安排到甲學(xué)校支教的前提下，甲學(xué)校有兩名志愿者的安排方法有24種，所以在A教師志愿者被安排到甲學(xué)校支教的前提下，甲學(xué)校有兩名志愿者的概率是，故答案為：16．已知非零數(shù)列，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】由已知條件，可得，所以①，，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，將①代入可得，,化簡(jiǎn)得，，，當(dāng)時(shí)，由，則，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，，因?yàn)?，所以，故答案?.四、解答題17．已知數(shù)列，滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若等差數(shù)列的公差為成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先對(duì)遞推式變形得，作差即可得，再利用等差中項(xiàng)證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）利用等比中項(xiàng)及等差數(shù)列基本量的運(yùn)算求得，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）由，得，所以，兩式相減得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由等差數(shù)列的公差為2，得，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以.18．二項(xiàng)式展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22.(1)求的值；(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】(1)6(2)常數(shù)項(xiàng)為960，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)即可列式子求解，（2）根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征，即可求解.【詳解】（1）展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22，或（舍），故的值為6.（2）由題可得，展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，即；設(shè)展開式中常數(shù)項(xiàng)為第項(xiàng)，即，令，得，，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)，即960.19．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R).（1）當(dāng)a＝時(shí)，求f(x)的極值；（2）討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1）f(x)極大值＝ln2－1，無極小值；（2）答案見解析.【分析】（1）當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝lnx－x，求導(dǎo)得到f′(x)＝－＝，然后利用極值的定義求解.（2）由（1）知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0)，然后分a≤0和a>0兩種情況討論求解.【詳解】（1）當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝lnx－x，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)且f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝2，于是當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln2－1，無極小值.（2）由（1）知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0).當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在定義域上無極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，故函數(shù)在x＝處有極大值.綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)，且為x＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值以及極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20．月日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成、、、、、、、、九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間的中位數(shù)（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(2)為進(jìn)一步了解這名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在、、三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中、、、、.當(dāng)最大時(shí)，寫出的值，并說明理由.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)，理由見解析【分析】（1）設(shè)中位數(shù)為，分析可知，，利用中位數(shù)的定義可得出關(guān)于的等式，解之即可；（2）計(jì)算出按分層抽樣所抽取的人中，從日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生抽取的學(xué)生人數(shù)，分析可知，的可能取值為、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值；（3）分析可知，計(jì)算得出，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可求得當(dāng)取最大值時(shí)，的值.【詳解】（1）設(shè)中位數(shù)為，前四個(gè)矩形的面積之和為，前五個(gè)矩形的面積之和為，所以可設(shè)中位數(shù)為，由中位數(shù)的定義可得，解得.（2）由頻率分布直方圖，得這名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在、、三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：，，，若采用分層抽樣的方法抽取了人，則從日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取人，從這人中隨機(jī)抽取人，則的可能取值為、、、，，，，，所以，的分布列為數(shù)學(xué)期望.（3）可知，原因如下：由頻率分布直方圖，得，解得，所以，學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，則，所以，其中，由組合數(shù)的性質(zhì)，得當(dāng)時(shí)，最大，則最大.21．設(shè)有甲?乙?丙三個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱中裝有除顏色外其他都相同的四個(gè)球，其中甲箱有兩個(gè)黃球和兩個(gè)黑球，乙箱有三個(gè)紅球和一個(gè)白球，丙箱有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球.完成以下步驟稱為一次“操作”：先一次從甲箱中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，若從甲箱中摸出的兩個(gè)球同色，則從乙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)球放入丙箱，再一次從丙箱中隨機(jī)摸出兩個(gè)球；若從甲箱中摸出的兩個(gè)球不同色，則從丙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)球放入乙箱，再一次從乙箱中隨機(jī)摸出兩個(gè)球.(1)求一次“操作”完成后，最后摸出的兩個(gè)球均為白球的概率；(2)若一次“操作”最后摸出的兩個(gè)球均為白球，求這兩個(gè)球是從丙箱中摸出的概率；(3)若摸出每個(gè)紅球記1分，摸出每個(gè)白球記-2分.用表示一次“操作”完成后，最后摸到的兩個(gè)球的分?jǐn)?shù)之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)(3)分布列見解析，【分析】（1）結(jié)合組合數(shù)知識(shí)，根據(jù)概率的乘法和加法公式求解即可；（2）利用條件概率計(jì)算即可；（3）確定X的所有可能取值，求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)“從甲箱摸出兩個(gè)球?yàn)橥睘槭录?，“從乙箱摸出一個(gè)球?yàn)榧t色”為事件，“從丙箱摸出一個(gè)球?yàn)榧t色”為事件，“一次操作完成后，最后摸出的兩個(gè)球均為白色”為事件D，則，所以，，所以，所以，所以.（2）設(shè)“這兩個(gè)球是從丙箱中摸出”為事件，則（3）