數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用課前·基礎(chǔ)認(rèn)知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標(biāo)定位隨堂訓(xùn)練素養(yǎng)?目標(biāo)定位目標(biāo)素養(yǎng)1.探索楊輝三角性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和證明.2.體會(huì)楊輝三角的應(yīng)用.3.通過(guò)學(xué)習(xí),提升直觀想象、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)和人文素養(yǎng).知識(shí)概覽課前·基礎(chǔ)認(rèn)知1.楊輝三角我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中,把二項(xiàng)式系數(shù)圖形化,使組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地體現(xiàn)出來(lái).(a+b)n的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù),當(dāng)n依次取1,2,3,…時(shí),如圖所示:上圖稱為楊輝三角(或帕斯卡三角).2.楊輝三角的特點(diǎn)觀察楊輝三角的相鄰兩行,可以發(fā)現(xiàn),三角形的兩個(gè)腰都是由數(shù)字1組成的,其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加,即微思考

根據(jù)楊輝三角的特點(diǎn),在楊輝三角同一行中與兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等,你可以得到二項(xiàng)式系數(shù)的什么性質(zhì)?微訓(xùn)練

與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘如圖所示,a,b是某行的前兩個(gè)數(shù),當(dāng)a=7時(shí),b等于(

)A.20 B.21 C.22 D.23答案:C解析:根據(jù)觀察可知,每一行的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都相等,其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加.故b=6+16=22.課堂·重難突破一

楊輝三角的簡(jiǎn)單應(yīng)用典例剖析1.如圖所示,楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外,均能被5整除,則具有類似性質(zhì)(第n行能被n整除)的行是(

)A.第6行 B.第7行C.第8行 D.第9行答案:B解析:由題意,第6行為1,6,15,20,15,6,1,第7行為1,7,21,35,35,21,7,1,第8行為1,8,28,56,70,56,28,8,1,第9行為1,9,36,84,126,126,84,36,9,1,故第7行除去兩端數(shù)字1以外,均能被7整除.規(guī)律總結(jié)楊輝三角相關(guān)問(wèn)題的一般思路

學(xué)以致用1.如圖所示,由二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的楊輝三角中,第

行中從左至右的第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3.

答案:34二

楊輝三角在數(shù)列中的應(yīng)用典例剖析2.設(shè)數(shù)列{an}是集合{2s|s∈N}中的所有數(shù)從小到大排列成的數(shù)列,將數(shù)列{an}的各項(xiàng)按照上小下大,左小右大的原則排成類似“楊輝三角”的圖形.(1)按圖中箭頭方向數(shù)字1,2,8,64,…組成一個(gè)數(shù)列{bn},求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)22005是第幾行的第幾個(gè)數(shù)?解:(1)觀察每一行的第一個(gè)數(shù),不難發(fā)現(xiàn):又22

005=21

953+(53-1),故22

005是第63行的第53個(gè)數(shù).規(guī)律總結(jié)將等差(等比)數(shù)列重新排列成類似“楊輝三角”的圖形,考查相關(guān)數(shù)列問(wèn)題是楊輝三角數(shù)列創(chuàng)新題的常見(jiàn)形式之一,這類問(wèn)題主要考查重排后指定某數(shù)位置的確定或者特定行的通項(xiàng)公式的求法.求解關(guān)鍵是找到數(shù)列的排列規(guī)律.學(xué)以致用2.如圖,構(gòu)造一個(gè)類似楊輝三角的圖形,則這個(gè)圖形的第20行的第19個(gè)數(shù)是多少?解:根據(jù)圖形的對(duì)稱性,第20行的第19個(gè)數(shù)等于第20行的第2個(gè)數(shù),把從第2行開(kāi)始的每一行的第2個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列記為{an},n≥2,a2=3,則a3-a2=2×2-1,a4-a3=2×3-1,…an+1-an=2n-1,把以上式子相加得an+1-a2=3+5+7+…+2n-1,所以an+1=3+3+5+7+…+2n-1=2+1+3+5+7+…+2n-1=2+n2.所以這個(gè)圖形的第20行的第19個(gè)數(shù)是a20=2+192=363.隨堂訓(xùn)練1.一張表示二項(xiàng)式展開(kāi)后的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣如圖所示,稱做“開(kāi)方做法本源”,現(xiàn)在簡(jiǎn)稱為“楊輝三角”,它是楊輝的一大重要研究成果.若用ai-j表示三角形數(shù)陣的第i行第j個(gè)數(shù),則a100-3=(

)A.5050 B.4851 C.4950 D.5000答案:B2.如圖,在楊輝三角中,斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列:1,2,3,3,6,4,10,…,記這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S(n),則S(16)等于(

)A.144 B.146

C.164

D.461答案:C3.(多選題)我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角,以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有(

)ABC解析:由楊輝三角的性質(zhì)以及二項(xiàng)式定理可知A,B,C正確,115=161

051,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選ABC.4.如圖,在楊輝三角中,從上往下數(shù)共有n行(n∈N*),在這些數(shù)中,非1的數(shù)之和為

.

答案:2n-2n5.如圖所示,滿足如下條件:①第n行首尾兩數(shù)均為n;②圖形中的遞推關(guān)系類似“楊輝三角”.則第10行的第2個(gè)數(shù)是

,第n行的第2個(gè)數(shù)是

.解析:由題圖可知第10行的第2個(gè)數(shù)為(1+2+3+…+9)+1=46,6.在楊輝三角中,除每行的兩端數(shù)值外,每一數(shù)值都是它肩上的兩個(gè)數(shù)相加,楊輝三角開(kāi)頭幾行如圖所示.(1)利用楊輝三角展開(kāi)(1-x)6;(2)在楊輝三角中哪一行會(huì)出現(xiàn)相鄰的三個(gè)數(shù),它們的比是3∶4∶5?解:(1)根據(jù)楊輝三角的規(guī)律“每行兩端都是1,其余每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加”,可寫(xiě)出第6行的二項(xiàng)式系數(shù)為1,6,15,20,15,6,1,因此(a+b)