柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系重積分計(jì)算基本方法——累次積分法第1頁1第六節(jié)一、平面圖形面積及立體體積

二、曲面面積

三、物體重心

四、物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、物體引力重積分應(yīng)用第2頁2解：所求立體體積為第3頁3解：另解：1.能用重積分處理實(shí)際問題特點(diǎn)所求量是對(duì)區(qū)域含有可加性.分布在有界閉域上整體量.2.用重積分處理問題方法-----元素法問題：滿足什么條件量可用重積分處理？第4頁4元素法步驟：把定積分元素法推廣到二重積分應(yīng)用中.元素法也可推廣到三重積分上第5頁5設(shè)曲面S方程為曲面S在xoy面上投影為區(qū)域D，如圖，設(shè)小區(qū)域點(diǎn)(x,y)為S上過點(diǎn)M(x,y,z)切平面，以邊界為準(zhǔn)線，母線平行于z軸小柱面，截曲面S為截切平面為則有則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面面積dA無限積累而成.第6頁6------曲面S面積元素因?yàn)闉樵趚oy面上投影，則有第7頁7ab第8頁8３．設(shè)曲面方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面方程為：曲面面積公式為：同理可得曲面面積公式為：即１．設(shè)曲面方程為：

第9頁9xzy解：xoy例1.求球面，含在圓柱體內(nèi)部那部分面積.曲面方程：由對(duì)稱性知：,第10頁10xoy面積為：第11頁11二、重心設(shè)密度函數(shù)為空間物體

V，在

V上連續(xù).為求得

V重心坐標(biāo),先對(duì)

V作分割

T,

是小塊質(zhì)量可用近似代替,若

把每一塊看作質(zhì)量集中在質(zhì)點(diǎn)時(shí),整個(gè)物體就可用這

n個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系來近似代替.因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系重心坐標(biāo)公式為在屬于

T每一小塊上任取一點(diǎn)于第12頁12第13頁13重心坐標(biāo):當(dāng)物體

V密度均勻分布時(shí),即為常數(shù)時(shí)，則有當(dāng)自然地可把它們極限定義作為

V第14頁14一樣能夠得到,密度函數(shù)為平面薄板

D

重心坐標(biāo):當(dāng)為常數(shù)時(shí)，則有第15頁15例2求密度均勻上半橢球體重心.解設(shè)橢球體由表示.借助對(duì)又由為常數(shù),所以稱性知道故得即求得上半橢球體重心坐標(biāo)為第16頁16因質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,

故連續(xù)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.第17頁17得：第18頁18例3.求半徑為a均勻半圓薄片對(duì)其直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:

建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片質(zhì)量第19頁19第20頁20第21頁21第22頁22G

為引力常數(shù)推廣到空間立體

：設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)位于原點(diǎn)單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)引力利用元素法,其密度函數(shù)第23頁23曲線積分對(duì)弧長曲線積分對(duì)坐標(biāo)曲線積分定義聯(lián)絡(luò)計(jì)算三代一定二代一定(與方向相關(guān))第24頁24與路徑無關(guān)四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題(1)在G內(nèi)與路徑無關(guān)，(4)在G內(nèi)存在u(x,y),使(3)在G內(nèi)，(2)使閉曲線在單連通區(qū)域G上P(x,y),Q(x,y)含有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)命題成立.第25頁251.定積分與不定積分聯(lián)絡(luò)牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分聯(lián)絡(luò)格林公式第26頁26第二類曲線積分第27頁27計(jì)算中包括相關(guān)公式1.兩類曲線積分幾何意義閉區(qū)域D面積第28頁284.曲線積分，其中是沿逆時(shí)針方向一周.3.設(shè)L為從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(0,0)直線段，則