實驗

用復(fù)擺測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量

實驗用復(fù)擺測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量1在重力作用下能繞某固定水平軸擺動的剛體稱做復(fù)擺，

又稱物理擺。復(fù)擺的擺動中心稱為撞擊中心。機器中有些必須經(jīng)受碰撞的轉(zhuǎn)動件，如離合器、沖擊擺錘等，為防止巨大瞬時力對軸承的危害，應(yīng)使碰撞沖擊力通過撞擊中心。復(fù)擺實驗是一個傳統(tǒng)的實驗，

通常用于研究周期與物體擺動中心及擺軸位置的關(guān)系，

也用于測定重力加速度。

在重力作用下能繞某固定水平軸擺動的剛體稱做復(fù)擺，又稱物2一、實驗?zāi)康?/p>

(1)學(xué)習(xí)對長度和時間的較精確的測量。

(2)掌握測量重力加速度的方法,并加深對剛體轉(zhuǎn)動理論的理解。

(3)學(xué)習(xí)用作圖法處理、分析數(shù)據(jù)。二、實驗儀器

JD-2物理擺、光電計時器等。

一、實驗?zāi)康?

1.單擺單擺的工作原理如圖3-4-1所示。單擺球的質(zhì)量為m,當球的半徑遠小于擺長l時,應(yīng)用動量矩定理,在直角坐標系下可得小球自由擺動的微分方程為(3-4-1)式中,t為時間,g為重力加速度,l為擺長。

當θ1(rad)很小時,(3-4-2)

則式(3-4-1)可簡化為

(3-4-3)1.單擺(3-4-1)式中,t為時間,4圖

3-4-1單擺的工作原理

圖3-4-1單擺的工作原理5令

(3-4-4)則式(3-4-3)的解為

(3-4-5)式中,θ10、α的值由初始條件所決定。由式(3-4-4)可得單擺周期為

(3-4-6)令(3-4-4)則式(3-4-3)的解為6

2.物理擺

一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復(fù)擺或物理擺。如圖3-4-2所示,設(shè)物理擺的質(zhì)心為C,質(zhì)量為M,懸點為O,繞O點在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為J0,OC距離為h。在重力作用下,由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律可得微分方程為(3-4-7)

令

(3-4-8)2.物理擺(3-4-7)令(3-47仿照單擺,在θ很小時,式(3-4-7)的解為

(3-4-9)(3-4-10)圖

3-4-2物理擺(復(fù)擺)仿照單擺,在θ很小時,式(3-4-7)的解為(8設(shè)擺體沿過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量為JC,則由平行軸定理可知:(3-4-11)將式(3-4-11)代入式(3-4-10)可得

(3-4-12)式(3-4-12)就是物理擺的自由擺動周期T。

設(shè)擺體沿過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量為JC,則由平行軸定理可知:(9令J=Ma2,a稱為回轉(zhuǎn)半徑,則有

(3-4-13)因為對任何JC都有JC∝M,所以式(3-4-13)的T與M無關(guān),僅與M的分布(C點)相關(guān)。令J=Ma2,a稱為回轉(zhuǎn)半徑,則有(3-4-101)一次法測重力加速度g

由式(3-4-12)可得出

(3-4-14)因此,測出式(3-4-14)右端各量即可得g。擺動周期T用數(shù)字計時器可直接測出;M可用天平稱出;C點可用杠桿平衡原理等辦法求出。對于形狀等規(guī)則的擺,JC可以通過計算得出。1)一次法測重力加速度g(3-4-14)因此,11

2)二次法測重力加速度g

一次法測g雖然簡明,但有很大的局限性,特別是對于不規(guī)則物理擺,JC就難以確定,為此采用如下“二次法”測g。當M及其分布(C點)確定以后,通過改變h值,作兩次測T的實驗,運用式(3-4-12)可得2)二次法測重力加速度g12即

(3-4-15)(3-4-16)聯(lián)立解式(3-4-15)、

式(3-4-16),可得出

(3-4-17)

這樣就消去了JC。因此，式(3-4-17)測g就有著廣泛的適用性。另外,從式(3-4-17)可十分明確地看到T與M的無關(guān)性。即(3-4-15)(3-4-16)聯(lián)立解式(3-413雖然任意兩組(h1,T1)、(h2,T2)實測值都可以由式(3-4－17)算出g,但是對于一個確定的物理擺究竟選取怎樣的兩組(h,T)數(shù)據(jù),才能得出最精確的g的實測結(jié)果呢？為此必須研究T(h)關(guān)系。將式(3-4-12)平方,可得出(3-4-18)從上式可以看出,T2與h的關(guān)系大體為一變形的雙曲線型圖線。當h→0時,T→∞;當h→∞時,T→∞?？梢?在h的某一處一定有一個凹形極小值。為此,對式(3-4-18)作一次求導(dǎo)并令其為0,即由可得(3-4-19)

(3-4-20)雖然任意兩組(h1,T1)、(h2,T2)實測值都可以14即移動擺軸所增加的轉(zhuǎn)動慣量恰為質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動慣量。亦即在h=a處所相應(yīng)的T為極小值。(為什么？)為研究T(h)關(guān)系,在0.6m長的扁平擺桿上,每間隔2cm均勻鉆出直徑為1cm的28個孔,并以此作為O點的Hi值(i=±1,±2,±3,…,±14),于是可得出如圖3-4-3所示的曲線。即移動擺軸所增加的轉(zhuǎn)動慣量恰為質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動慣量。亦即在15圖3-4-3擺動周期T與擺軸離中心距離h的關(guān)系圖3-4-3擺動周期T與擺軸離中心距離h的關(guān)系16在共軛的A，B二極小T值點以上，沿任一Th畫一條直線，交圖線于C，D，E，F(xiàn)四點；皆為等T值點，錯落的兩對等T值間的距離（hD+hE）=hC+hF被稱為等值單擺長。為理解這一點，將（4-17）式的T1與TE（或TD）對應(yīng)，T2與TF（或TC）對應(yīng)，h1為與T1對應(yīng)的hE，h2為與T2對應(yīng)的hF，并將(4-17)式改形為：

(3-4-22)式(3-4-22)與式(3-4-17)的等同性可用代數(shù)關(guān)系進行驗證。從式(3-4-22)可知,當T1=T2=T時,即為單擺的周期公式(3-4-6),故將hE+hF、hC+hD稱為等值單擺長。在共軛的A，B二極小T值點以上，沿任一Th畫一條直線，17③可倒擺為提高測的精度，歷史上在對稱結(jié)構(gòu)的物理擺的擺桿上，加兩個形體相同而密度不同的兩個擺錘對稱地放置。于是質(zhì)心C點隨即被改變，圖4-3的圖線也隨之改變，特別是TC（即T1），TF（即T2）所相應(yīng)的hC（即h1），hF（即h2）也隨之改變。但曲線的形狀依歸。所以，用此時的T（=TF=TC）和h1（=hC），h2（=hF）按（4-22）式來計算出。

當然，由于擺桿孔的非連續(xù)性，所以僅能用TC≈TF的實測值，這時（4-22）式的右端的第2項僅具很小的值。所以（T1–T2）很小，而（h1–h2）較大。所以實驗須先在重鐵錘的擺桿的下端測出T1后，將擺倒置過來，從遠端測出大于T1的值然后逐漸減h2直至T2小于T1為止。

③可倒擺18將加有二擺錘的擺叫作可倒擺（或稱為開特氏擺）；（4-22）式就稱為可倒擺計算式。擺錘用兩個而不是用一個，而且形體作成相同，是因為倒置以后在擺動過程中，擺的空氣阻尼等對擺的運動的影響可消除。由物理擺的理論可知，可倒擺（開特擺）僅是物理擺的特例。

將加有二擺錘的擺叫作可倒擺（或稱為開特氏擺）；（4-22）19四、實驗內(nèi)容與步驟

安裝、調(diào)節(jié)好儀器以后，進行如下操作：

(1)測出無錘擺桿的T(H)關(guān)系(可只測1/2擺桿)。

(2)測出兩個加錘擺的T1(X)、T2(X)關(guān)系。兩擺錘的形狀、尺寸須相同,而質(zhì)量不同。

(3)按原理所述,進行數(shù)據(jù)處理。(數(shù)據(jù)表格自列)四、實驗內(nèi)容與步驟20五、注意事項

(1)擺幅A須小于1°。若按R=0.3m(擺桿)+0.03m(擺針)=330mm計2倍振幅,則

(2)擺的懸掛處的孔和刀口間須密切接觸。若不密切接觸則調(diào)節(jié)底腳螺釘,否則會影響實驗測量。

(3)周期T的測量建議以t=10T為宜,即

。五、注意事項(2)擺的懸掛處的孔和刀口間須密切接觸21六、思考題

(1)試證明二次法測g的公式(3-4-17)等效于卡特公式(3-4-22)。

(2)為什么不能用圖3-4-3的C點的(T1,h1)值和F點的(T2,h2)值來計算重力加速度g值,而須用(F,D)或(F,E)來計算g?

(3)試述用擺動法測量任意形狀物體對任一指定軸的轉(zhuǎn)動慣量的實驗步驟(設(shè)當?shù)氐闹亓铀俣萭已知)。六、思考題22附注

錘移效應(yīng)

設(shè)原擺為一帶刻度的擺桿。擺的質(zhì)量為M,質(zhì)心為C(設(shè)為坐標原點),擺心為O,CO距離為h,質(zhì)心C處與擺心O處沿OZ軸的轉(zhuǎn)動慣量為JC、J0。以上條件皆固定不變,然后再加一個圓柱形的擺錘,錘的回轉(zhuǎn)半徑為r,質(zhì)量為m,正軸與上述各軸平行。錘移動沿CO方向為+X。置錘于X處,如圖3-4-4所示。(3-4-23)

質(zhì)心變?yōu)镃′,則由力矩平衡原理可得出

(3-4-24)附注錘移效應(yīng)設(shè)原擺為一帶刻度的擺桿。擺的質(zhì)量為M,質(zhì)23圖3-4-4加錘擺圖3-4-4加錘擺24所以新的擺長為

(3-4-25)

由平行軸定理,可得

(3-4-26)

設(shè)重力加速度g已知(不變),則由動量矩定理，仿照式(3-4-7)、式(3-4-10)，可知帶錘擺的擺動方程式為(3-4-27)所以新的擺長為(3-4-25)由平行軸定理,251.加錘擺的周期公式

加錘擺的周期公式Tm為

（4-28）

在研究錘移效應(yīng)時，令（固定不變）：

(3-4-29)(3-4-30)1.加錘擺的周期公式（4-28）在研究錘移效應(yīng)時，令（26所以有

(3-4-31)由式(3-4-31)可以看出：①加錘擺的周期公式與無錘擺的周期公式形式相似,即原T(h)關(guān)系與現(xiàn)在Tm(X)關(guān)系相似(此時h為固定常數(shù))。②由于X的取向等原因,Tm(X)相當于圖3-4-3曲線的左葉,Tm(X)的漸近線為,即時,Tm→∞。而X的負向則為X→－∞時,Tm→＋∞。注:若,則Tm為復(fù)數(shù)(無意義)。所以有(3-4-31)由式(3-4-3127③

加錘擺的周期公式存在著極(小)值。

所以應(yīng)有

(3-4-32)因為

并令

所以有

③加錘擺的周期公式存在著極(小)值。所以應(yīng)有(3-428令

代入

可得

(3-4-33)令代入可得(3-4-33)29因此

因此30分子、分母都除以2m(根號內(nèi)除以4m2),可得

(3-4-34)因此,X一定有解,T有極值T(X)。

分子、分母都除以2m(根號內(nèi)除以4m2),可得(3-312.零質(zhì)量擺錘的周期公式Tm=0

將m=0代入式(3-4-28)中,可得(3-4-35)2.零質(zhì)量擺錘的周期公式Tm=0(3-4-3532

3.擺錘周期的特點

周期Tm與Th(即m=0時的Tm)的交點,即為Tm=Th。也就是令式(3-4-28)與式(3-4-35)相等,于是有(3-4-36)3.擺錘周期的特點(3-4-36)33所以

解得

(3-4-37)所以解得(3-4-37)34由式(3-