第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第1頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)習(xí)要求：掌握邏輯代數(shù)的基本概念，學(xué)會(huì)用邏輯函描述邏輯問題的基本方法。掌握邏輯代數(shù)的公理、基本定理和重要規(guī)則；學(xué)會(huì)用代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)；熟練掌握用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。第2頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1邏輯代數(shù)的基本概念邏輯代數(shù)是一個(gè)由邏輯變量集K，常量0和1以及“與”、“或”、“非”3種基本運(yùn)算構(gòu)成的一個(gè)封閉的代數(shù)系統(tǒng)，記為L(zhǎng)={K,+,?,-,0,1}。它是一個(gè)二值代數(shù)系統(tǒng)。常量0和1表示真和假，無大小之分。該系統(tǒng)滿足下列公理：第3頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月公理1 交換律

A+B=B+A,AB=BA公理2 結(jié)合律 (A+B)+C=A+(B+C),

(AB)C=A(BC)公理3 分配律

A+(B

C)=(A+B)

(A+C),

A

(

B+C)=AB+AC公理4 0－1律

A+0=A,A1=A

A+1=1,A0=0，公理5 互補(bǔ)律 A+A=1,AA=0第4頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1.1邏輯變量及基本邏輯運(yùn)算邏輯變量：僅取值0或取值1的變量。這里0和1無大小之分，實(shí)際上代表著矛盾的雙方或事件的真假，例如開關(guān)的接通與斷開，電壓的高和底，信號(hào)的有和無，電燈的亮和滅等等。只要是兩種穩(wěn)定的物理狀態(tài)，都可以用0和1這兩種不同的邏輯值來表征。第5頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、"或"運(yùn)算如果決定某一事件發(fā)生的多個(gè)條件，只要有一個(gè)或一個(gè)以上的條件成立，事件便可發(fā)生，這種因果關(guān)系稱之為"或"邏輯。在邏輯代數(shù)中，"或"邏輯關(guān)系用"或"運(yùn)算描述。"或"運(yùn)算又稱邏輯加，其運(yùn)算符為"+"或"

"，兩個(gè)變量的"或"運(yùn)算可表示為:

F=A+B

或者F=A

B讀作"F等于A或B",其中A、B是參加運(yùn)算的兩個(gè)邏輯變量，F(xiàn)為運(yùn)算結(jié)果。意思是：只要A、B中有一個(gè)為1，則F為1；僅當(dāng)A、B均為0時(shí)，F(xiàn)才為0。第6頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ABF000011101111"或"運(yùn)算表A+uBF由“或”運(yùn)算的運(yùn)算表可知“或”運(yùn)算的法則為：0+0=0 1+0=10+1=1 1+1=1實(shí)現(xiàn)"或"運(yùn)算的邏輯電路稱為"或"門。第7頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、"與"運(yùn)算如果決定某一事件的發(fā)生的多個(gè)條件必須同時(shí)具備，事件才能發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為"與"邏輯。邏輯代數(shù)中"與"邏輯關(guān)系用"與"運(yùn)算描述。"與"運(yùn)算又稱邏輯乘，其運(yùn)算符為"

"或"

"。兩變量的"與"運(yùn)算可表示為

F＝AB

或者F=AB

讀作"F等于A與B"，意思是若AB

均為1，則F為1；否則F為0。第8頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ABF000010100111"與"運(yùn)算表+uABF由“與”運(yùn)算的運(yùn)算表可知“與”運(yùn)算法則為：00=0 10=0

01=0 11=1實(shí)現(xiàn)“與”運(yùn)算的邏輯電路稱為“與”門。第9頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、"非"運(yùn)算如果某一事件的發(fā)生取決于條件的否定，則這種因果關(guān)系稱為"非"邏輯。"非"邏輯用"非"運(yùn)算描述。"非"運(yùn)算又稱求反運(yùn)算，運(yùn)算符為"－"或"?"."非"運(yùn)算可表示為F=A 或 F=?A讀作"F等于A非"，意思是若A＝0，則F為1；反之，若A=1,則F為0。第10頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“非"運(yùn)算表由“非”運(yùn)算的運(yùn)算表可知“非”運(yùn)算法則為：A F0 11 0+uAF實(shí)現(xiàn)“非”運(yùn)算的邏輯電路稱為“非”門。第11頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1.2邏輯函數(shù)一、邏輯函數(shù)的定義設(shè)某一電路的輸入邏輯變量為A1,A2,…,An,輸出邏輯變量為F。如果當(dāng)A1,A2,…,An

的值確定后，F(xiàn)的值就唯一地被定下來，則F稱為A1,A2,…,An,的邏輯函數(shù)，記為

F=f(A1,A2,…,An)邏輯電路的功能可由相應(yīng)邏輯函數(shù)完全描述。與普通函數(shù)概念相比邏輯函數(shù)有如下特點(diǎn)：1）邏輯變量與邏輯函數(shù)的取值只有0和1；2）邏輯函數(shù)與邏輯變量的關(guān)系由“或”、“與”、“非”運(yùn)算決定。第12頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、邏輯函數(shù)的相等設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)F1=f1

(A1,A2,…,An)F2=f2

(A1,A2,…,An)若對(duì)應(yīng)于A1,A2,…,An的任何一組取值,F1和F2的值都相同,則稱函數(shù)F1和函數(shù)F2相等,記作F1=F2亦稱函數(shù)F1與F2等價(jià)。第13頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1.3邏輯函數(shù)的表示法一、邏輯表達(dá)式由邏輯變量、常量和邏輯運(yùn)算符構(gòu)成的合法表達(dá)式。進(jìn)行"非"運(yùn)算可不加括號(hào),如"與"運(yùn)算符一般可省略,AB可寫成AB.可根據(jù)先"與"后"或"的順序去括號(hào),如：

(AB)＋(CD)＝AB＋CD例：邏輯表達(dá)式書寫省略規(guī)則：第14頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第15頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、真值表真值表是一種由邏輯變量的所有可能取值組合及其對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)值所構(gòu)成的表格.例如：函數(shù)F=AB+AC的真值表如右所示：ABC F000 0001 1010 0011 1100 1101 1110 0111 0第16頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、卡諾圖卡諾圖是一種用圖形描述邏輯函數(shù)的方法。第17頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2邏輯代數(shù)的基本定理和規(guī)則2.2.1基本定理定理1 0＋0＝0 1＋0＝1

0＋1＝1 1＋1＝1

00＝0 10＝001＝0 11＝1推論：1=00=1第18頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理2(重疊律)

A＋A＝A AA＝A定理3(吸收律) A＋AB＝AA(A+B)＝A定理4(吸收律)

A＋AB＝A+B A(A+B)＝AB定理5(對(duì)合律)

A＝A 定理6(德摩根定理)

A＋B＝A·B AB＝A＋B定理7

A

B+A

B＝A (A+B)(A+B)＝A定理8(包含律)

A

B+A

C+BC＝A

B+A

C第19頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月f(A1,A2,…,An)＋f(A1,A2,…,An)＝12.2.2邏輯代數(shù)的重要規(guī)則一、代入規(guī)則任何一個(gè)含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個(gè)邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。例如：給定邏輯等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，則該等式仍然成立，即：

(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C

由公理5(A+A=1)同樣有等式第20頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、反演規(guī)則F＝(A+B)(C+D)例如：已知F＝AB＋CD，根據(jù)反演規(guī)可得到:

如果將邏輯函數(shù)F中所有的"

"變成"+","+"變成"

","0"變成"1","1"變成"0",原變量變成反變量，反變量變成原變量，所得到的新函數(shù)是原函數(shù)的反函數(shù)使用反演規(guī)則時(shí),應(yīng)注意保持原函式中運(yùn)算符號(hào)的優(yōu)先順序不變。例如：已知第21頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、對(duì)偶規(guī)則如果將邏輯函數(shù)F中所有的"

"變成"+","+"變成"

","0"變成"1","1"變成"0",則所得到的新邏輯函數(shù)F的對(duì)偶式F'。如果F'是F的對(duì)偶式，則F也是F'的對(duì)偶式，即F與F’互為對(duì)偶式。求某一函數(shù)F的對(duì)偶式時(shí)，同樣要注意保持原函數(shù)的運(yùn)算順序不變。對(duì)偶規(guī)則：若兩個(gè)邏輯函數(shù)F的G相等，則其對(duì)偶式F'和G'

也相等。例:F=A+B+C

F’=A·B·C例:AB+AC+BC=AB+C則(A+B)?(A+C)?(B+C)=(A+B)?C第22頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式與變換2.3.1邏輯函數(shù)表達(dá)式的基本形式兩種基本形式："積之和"表達(dá)式與"和之積"表達(dá)式."積之和"：由若干個(gè)"與"項(xiàng)經(jīng)"或"運(yùn)算形成的表達(dá)式。例如："和之積"：由若干個(gè)"或"項(xiàng)經(jīng)"與"運(yùn)算形成的表達(dá)式。例如：既不是與或表達(dá)式也不是或與表達(dá)式。而第23頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3.2邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式一、最小項(xiàng)如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的"積"項(xiàng)包含全部n個(gè)變量,每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn),且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)"積"項(xiàng)被稱為最小項(xiàng)。假如一個(gè)函數(shù)完全由最小項(xiàng)所組成,那么該函數(shù)表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)"積之和"表達(dá)式,即"最小項(xiàng)之和".第24頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月變量的各組取值A(chǔ)BC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)及其編號(hào)最小項(xiàng)編號(hào)三變量函數(shù)的最小項(xiàng)：第25頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月=m2+m3+m6+m7注意：變量的順序.即n個(gè)變量的所有最小項(xiàng)之和恒等于1。所以=

m(2,3,6,7)第26頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月最小項(xiàng)的性質(zhì)：1）當(dāng)函數(shù)以最小項(xiàng)之和形式表示時(shí)，可很容易列出函數(shù)及反函數(shù)的真值表（在真值表中，函數(shù)所包含的最小項(xiàng)填“1”）。2）當(dāng)時(shí)，。3）n變量的最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。相鄰項(xiàng)：只有一個(gè)變量不同（以相反的形式出現(xiàn)）。一對(duì)相鄰項(xiàng)可以消去一個(gè)變量。第27頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、最大項(xiàng)如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的"和"項(xiàng)包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)"和"項(xiàng)稱為最大項(xiàng)。假如一個(gè)函數(shù)完全由最大項(xiàng)組成，那么這個(gè)函數(shù)表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)"和之積"表達(dá)式。第28頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月變量的各組取值A(chǔ)BC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)及其編號(hào)最大項(xiàng)編號(hào)三變量函數(shù)的最大項(xiàng)：第29頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意：變量順序.與最小項(xiàng)類似，有例如：第30頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月最大項(xiàng)的性質(zhì)：1）當(dāng)函數(shù)以最大項(xiàng)之積形式表示時(shí)，可很容易列出函數(shù)及反函數(shù)的真值表（在真值表中，函數(shù)所包含的最大項(xiàng)填“0”）。2）當(dāng)時(shí)，。3）n變量的最大項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。相鄰項(xiàng)：只有一個(gè)變量不同（以相反的形式出現(xiàn)）。一對(duì)相鄰項(xiàng)可以消去一個(gè)變量。第31頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、兩種標(biāo)準(zhǔn)形式的轉(zhuǎn)換：以最小項(xiàng)之和的形式表示的函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成最大項(xiàng)之積的形式，反之亦然。=

m(2,3,6,7)F(A,B,C)=

m(0,1,4,5)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)F(A,B,C)=

m(0,1,4,5)同理且有即：最大項(xiàng)與最小項(xiàng)互補(bǔ)。例如：M3=A+B+C=ABC=m3第32頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3.3邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換任何一個(gè)邏輯函數(shù)，總可以將其轉(zhuǎn)換成"最小項(xiàng)之和"及"最大項(xiàng)之積"的形式,常用代數(shù)轉(zhuǎn)換法或真值表轉(zhuǎn)換法.第33頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、代數(shù)轉(zhuǎn)換法用代數(shù)法求一個(gè)函數(shù)"最小項(xiàng)之和"的形式，一般分為兩步：第一步：將函數(shù)表達(dá)式變換成一般的"與或"式.第二步：反復(fù)使用X=X(Y+Y)將非最小項(xiàng)的"與項(xiàng)"擴(kuò)展為最小項(xiàng)。第34頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：將F(A,B,C)=(AB+BC)

AB轉(zhuǎn)換成"最小項(xiàng)之和"形式第35頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月F(A,B,C)=m0+m1+m3+m6+m7=Σm(0,1,3,6,7)第36頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月類似地，用代數(shù)法求一個(gè)函數(shù)"最大項(xiàng)之積"的形式，也可分為兩步：第一步：將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成一般"或與"式；如果給出的函數(shù)已經(jīng)是"與或"式或者是"或與"式，則可直接進(jìn)行第二步。第二步：反復(fù)使用將非最大項(xiàng)的"或項(xiàng)"擴(kuò)展成為最大項(xiàng)第37頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：將F(A,B,C)=AB+AC轉(zhuǎn)換成“最大項(xiàng)之積的形式。解：1）F(A,B,C)

=AB·AC=(A+B)(A+C)2)F(A,B,C)=(A+B+CC)(A+BB+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)F(A,B,C)=M1·M3·M6·M7=ΠM(1,3,6,7)第38頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、真值表轉(zhuǎn)換法一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表與它的最小項(xiàng)表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式均存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。函數(shù)F的最小項(xiàng)表達(dá)式由使F取值為1的全部最小項(xiàng)之和組成。函數(shù)F的最大項(xiàng)表達(dá)式由使F取值為0的全部最大項(xiàng)之積組成。第39頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月和"最大項(xiàng)之積"的形式。解：ABC F000 0001 1010 0011 1100 1101 0110 0111 0注意：任何一個(gè)邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式唯一.第40頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4邏輯函數(shù)的簡(jiǎn)化一般來說,邏輯函數(shù)表達(dá)式越簡(jiǎn)單,設(shè)計(jì)出來的電路也就越簡(jiǎn)單。把邏輯函數(shù)簡(jiǎn)化成最簡(jiǎn)形式稱為邏輯函數(shù)的最小化,有三種常用的方法,即代數(shù)化簡(jiǎn)法、卡諾圖化簡(jiǎn)法和列表化簡(jiǎn)法。第41頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4.1代數(shù)化簡(jiǎn)法該方法運(yùn)用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)、變換而進(jìn)行化簡(jiǎn)，沒有固定的步驟可以遵循，主要取決于對(duì)公理、定理和規(guī)則的熟練掌握及靈活運(yùn)用的程度。有時(shí)很難判定結(jié)果是否為最簡(jiǎn)。第42頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、"與或"式的化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)應(yīng)滿足的兩個(gè)條件：1）表達(dá)式中"與項(xiàng)"的個(gè)數(shù)最少；2）在滿足1）的前提下,每個(gè)"與項(xiàng)"中的變量個(gè)數(shù)最少。第43頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第44頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、"或與"式的化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)應(yīng)滿足的兩個(gè)條件：1）表達(dá)式中"或項(xiàng)"的個(gè)數(shù)最少；2）在滿足1）的前提下,每個(gè)"或項(xiàng)"中的變量個(gè)數(shù)最少。第45頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：F=(A+B)(A+B)(B+C)(B+C+D)解：F=(A+B)(A+B)(B+C)(B+C+D)=（A+B)(A+B)(B+C)=A(B+C)例：F=(A+B)(A+B)(B+C)(A+C)解：F′=AB+AB+BC+AC=AB+AB+(B+A)C=AB+AB+ABC=AB+AB+CF=(F′)′=(A+B)(A+B)C第46頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4.2卡諾圖化簡(jiǎn)法該方法簡(jiǎn)單、直觀、容易掌握,當(dāng)變量個(gè)數(shù)小于等于6時(shí)非常有效,在邏輯設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。一、卡諾圖的構(gòu)成n個(gè)變量的卡諾圖是一種由2n個(gè)方格構(gòu)成的圖形,每一個(gè)方格表示邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng),所有的最小項(xiàng)巧妙地排列成一種能清楚地反映它們相鄰關(guān)系的方格陣列。因?yàn)槿我庖粋€(gè)邏輯函數(shù)都可表示成"最小項(xiàng)之和"的形式,所以一個(gè)函數(shù)可用圖形中若干方格構(gòu)成的區(qū)域來表示。第47頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月mo

m2m1

m30 101ABAB0 101二變量卡諾圖第48頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月mo

m2m6

m4m1

m3m7

m50001111001ABC0001111001ABC三變量卡諾圖第49頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0001111000011110ABCD04

1281

5

1393715112614100001111000011110ABCD四變量卡諾圖第50頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義：彼此只有一個(gè)變量不同，且這個(gè)不同變量互為反變量的兩個(gè)最小項(xiàng)(或"與項(xiàng)")稱為相鄰最小項(xiàng)(或相鄰"與項(xiàng)").相鄰最小項(xiàng)在卡諾圖中有三種特征，即幾何相鄰、相對(duì)相鄰和重疊相鄰?？ㄖZ圖在構(gòu)造上具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：1）n個(gè)變量的卡諾圖由2n個(gè)小方格組成,每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)。2）卡諾圖上處在相鄰、相對(duì)、相重位置的小方格所代表的最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)。第51頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示將邏輯函數(shù)所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)在卡諾圖的相應(yīng)方格中標(biāo)以1，剩余方格標(biāo)以0或不標(biāo)。第52頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、"與或"式的卡諾圖表示.直接將表達(dá)式的"與項(xiàng)"或"最小項(xiàng)"所對(duì)應(yīng)的方格標(biāo)以1.0001111001ABC11111可表示為：例如：2、其它形式函數(shù)的卡諾圖表示要轉(zhuǎn)換成"與或"式再在卡諾圖上表示。第53頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、卡諾圖的性質(zhì)根據(jù)定理7有AB+AB=A,它表明兩個(gè)相鄰"與項(xiàng)"或"最小項(xiàng)"可以合并為一項(xiàng)，這一項(xiàng)由兩個(gè)"與項(xiàng)"中相同的變量組成，可以消去兩個(gè)"與項(xiàng)"中不同的變量。在卡諾圖上把相鄰最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的小方格"圈"在一起可進(jìn)行合并，以達(dá)到用一個(gè)簡(jiǎn)單"與項(xiàng)"代替若干最小項(xiàng)的目的。這樣的"圈"稱為"卡諾圈"。第54頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0 101AB110 101AB110 101AB111二變量卡諾圖的典型合并情況第55頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0001111001ABC1111AB0001111001C1111111101ABC00011110三變量卡諾圖的典型合并情況第56頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月10001111000011110ABCD11111110001111000011110ABCD111111110001111000011110ABCD1111111111四變量卡諾圖的典型合并情況第57頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一個(gè)卡諾圈中的小方格滿足以下規(guī)律：1）卡諾圈中的小方格的數(shù)目為2m,m為整數(shù)且m

n;3）2m個(gè)小方格可用(n-m)個(gè)變量的"與項(xiàng)"表示,該"與項(xiàng)"由這些最小項(xiàng)中的相同變量構(gòu)成。2）2m個(gè)小方格含有m個(gè)不同變量和(n-m)個(gè)相同變量;4）當(dāng)m=n時(shí),卡諾圈包圍整個(gè)卡諾圖,可用1表示，即n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)之和為1。第58頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟：蘊(yùn)涵項(xiàng)："與或"式中的每一個(gè)"與項(xiàng)"稱為函數(shù)的蘊(yùn)涵項(xiàng)；質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)：不被其它蘊(yùn)涵項(xiàng)所包含的蘊(yùn)涵項(xiàng)；必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)：質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)中至少有一個(gè)最小項(xiàng)不被其它蘊(yùn)涵項(xiàng)所包含。第59頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的一般步驟為：第一步：作出函數(shù)的卡諾圖；第二步：在卡諾圖上圈出函數(shù)的全部質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)；第三步：從全部質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)中找出所有必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)；第四步：若全部必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)尚不能覆蓋所有的1方格，則需從剩余質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)中找出最簡(jiǎn)的所需質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)，使它和必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)一起構(gòu)成函數(shù)的最小覆蓋。第60頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯涵數(shù)

F(A,B,C,D)=

m(0,3,5,6,7,10,11,13,15)10001111000011110ABCD11111111解：第61頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月110001111000011110ABCD11111110001111000011110ABCD1*1111*1*1*1*1*第62頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

F(A,B,C,D)=

m(2,3,6,7,8,10,12)10001111000011110ABCD111111解：10001111000011110ABCD111111第63頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0001111000011110ABCD1*1111*1*1*110001111000011110ABCD1*1*1*1*1第64頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：用卡諾圖把邏輯函數(shù)

F(A,B,C,D)=

M(3,4,6,7,11,12,13,14,15)化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)"或與"表達(dá)式。第65頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月10001111000011110ABCD001001011001001第66頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4.4邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)中兩個(gè)實(shí)際問題的考慮一、包含無關(guān)最小項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)無關(guān)最小項(xiàng)：一個(gè)邏輯函數(shù),如果它的某些輸入取值組合因受特殊原因制約而不會(huì)再現(xiàn),或者雖然每種輸入取值組合都可能出現(xiàn),但此時(shí)函數(shù)取值為1還是為0無關(guān)緊要,那么這些輸入取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為無關(guān)最小項(xiàng)。無關(guān)最小項(xiàng)可以隨意加到函數(shù)表達(dá)式中，或不加到函數(shù)表達(dá)式中，并不影響函數(shù)的實(shí)際邏輯功能。第67頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ABCD F0000 d0001 d0010 d0011 10100 10101 10110 00111 01000 01001 01010 11011 11100 11101 d1110 d1111 d10001111000011110ABCD11111例：給定某電路的邏輯函數(shù)真值表如下，求F的最簡(jiǎn)"與或"式。解：1)不考慮無關(guān)最小項(xiàng)：第68頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月110001111000011110ABCD1111dddddd2)考慮無關(guān)最小項(xiàng)：第69頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、多輸出邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn).對(duì)于多輸出邏輯函數(shù)，如果孤立地將單個(gè)輸出一一化簡(jiǎn)，然后直接拼在一起，通常并不能保證整個(gè)電路最簡(jiǎn)，因?yàn)楦鱾€(gè)輸出函數(shù)之間往往存在可供共享的部分。多輸出邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)：2）在滿足上述條件的前提下，各不同"與項(xiàng)"中所含的變量總數(shù)最少。1）所有邏輯表達(dá)式包含的不同"與項(xiàng)"總數(shù)最??；第70頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：多輸出函數(shù).對(duì)應(yīng)的卡諾圖為10001111001ABC11F110001111001ABC11F2第71頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從多輸出函數(shù)化簡(jiǎn)的觀點(diǎn)來看，它們不是最佳的，應(yīng)該是：對(duì)應(yīng)的卡諾圖為10001111001ABC11F11110001111001ABCF2第72頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列表化簡(jiǎn)法

列表化簡(jiǎn)法是Quine-Mccluskey提出的一種系統(tǒng)化簡(jiǎn)法，故也稱作Q-M法，也稱作表格法。這種方法具有嚴(yán)格的算法，雖然其工作量大、方法繁瑣，但便于計(jì)算機(jī)化簡(jiǎn)多變量邏輯函數(shù)。吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第73頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列表化簡(jiǎn)法

Q-M法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟如下：第一步，將函數(shù)表示成最小項(xiàng)表達(dá)式。第二步，找出函數(shù)的全部質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。1、將n變量函數(shù)中的相鄰最小項(xiàng)合并，消去相異的一個(gè)變量，得到(n-1)個(gè)變量的與項(xiàng)（蘊(yùn)涵項(xiàng)）。這時(shí)如果存在不能合并的最小項(xiàng)，它便是所尋找的部分質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。2、再將相鄰的（n-1）個(gè)變量的與項(xiàng)合并，消去相異的一個(gè)變量，得到（n-2）個(gè)變量的與項(xiàng)（蘊(yùn)涵項(xiàng)），這里如果存在不能合并的（n-1）個(gè)變量的與項(xiàng)，則它們也是所尋找的質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。如此進(jìn)行下去，直到不能再合并為止。得全部的質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)?！稊?shù)字邏輯電路》吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第74頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列表化簡(jiǎn)法

第三步，找出函數(shù)的必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。先畫出質(zhì)蘊(yùn)涵表，然后在表上找出僅屬于一個(gè)質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)的最小項(xiàng)，則包含該最小項(xiàng)的質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)就是必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。第四步，找出函數(shù)的最小覆蓋。當(dāng)?shù)谌秸页龅谋匾|(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)不能包含函數(shù)的全部最小項(xiàng)時(shí)，可以通過行、列消去法，找出最小覆蓋的其他必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。最小覆蓋指包含函數(shù)的全部最小項(xiàng)的最小質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)集合。《數(shù)字邏輯電路》吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第75頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列表化簡(jiǎn)法

用Q-M法化簡(jiǎn)函數(shù):《數(shù)字邏輯電路》吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院

111111111ABCD0001111000011110第76頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列表化簡(jiǎn)法

（1）找出全部質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)①做最小項(xiàng)分組表并找出不能合并者:將最小項(xiàng)mi按變量取值表示成二進(jìn)制數(shù)；其次，再根據(jù)這些二進(jìn)制數(shù)中所包含1的個(gè)數(shù)從少到多的次序進(jìn)行分組排隊(duì)；最后，把含有1的個(gè)數(shù)相同的最小項(xiàng)劃分成一組，組內(nèi)按下標(biāo)i的取值從小到大排列，如此制成最小項(xiàng)分組。從含有1個(gè)數(shù)最少的那組開始，在相鄰組內(nèi)比較最小項(xiàng)，將只有一個(gè)變量值不同的兩個(gè)最小項(xiàng)合并，消去一個(gè)變量，并在已合并的最小項(xiàng)的右邊Pi欄內(nèi)做記號(hào)“√”，表示該項(xiàng)已被合并。在不能合并的最小項(xiàng)的右邊Pi欄內(nèi)填入P1，則就是所尋找的質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。注意合并最小項(xiàng)只能處于相鄰的兩組內(nèi)，而不能處于同組或隔組內(nèi)?！稊?shù)字邏輯電路》吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第77頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列表化簡(jiǎn)法

《數(shù)字邏輯電路》吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院√1111154√√√011173√101010P110019√√√01106√√010152√√√01004√√√001021√√000000Pi變量ABCD最小項(xiàng)編號(hào)組號(hào)（1的個(gè)數(shù)）最小項(xiàng)分組表第78頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列表化簡(jiǎn)法

②做（n-1）個(gè)變量與項(xiàng)分組表并找出不能合并者:在最小項(xiàng)合并過程中，用符號(hào)“—”表示被消去的變量，這樣便得到若干個(gè)帶有“—”的與項(xiàng)，或稱作合并項(xiàng)。按照對(duì)最小項(xiàng)的分組方法，對(duì)帶有“—”的與項(xiàng)進(jìn)行分組。對(duì)相鄰組中的“—”處于相同位置的那些與項(xiàng)進(jìn)行合并，已合并的與項(xiàng)做記號(hào)“√”，并記入Pi欄；在不能合并的與項(xiàng)的Pi欄內(nèi)記入P2和P3，則

也是質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)?！稊?shù)字邏輯電路》吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第79頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列表化簡(jiǎn)法

組號(hào)（1）最小項(xiàng)編號(hào)變量ABCDPi00200—0√040—00√1260—10√210—010P245010—√4601—0√√25701—1√67011—√3715—111P3《數(shù)字邏輯電路》吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院√1111154√√√011173√101010P110019√√√01106√√010152√√√01004√√√001021√√000000Pi變量ABCD最小項(xiàng)編號(hào)組號(hào)（1的個(gè)數(shù)）最小項(xiàng)分組表

（n-1）個(gè)變量與項(xiàng)分組表第80頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列表化簡(jiǎn)法

③做（n-2）個(gè)變量與項(xiàng)分組表并找出不能合并者：在（n-1）個(gè)變量與項(xiàng)合并過程中，也用符號(hào)“—”表示被消去的變量，這樣便得到若干個(gè)帶有兩個(gè)“—”的與項(xiàng)。按照上述的分組方法，得到（n-2）個(gè)變量與項(xiàng)分組表。由表可以看出，僅有的兩（n-2）個(gè)變量與項(xiàng)不能再合并，在Pi欄內(nèi)分別記入P4和P5，P4和P5就是最后所尋找的質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)?！稊?shù)字邏輯電路》吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第81頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列表化簡(jiǎn)法

組號(hào)（1的個(gè)數(shù)）最小項(xiàng)編號(hào)變量ABCDPi

002460——0P41456701——P5《數(shù)字邏輯電路》吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院組號(hào)（1）最小項(xiàng)編號(hào)變量ABCDPi00200—0√040—00√1260—10√210—010P245010—√4601—0√√25701—1√67011—√3715—111P3（n-2）個(gè)變量與項(xiàng)分組表（n-1）個(gè)變量與項(xiàng)分組表第82頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列表化簡(jiǎn)法

④列出全部質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)由上述分析可得全部質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)：《數(shù)字邏輯電路》吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第83頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列表化簡(jiǎn)法

（2）找出必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)將函數(shù)的最小項(xiàng)和上述的質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)做序列表，并在質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)包含的最小項(xiàng)下面填入符號(hào)“×”,即做所謂質(zhì)蘊(yùn)涵表。找出那些僅屬于一個(gè)質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)的最小項(xiàng)，如m0僅屬于P4；m5僅屬于P5；m9僅屬于P1；m10僅屬于P2；m15僅屬于P3；并在相應(yīng)的×處加圓圈。質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)P1～P5均包含一個(gè)不屬于其他質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)的最小項(xiàng)，即它們均包含一個(gè)，所以它們均為必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)，并在其左邊加“﹡”號(hào)?！稊?shù)字邏輯電路》吉林大學(xué)計(jì)