第一章算法初步算法與程序框圖人教版必修31.1.1算法的概念現(xiàn)代社會，計(jì)算機(jī)幾乎已觸及到人們生活的方方面面，為人們的生活提供了很多便利，那計(jì)算機(jī)是如何工作的呢？如何才能讓它發(fā)揮更大的作用呢？事實(shí)上，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用離不開程序設(shè)計(jì)，而程序設(shè)計(jì)就是算法設(shè)計(jì)，所以要從算法說起．一起來認(rèn)識算法吧！在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會對一類問題的解法進(jìn)行歸納總結(jié)，得出解決這一類問題的一般步驟或方法，如解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化一元二次不等式為一般形式(ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0，其中a>0)；(2)求出該一元二次不等式對應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)根；(3)寫出不等式的解集．這實(shí)際上就是算法的思想。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)的飛速發(fā)展，算法的思想已滲透到社會的方方面面，這一節(jié)我們就來學(xué)習(xí)算法．優(yōu)效預(yù)習(xí)知識銜接1．算法的概念算術(shù)運(yùn)算一定規(guī)則明確有限計(jì)算機(jī)程序算法明確的步驟算法“語言”自主預(yù)習(xí)[破疑點(diǎn)]算法與一般意義上具體問題的解法既有聯(lián)系又有區(qū)別，它們之間是一般與特殊、抽象與具體的關(guān)系．算法的獲得要借助于一般意義上具體問題的求解方法，而任何一個(gè)具體問題都可以利用這類問題的一般算法來解決．在解決某些問題時(shí)，需要設(shè)計(jì)出一系列可操作或可計(jì)算的步驟，這些步驟稱為解決這些問題的算法．這種用步驟呈現(xiàn)解決問題過程的思想方法稱為算法的思想．2．算法的特征算法是做一件事情的方法和步驟．在生活中做一件事情的方法和步驟有多種，我們設(shè)計(jì)的算法應(yīng)本著簡捷方便的原則．要正確地設(shè)計(jì)一個(gè)算法就需要了解算法的特征：3.算法的設(shè)計(jì)(1)算法設(shè)計(jì)的目的設(shè)計(jì)算法的目的實(shí)際上是尋求__________的算法，它可以通過計(jì)算機(jī)來完成．設(shè)計(jì)算法的關(guān)鍵是把過程分解成若干個(gè)__________，然后用計(jì)算機(jī)能夠接受的“語言”準(zhǔn)確地描述出來，從而達(dá)到計(jì)算機(jī)執(zhí)行的目的．(2)算法設(shè)計(jì)的要求①寫出的算法必須能解決__________；②要使算法盡量____、步驟盡量___；③要保證算法____，且計(jì)算機(jī)能夠_____．一類問題正確的步驟一類問題簡單少正確執(zhí)行(3)算法的描述①展現(xiàn)形式：目前可使用文字語言表示．②展現(xiàn)方式：算法常用下列方式來表示：第一步，……第二步，……第三步，…………[答案]

D預(yù)習(xí)自測[解析]

A、B兩選項(xiàng)給出了解決問題的方法和步驟，是算法．C項(xiàng)，利用公式計(jì)算也屬于算法．D項(xiàng)，只提出問題沒有給出解決的方法，不是算法．[警誤區(qū)]算法特征中的有限性不等同于步驟的有限步，在算法結(jié)構(gòu)中會出現(xiàn)步驟的重復(fù)使用，也就是說算法執(zhí)行的步數(shù)大于或等于步驟中的步數(shù)，很可能步驟中的步數(shù)較少而要執(zhí)行的步驟很多，但不可以無限．2．下列對算法的理解不正確的是(

)A．算法有一個(gè)共同特點(diǎn)就是對一類問題都有效(而不是個(gè)別問題)B．算法要求是一步步執(zhí)行，每一步都能得到唯一的結(jié)果C．算法一般是機(jī)械的，有時(shí)要進(jìn)行大量重復(fù)的計(jì)算，它的優(yōu)點(diǎn)是一種通法D．任何問題都可以用算法來解決[答案]

D[解析]

算法是解決問題的精確的描述，但是并不是所有問題都有算法，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當(dāng)?shù)模?．有藍(lán)和黑兩個(gè)墨水瓶，但現(xiàn)在卻錯(cuò)把藍(lán)墨水裝在了黑墨水瓶中，黑墨水錯(cuò)裝在了藍(lán)墨水瓶中，要求將其互換，請你設(shè)計(jì)算法解決這一問題．[分析]

由于兩個(gè)墨水瓶中的墨水不能直接交換，故可以考慮通過引入第三個(gè)空墨水瓶的辦法進(jìn)行交換．[答案]

解：算法步驟如下：第一步，取一只空的墨水瓶，設(shè)其為白色．第二步，將黑墨水瓶中的藍(lán)墨水裝入白瓶中．第三步，將藍(lán)墨水瓶中的黑墨水裝入黑瓶中．第四步，將白瓶中的藍(lán)墨水裝入藍(lán)瓶中．第五步，交換結(jié)束．(1)下列關(guān)于算法的描述正確的是(

)A．算法與求解一個(gè)問題的方法相同B．算法只能解決一個(gè)問題，不能重復(fù)使用C．算法過程要一步一步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必須確切D．有的算法執(zhí)行完后，可能無結(jié)果探究方向一算法含義的正確理解高效課堂互動探究(2)下列描述不能看作算法的是(

)A．做米飯需要刷鍋，淘米，添水，加熱這些步驟B．洗衣機(jī)的使用說明書C．解不等式2x2＋x－1>0D．求過M(1,2)與N(－3，－5)兩點(diǎn)的直線方程可以先求MN的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程求得．[探究]

1.算法有何特點(diǎn)？2．如何判斷一個(gè)語句是否可以看作算法？

[解析]

(1)算法與求解一個(gè)問題的方法既有區(qū)別又有聯(lián)系，故A項(xiàng)不對；算法能重復(fù)使用，故B項(xiàng)不對；每個(gè)算法執(zhí)行后必須有結(jié)果，故D項(xiàng)不對；由算法的有序性和確定性可知C項(xiàng)正確．(2)A、B、D都描述了解決問題的過程，可以看作算法，而C只描述了一個(gè)事實(shí)，沒說明怎么解決問題，不是算法．[答案]

(1)C

(2)C[規(guī)律總結(jié)](1)算法實(shí)際上是一種程序性方法，它通常解決某一個(gè)或一類問題，在用算法解決問題時(shí)，顯然體現(xiàn)了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想．(2)算法的特點(diǎn)有：①有限性，②確定性，③順序性與正確性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有關(guān)算法的概念判斷題應(yīng)根據(jù)算法的這五大特點(diǎn)．(1)下列關(guān)于算法的說法正確的是(

)A．某個(gè)問題的解題過程就是算法B．一個(gè)算法可以有無窮多個(gè)步驟C．解決某一問題的算法可以有多個(gè)D．算法執(zhí)行完后可以有多個(gè)不同的結(jié)果跟蹤訓(xùn)練[答案]

(1)C

(2)①④[解析]

(1)算法與求解一個(gè)問題的方法過程是有區(qū)別的，故A不對；每一個(gè)算法的步驟是有限的，且執(zhí)行后結(jié)果是唯一確定的，故B、D不對；解決某一問題的算法可以不同，故C正確．(2)①是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)有效的步驟，故它是算法；②不是李華吃飯的步驟，只是說明他吃了多少東西，故它不是算法；③執(zhí)行結(jié)果不確定，故它也不是算法；④是求菱形面積的步驟，故它是算法．[規(guī)律總結(jié)]

判斷算法的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)明確算法的含義．(2)明確算法的特點(diǎn)．(3)明確算法與解法的區(qū)別．寫出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一個(gè)算法．探究方向二

數(shù)值性問題的算法[解析]

算法1：第一步，計(jì)算1＋2得到3；第二步，將第一步中的運(yùn)算結(jié)果3與3相加得到6；第三步，將第二步中的運(yùn)算結(jié)果6與4相加得到10；第四步，將第三步中的運(yùn)算結(jié)果10與5相加得到15；第五步，將第四步中的運(yùn)算結(jié)果15與6相加得到21；第六步，輸出運(yùn)算結(jié)果．[規(guī)律總結(jié)]

(1)算法1是切合“算法”的含義．算法2是運(yùn)用已知的結(jié)果作為公式進(jìn)行計(jì)算．算法3據(jù)已知發(fā)現(xiàn)規(guī)律寫出步驟．(2)算法設(shè)計(jì)的步驟設(shè)計(jì)一個(gè)具體的算法，通常按以下步驟：將例題中的“加號”改為“乘號”求這六個(gè)數(shù)的積．[解析]

算法1：第一步計(jì)算1×2得2.第二步將第一步中的運(yùn)算結(jié)果2與3乘得6.第三步將第二步中的運(yùn)算結(jié)果6與4乘得24.第四步將第三步中的運(yùn)算結(jié)果24與5乘得120.第五步將第四步中的運(yùn)算結(jié)果120與6乘得720.還可以將此算法改造得更加簡練、科學(xué)．跟蹤訓(xùn)練算法2：第一步設(shè)i＝1，P＝1.第二步如果i≤6，執(zhí)行第三步，否則執(zhí)行第五步．第三步計(jì)算P×i并用結(jié)果代替P.第四步將i用i＋1代替，轉(zhuǎn)去執(zhí)行第二步．第五步輸出P.[點(diǎn)評]

i稱作計(jì)數(shù)變量，每一次循環(huán)它的值增加1，并從1變到6，P是一個(gè)累乘變量，每一次循環(huán)后得到一個(gè)新的結(jié)果，并由新結(jié)果替代原值．試設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求表面積為16π的球的體積．[探究]

1.由球的表面積求出球的半徑．2．球的體積與表面積的關(guān)系.探究方向三非數(shù)值性問題的算法[規(guī)律總結(jié)]方法1是分步算式，清楚明白；方法2是綜合算式，步驟簡練，兩種算法各有長處．設(shè)計(jì)算法時(shí)，不要設(shè)計(jì)得過于零碎，步驟過多，以免實(shí)際操作起來比較繁雜，因此?？紤]用綜合算法．跟蹤訓(xùn)練[過程釋疑]

加減消元，消去x，也可①＋②×2消去y.移項(xiàng)是為了利用代入消元法，也可用①式移項(xiàng)，得x＝2y－1.寫出方程組的解的形式．[規(guī)律總結(jié)]通過求解二元一次方程組，知道求解某個(gè)問題的算法不一定唯一，對于具體的實(shí)例可以選擇合適的算法，盡量做到“省時(shí)省力”，使所用的算法為最優(yōu)算法．(1)一個(gè)算法的步驟如下：第一步，輸入x的值．第二步，計(jì)算y＝x2.第三步，計(jì)算z＝2y－log2y.第四步，輸出z的值．若輸入x的值為－2，則輸出z的值為(

)A．2

B．4C．12 D．14探究方向四算法的應(yīng)用探索延拓(2)下面是求1×3×5×7×9×11值的算法，用p表示被乘數(shù)，i表示乘數(shù)，則將算法補(bǔ)充完整．第一步，使p＝1.第二步，使i＝3.第三步，使p＝________.第四步，使i＝________.第五步，若i≤11，則返回到第三步繼續(xù)執(zhí)行；否則輸出p.[探究]

1.對數(shù)的運(yùn)算法則是什么？2．算法的某些步驟可以循環(huán)使用嗎？[解析]

(1)第一步，輸入x的值為－2，第二步，計(jì)算得y＝(－2)2＝4；第三步，計(jì)算得z＝24－log24＝16－2＝14.(2)根據(jù)要解決的問題知，算法中第三步是前面兩個(gè)數(shù)的積與后面的數(shù)相乘，且i每次都增加2.[答案]

(1)D

(2)p×i

i＋2(1)如下算法：第一步，輸入x的值．第二步，若x≥0成立，則y＝x，否則執(zhí)行下一步．第三步，計(jì)算y＝2x2－4.第四步，輸出y的值．若輸入x＝－2，則輸出y＝________.跟蹤訓(xùn)練(2)給出算法：第一步，輸入n＝8.第二步，令i＝1，S＝0.第三步，判斷i≤n是否成立，若不成立，輸出S，結(jié)束算法；若成立，執(zhí)行下一步．第四步，令S的值加i，仍用S表示，令i的值加1，仍用i表示，返回第三步．該算法的功能是________．[答案]

(1)4

(2)計(jì)算1＋2＋3＋…＋8的值[解析]

(1)輸入x＝－2后，x＝－2≥0不成立，則計(jì)算y＝2x2－1＝2×(－2)2－4＝4，則輸出y＝4.(2)計(jì)算1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8的值該算法的運(yùn)行過程是：n＝8，i＝1≤8成立，S＝0＋1＝1；i＝2≤8成立，S＝1＋2；i＝3≤8，S＝1＋2＋3；依次下去，i＝8≤8成立，S＝1＋2＋…＋8，i＝9≤8不成立；輸出S＝1＋2＋3＋…＋8.設(shè)計(jì)一個(gè)算法，將1573分解成奇因數(shù)的乘積．[錯(cuò)解]

算法如下：第一步，判斷1573是否為素?cái)?shù)：否．第二步，尋找1573的最小奇因數(shù)：不是2，也不是3……[錯(cuò)因分析]

第二步的結(jié)果是不確定的，“不是2，也不是3”，到底有多少是不確定的？而算法中的每一步都要有明確具體的結(jié)果，只有這樣，才有最終的結(jié)果．誤區(qū)警示[正解]

算法如下：第一步，判斷1573是否為素?cái)?shù)：否．第二步，確定1573的最小奇因數(shù)11，即1573＝11×143.第三步，判斷143是否為素?cái)?shù)：否．第四步，確定143的最小奇因數(shù)11，即143＝11×13.第五步，判斷13是否為素?cái)?shù)：是．分解結(jié)果是1573＝11×11×13.設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求出840和1764的最大公約數(shù)．[探究]

首先對給出的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解：840＝23×3×5×7,1764＝22×32×72；其次確定兩個(gè)因數(shù)的公共質(zhì)因數(shù)：2,3,7；最后確定公共質(zhì)因數(shù)的指數(shù)：對于公共質(zhì)因數(shù)2,840的質(zhì)因數(shù)中2的指數(shù)為3,1764的質(zhì)因數(shù)中2的指數(shù)為2，應(yīng)取較小的指數(shù)2，同理可得余下的公共質(zhì)因數(shù)3和7的指數(shù)分別為1和1.針對訓(xùn)練[解析]

算法步驟如下：第一步，將840進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，得840＝23×3×5×7.第二步，將1764進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，得1764＝22×32×72.第三步，確定它們的公共質(zhì)因數(shù)：2,3,7.第四步，確定公共質(zhì)因數(shù)2,3,7的指數(shù)別為2,1,1.第五步，840和1764的最大公約數(shù)為22×33×71＝84.[過程釋疑]

分解到不能再分解為止．取指數(shù)的最小值．此題表面上是求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)，但實(shí)際上是