第一章行列式習(xí)題課第一章行列式習(xí)題課1一、要點(diǎn)復(fù)習(xí)二、典型例題介紹第一章行列式一、要點(diǎn)復(fù)習(xí)二、典型例題介紹第一章行列式2一、要點(diǎn)復(fù)習(xí)行列式定義性質(zhì)特殊形式常用計(jì)算方法克萊姆法則定理推論一、要點(diǎn)復(fù)習(xí)行列式定義性質(zhì)特殊形式常用計(jì)算方法克萊姆法則定理31.排列與逆序數(shù)定義：由1,2，…，n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n階排列。定義：一個(gè)排列中，如果一個(gè)大數(shù)排在一個(gè)小數(shù)之前，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序。一個(gè)排列中，逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。記作：定義：逆序數(shù)是偶數(shù)的n階排列稱為偶排列；逆序數(shù)是奇數(shù)的n階排列稱為奇排列。1.排列與逆序數(shù)定義：由1,2，…，n組成的一個(gè)有序數(shù)組4定義：在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，叫做對(duì)換。將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換。定理：排列經(jīng)過1次對(duì)換，其奇偶性改變。推論：奇排列調(diào)成自然排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成自然排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)。定義：在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，叫做52.行列式的定義2.行列式的定義6無論是哪種定義，其本質(zhì)相同，即階行列式是一個(gè)數(shù)，是所有取自不同行、不同列元素?zé)o論是哪種定義，其本質(zhì)相同，即階行列式是一個(gè)數(shù)，是所有取自不73.行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。此性質(zhì)說明在行列式中行和列的地位是同等的，即對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)列也同樣成立。

性質(zhì)2互換行列式的兩行(列)，行列式改變符號(hào)。

推論若行列式中兩行(列)對(duì)應(yīng)元素完全相同，則此行列式為零。性質(zhì)3行列式中某一行(列)元素的公因子可以提到行列式外面。

推論1若行列式某一行(列)的元素全為零，則該行列式為零。

推論2若行列式某兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例，則該行列式為零。

3.行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。8性質(zhì)4若行列式的某一行(列)的每一個(gè)元素都可表示為兩數(shù)的和，則該行列式可以表示為兩行列式之和

性質(zhì)5把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)再加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去，則該行列式的值不變。性質(zhì)6(Laplace展開法則)

性質(zhì)4若行列式的某一行(列)的每一個(gè)元素都可表示為兩數(shù)性94.幾種常見的行列式上三角行列式

下三角行列式

4.幾種常見的行列式上三角行列式下三角行列式10對(duì)角行列式

范德蒙(Vandermonde)行列式三角行列式與對(duì)角行列式是指對(duì)主對(duì)角線而言對(duì)角行列式范德蒙(Vandermonde)行列式三角115.行列式常用計(jì)算方法首先觀察行列式元素的規(guī)律（數(shù)字規(guī)律與排列規(guī)律），常用計(jì)算方法有：利用行列式的定義；利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式；利用行列式的性質(zhì)做恒等變形化簡(jiǎn),使行列式中出現(xiàn)盡量多的零元素，然后按零元素最多的行或列展開；拆行列式為幾個(gè)行列式的和；遞推公式法；數(shù)學(xué)歸納法；應(yīng)用范德蒙行列式；加邊法。5.行列式常用計(jì)算方法首先觀察行列式元素的規(guī)律126.克萊姆法則定理：如果線性方程組

的系數(shù)行列式那么此線性方程組有惟一解，且：

6.克萊姆法則定理：如果線性方程組的系數(shù)行列式那么此線13推論：如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式

，則它只有零解．

推論：如果齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式推論：如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則它只有零解．14解

二、典型例題1.解二、典型例題1.15解

在的4階行列式中,位于不同行不同列的4個(gè)元素乘積含的項(xiàng)只有1項(xiàng)

而含的項(xiàng)有2項(xiàng)

2解在的4階行列式中,位于不同行不同列的4個(gè)元素乘積含的項(xiàng)只16解

（行和相等的行列式）3、解（行和相等的行列式）3、174、4、18第一章行列式習(xí)題課課件19第一章行列式習(xí)題課課件20注：此題也可按第n行展開計(jì)算.在行列式的計(jì)算中，這是一類比較典型的題目.5、注：此題也可按第n行展開計(jì)算.在行列式的計(jì)算中，這是一類比216、6、22第一章行列式習(xí)題課課件23第一章行列式習(xí)題課課件247、7、25第一章行列式習(xí)題課課件26注：1.利用行列式按行（列）展開定理，可以得到關(guān)于所求行列式值的遞推式.一般來說，遞推式的形式多種多樣，如例4、例6、例7中介紹的，不同的遞推式有不同的解法，應(yīng)注意這一點(diǎn).2.當(dāng)行列式的某一行（列）中零較多時(shí)，考慮將行列式按行（列）展開，目的是將行列式降階，以計(jì)算出行列式的值.注：1.利用行列式按行（列）展開定理，可以得到關(guān)于所求行列式27利用矩陣的一些性質(zhì)，可簡(jiǎn)化方陣行列式的計(jì)算.8、利用矩陣的一些性質(zhì)，可簡(jiǎn)化方陣行列式的計(jì)算.8、28第一章行列式習(xí)題課課件29注：一般而言，|A+B||A|+|B|，故沒有公式求|A+B|，通常是用矩陣恒等變形的技巧，將其化為乘積的形式.9、注：一般而言，|A+B||A|+|B|，故沒有公式求|A+3010、10、31第一章行列式習(xí)題課課件3211、11、33121234解

（拆分行列式）13、解（拆分行列式）13、35解

14、解14、36（展開法則）解

15、（展開法則）解15、37解

16、解16、38又按定義知,又按定義知,39證

利用行列式性質(zhì),有

17、證利用行列式性質(zhì),有17、40略略19、20、略略19、20、41解

推論：若齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0，則方程組僅有零解21、解推論：若齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0，則方程組僅有零4222、求行列式解22、求行列式解4323、求行列式按第一列展開,得

解23、求行列式按第一列展開,得解4424、求行列式時(shí)，

時(shí)，

時(shí)，

解24、求行列式時(shí)，時(shí)，時(shí)，解4525、證明證

本題可以分別計(jì)算等式左右的行列式，得到數(shù)值相等，但這樣比較繁瑣。注意到左邊行列式的形式，考慮應(yīng)用矩陣的乘法，根據(jù)乘法運(yùn)算規(guī)則可知：25、證明證本題可以分別計(jì)算等式左右的行列式，得到數(shù)4626、證明證與形式相同，記為（遞推公式）26、證明證與形式相同，記為（遞推公式）47根據(jù)遞推公式……根據(jù)遞推公式……4827、證明證應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法

命題成立假設(shè)對(duì)于階行列式命題成立,即：

27、證明證應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法命題成立假設(shè)對(duì)于階行列式命題成立49則按第一列展開:

將歸納法假設(shè)代入,得

因此,對(duì)任意正整數(shù),都有

則按第一列展開:將歸納法假設(shè)代入,得因此,對(duì)任意正整數(shù),5028、證明證提