矩陣的初等變換與初等矩陣（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）

§2.2矩陣的初等變換與初等矩陣矩陣的初等變換與初等矩陣（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）1．矩陣的初等變換定義2.1下列三種變換稱為矩陣的初等列變換：（1）交換矩陣的第列，用記之；（2）用非零數(shù)乘矩陣的第列，用記之；（3）把矩陣的第列的倍加到第列，用記之。矩陣的初等行變換與列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。如果矩陣經(jīng)過有限次初等(行，列)變換，化為矩陣，就稱矩陣與(行，列)等價(jià)，記作。矩陣的等價(jià)具有以下性質(zhì)：（1）反身性；（2）對稱性如果，則；（3）傳遞性如果，，則。利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化為行最簡形，從而得出方程組的解?？梢?，討論矩陣的某種結(jié)構(gòu)簡單、而形式特定的等價(jià)矩陣，在理論和實(shí)際應(yīng)用上都是必要而有價(jià)值的。對矩陣的行最簡形再施行初等列變換，可得到一種結(jié)構(gòu)最為簡單的形式。以§為例，矩陣的行最簡形為，再經(jīng)初等列變換化為。稱矩陣為矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。定理2.1矩陣經(jīng)過有限次初等變換可化為如下的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形：，其中下方及右邊的零行，零列可能空缺。由行列式的性質(zhì)可知，行列式不為零的方陣，其等價(jià)矩陣的行列式也不為零。由此可得以下結(jié)論：可逆矩陣的等價(jià)矩陣也為可逆矩陣；可逆矩陣的行最簡形就是等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，且一定是單位矩陣。2．初等矩陣定義2.2由單位矩陣經(jīng)一次初等變換而得的矩陣稱為初等矩陣。相應(yīng)于矩陣的三種初等變換，初等矩陣(elementarymatrix)有三種：（1）：由單位矩陣交換第行(列)而得的方陣；（2）：由單位矩陣的第行(列)乘非零數(shù)而得的方陣；（3）：由單位矩陣的第行乘數(shù)加于第行而得的方陣，也即由單位矩陣的第列乘數(shù)加于第列而得的方陣。在矩陣的初等變換與初等矩陣之間，存在著一種本質(zhì)而美妙的關(guān)系。定理2.2設(shè)。（1）對矩陣施以某種初等行變換得到的矩陣，等于用同種的階初等矩陣左乘。（2）對矩陣施以某種初等列變換得到的矩陣，等于用同種的階初等矩陣右乘。證明以第三種初等列變換為例證之。將矩陣和單位矩陣按列分塊，，。經(jīng)列變換，矩陣和單位矩陣分別變換為，。由§1.4節(jié)例4.2知，于是。。其余情形請讀者證明。由定理2.2可知，初等矩陣可逆，其逆矩陣也為初等矩陣，具體如下：，，。定理2.3階方陣為可逆矩陣的充分必要條件是可以表成若干初等矩陣的乘積。證明若可表成若干初等矩陣的乘積，由初等矩陣可逆，即知可逆。若可逆，則的行最簡形為單位矩陣，由定理2.2知，存在初等矩陣，使，于是。定理2.4矩陣與等價(jià)的充分必要條件是存在階可逆方陣及階可逆方陣，使。更具體地有（1）矩陣與行等價(jià)的充分必要條件是存在階可逆方陣，使。（2）矩陣與列等價(jià)的充分必要條件是存在階可逆方陣，使。3．矩陣方程的初等變換解法對一般形式的矩陣方程，可以通過矩陣的有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)矩陣方程后解之。因此，這里主要介紹標(biāo)準(zhǔn)矩陣方程，的初等變換解法。設(shè)為可逆矩陣，則矩陣方程的解為。注意，由定理2.4知，經(jīng)若干次初等行變換可以化為。對矩陣方程可作類似的分析。因此，我們有（1）矩陣方程的初等行變換解法：，。特別地，取，則有逆矩陣的初等變換求法：。（2）矩陣方程的初等列變換解法：，。例2.1已知，求。解，因此。例2.2設(shè)，，，求線性方程組和的解。解設(shè)，。記，，則兩個(gè)線性方程組可合成一個(gè)矩陣方程。。線性方程組和的解依次為和。例2.3設(shè)，，求解。解，因此。4．矩陣的分塊初等變換定義2.3分塊矩陣的下列三種變換稱為分塊矩陣的初等行變換：（1）對換分塊矩陣的兩行；（2）以一個(gè)可逆矩陣左乘分塊矩陣的某一行(的階數(shù)與該行子矩陣的行數(shù)相等)；（3）把分塊矩陣的第行左乘矩陣加到第行(的列數(shù)與第行子矩陣的行數(shù)相等，的行數(shù)與第行子矩陣的行數(shù)相等)。把定義中的“行”換成“列”，“左乘”換成“右乘”，即得分塊矩陣的初等列變換的定義。分塊矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為分塊矩陣的初等變換，或稱為矩陣的分塊初等變換。對矩陣施行一次分塊初等變換，就是對矩陣施行若干次初等變換：（1）對矩陣施行一次第一種分塊初等變換，就是對矩陣施行若干次第一種初等變換。（2）對矩陣施行一次第二種分塊初等變換，就是對矩陣施行若干次初等變換。對分塊初等列變換加以說明。設(shè)矩陣分塊為，其中子矩陣的列數(shù)為。以階可逆矩陣右乘分塊矩陣的第列得分塊矩陣，由定理2.4知，分塊矩陣是分塊矩陣對子矩陣施行若干次初等列變換而得的。（3）對矩陣施行一次第三種分塊初等變換，就是對矩陣施行若干次第三種初等變換。對分塊初等列變換加以說明。設(shè)矩陣分塊為，其中子矩陣為矩陣。設(shè)矩陣，以乘子矩陣的第1列，乘子矩陣的第2列，…，乘子矩陣的第列，都加到子矩陣的第列上()，結(jié)果分塊矩陣變換為分塊矩陣。例2.4設(shè)為階可逆矩陣，為階可逆矩陣，求矩陣的逆矩陣。解對分塊矩陣施行初等行變換。將該分塊矩陣的第一行左乘矩陣，第二行左乘矩陣，得矩陣，再將該分塊矩陣的第二行左乘矩陣()加到第一行，得矩陣，因此。例2.5設(shè)為階可逆矩陣，為階方陣，化矩陣為分塊對角矩陣。解將分塊矩陣的第一行左乘矩陣()加到第二行，第一列右乘矩陣()加到第二列，得分塊對角矩陣。由定理2.4可知，以上分塊初等變換相當(dāng)于以下一個(gè)矩陣等式。(2.1)事實(shí)上，由定理2.4知，存在可逆矩陣，使。由，知。在例2.5所用的分塊初等行變換下，單位矩陣變換為。因此。類似地考慮列的情形，可知。在中，將各矩陣的分塊形式代入，即得(2.1)式。(2.1)式可直接計(jì)算驗(yàn)證(見習(xí)題1.4題3)。(2.1)式兩邊取行列式，即得定理2.5設(shè)為可逆矩陣，為方陣，則有舒爾(Schur)公式。注若為可逆矩陣，為方陣，則Schur公式為。習(xí)題2.21．用矩陣的初等行變換，求下列矩陣的逆陣：（1）；（2）；（3）。2．用矩陣的初等行變換，求下列方程的解：（1）；（2）。3．設(shè)，，求解。4．設(shè)，，，求解。5．設(shè)為階可逆矩陣，為階可逆矩陣，求的逆矩陣。6．設(shè)為階可逆矩陣，為階可逆矩陣，求的逆矩陣。7．設(shè)為階矩陣，且可逆，，證明。8．設(shè)分別為和矩陣，證明。9．設(shè)為階矩陣，為數(shù)，證明。第21卷第2期淮北煤師院學(xué)報(bào)Vol.21No.22000年6月JournalofHuaibeiCoalIndustryTeachersCollegeJun.2000求矩陣秩分解的初等變換法及其應(yīng)用江旭光(安徽省直職工大學(xué),摘要:本文給出了秩為rA.關(guān)鍵詞:分類號:C文章編號:1000-2227(200002-0071-73眾所周知,設(shè)A是m×n矩陣,秩A=r,則存在可逆的m×m矩陣P,n×n矩陣Q,使Ir0PAQ=,此式稱為矩陣A的秩分解[1].對上式一般的教科書中從未給出P、Q的具0體求法,P、Q的初等變換求法如下:下面利用上述P、Q討論線性方程組解的問題.設(shè)有齊次線性方程組(2AX=0式中,A同(1式.設(shè)Q=(a1,a2,…,an,則由(1得,Aar+1=0,…,Aan=0,ar+1,…,an是(2的解向量,又秩A=r,Q可逆,得ar+1,ar+2,…,an是齊線性方程組(2的一個(gè)基礎(chǔ)解系.現(xiàn)考慮一般線性方程組AX=b收稿日期:2000—03—27,男,浙江寧波人,學(xué)士,講師作者簡介:江旭光(1956-(372淮北煤師院學(xué)報(bào)2000年其中b=(b1,b2,…,bmT,X=(x1,x2,…,xnT,A如上.第2期江旭光求矩陣秩分解的初等變換法及其應(yīng)用73故該方程組通解為η=η0+k1a3+k2a4(k3,k4為任意實(shí)數(shù)參考文獻(xiàn):[1]張禾瑞,郝钅丙新.高等代數(shù)(第三版[M].北京:高等教育出版社,1983.TheElementaryOperationsMethodofRankDecompsionandItsApplicationJIANGXu2guang(StaffandWorkersUniversitySubordinatetoAuhuiProvince,Hefei230001Abstract:Inthispaper,aelementraryoperationsmethodisgivenforfindingfactormatrixinrankdecompositionofmatrixAwithrankrandappliedtosolvelinearequations.Keywrods:rankdecomposition;elementaryoperations;solvelinearequations矩陣初等變換的一個(gè)應(yīng)用馬盼云（甘肅—慶陽745000）摘要：本文是在學(xué)習(xí)了初等矩陣后，靈活運(yùn)用了矩陣的初等變換來求若干個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)和若干個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式，在理論研究的基礎(chǔ)上并通過具體的實(shí)例來說明用高級數(shù)學(xué)的方法解決初等數(shù)學(xué)問題，可以帶來意想不到的方便和簡捷。（正確和合理是沒有問題的，所以就改為方便兩字，可以通過。）關(guān)鍵詞：矩陣；初等變換；多項(xiàng)式；最大公因數(shù)；最大公因式預(yù)備知識:在《線性代數(shù)》和《高等代數(shù)》中矩陣的初等變換指的是在一般的數(shù)域F里以下三種變換：（1）用一個(gè)非零的數(shù)乘以矩陣的某一行（列）;（2）用一個(gè)數(shù)乘以矩陣的某一行（列）后加到矩陣的另一行（列）上;（3）交換矩陣的兩行（列）的位置。1、環(huán)和數(shù)域的簡單介紹ⅰ、數(shù)環(huán)設(shè)S是復(fù)數(shù)集C的一個(gè)非空子集，如果對于S中任意兩個(gè)數(shù)來說，都是S中的數(shù)，那么S就是一個(gè)數(shù)環(huán)。ⅱ、設(shè)F是一個(gè)數(shù)環(huán)，如果1F含有一個(gè)不等于零的數(shù)；2如果a,bF，且b,則F那么就稱F是一個(gè)數(shù)域2、多項(xiàng)式環(huán)里的矩陣的初等變換在整數(shù)環(huán)Z里矩陣的初等變換和在數(shù)域F里一樣的，而對于多項(xiàng)式環(huán)里的矩陣A=，的初等變換指：1）用一個(gè)非零的多項(xiàng)式乘以矩陣的某一行（列）2）用一個(gè)多項(xiàng)式乘以矩陣的某一行（列）后加到矩陣的另一行（列）上3）交換矩陣的兩行（列）的位置矩陣的初等變換有很多好處，如何可以用來求可逆矩陣的逆矩陣，解某些矩陣方程，求兩個(gè)基的過度矩陣等。本文主要討論矩陣的初等變換在求解若干個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)和若干個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式中的應(yīng)用。設(shè)是整數(shù)，用表示它們的最大公因數(shù)，設(shè)表示它們的最大公因式。3、預(yù)備定律:引理1、設(shè)，則存在，有。引理2、設(shè)，則存在，使得。定理1、若可逆矩陣P左乘以A能得到B，則一定可以對A施行行初等變換得到B。證明：因?yàn)榫仃嘝可逆，所以存在初等矩陣使得P，所以PA=A=B，也就是說對A施行行初等變換能得到B.定理2、若可逆矩陣P右乘以A能得到B，則一定可以對A施行列初等變換得到B。證明：因?yàn)榫仃嘝可逆，所以存在初等矩陣使得P，所以AP==B，也就是說對A施行列初等變換能得到B。定理3、設(shè)，，則一定可以對矩陣，施行列初等變換化為：，其中，X表示矩陣中元素。證明：由引理1知存在使得，所以=d構(gòu)造一線性方程則顯然該方程的解空間為n-1維，人取其n-1個(gè)解：，取，構(gòu)造矩陣P=，則是線性方程組的解。其中，那么P=是一個(gè)可逆矩陣。且有=所以根據(jù)定理2知，一定可以對矩陣施行初等變換化為，其中，X表示矩陣中元素。定理4、設(shè)則一定可以對矩陣施行列初等變換化為其中，x表示矩陣中元素。該定理的證明方法與定理3的證明方法完全類似，這里在不做進(jìn)一步的證明。4、應(yīng)用：例1、設(shè)，解不定方程解：可通過列初等變換來解該方程所以根據(jù)定理3可知：x=2,y=-11例2、令F是有理數(shù)域，求的多項(xiàng)式與的最大公因式。解：因?yàn)樗愿鶕?jù)定理3可知由以上例子可以看出，利用矩陣的初等變換能方便快捷求若干個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)和若干個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。參考文獻(xiàn)：【1】張禾瑞，郝炳新，高等代數(shù)（第四版）[M]北京：高等教育出版社1999，21—22；42—43【2】牟俊霖，李青吉，2005年版洞穿考研數(shù)學(xué)[M]，北京：航空工業(yè)出版社，2005，376—377【3】同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)（第四版）[M]北京：高等教育出版社，2005，59—60【4】張小紅，高等代數(shù)專題研究選編[M]西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1992，213—214【5】劉仲奎，高等代數(shù)（第三版）北京：高等教育出版社習(xí)題4-1利用初等變換求下列矩陣的秩；.2．取怎樣的數(shù)值時(shí)，線性方程組有解，并求它的一般解.3．取怎樣的數(shù)值時(shí)，線性方程組有唯一解，沒有解，有無窮多解？在有無窮多解時(shí)，求出它的一般解.證明：含有2個(gè)未知量3個(gè)方程的線性方程組有解的必要條件是行列式.這個(gè)條件是充分的嗎？請分析.5.設(shè)、都為矩陣，證明，秩秩的充分且必要條件是經(jīng)過初等變換得到（這時(shí)我們稱與等價(jià)）.6.設(shè)是一個(gè)階矩陣，證明，在初等變換下有標(biāo)準(zhǔn)形的充分且必要條件是.7．若，，.證明：秩秩+秩.8．證明，線性方程組有解的充分必要條件是.這個(gè)命題能否推廣到個(gè)未知量個(gè)方程的情形？9．證明：若與同時(shí)有解，則.10．解齊次線性方程組(1)（2)11．分別求使以下齊次線性方程組有非零解.(1)(2)12．設(shè)(1)證明：若(1)有解，則又，逆命題是否成立？習(xí)題4-2求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.(1)(2)2.證明：如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，是矩陣中劃去第列所得的矩陣的行列式，證明：(1)是方程組的一個(gè)解；(2)如果這個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，那么方程組的解全是的倍數(shù).3.給出平面上個(gè)點(diǎn)共線的充分必要條件.4.給出平面上條直線共點(diǎn)的充分必要條件.5.寫出通過三點(diǎn)（1，2），（1，-2），（0，-1）的圓方程.6.給出平面上不在一直線上的四點(diǎn)位于同一圓周上的充分必要條件.7.證明：的任意一個(gè)子空間都是某一個(gè)含未知量的齊次線性方程組的解空間.8.證明：的任意一個(gè)真子空間都是若干個(gè)維子空間的交.9.求以下非齊次線性方程組的通解(1)(2)(3)10.設(shè)是非齊次線性方程組的任意個(gè)解，，證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，也是這個(gè)非齊次線性方程組的解.11.設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是它的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系.證明：(1)線性無關(guān)；(2)也線性無關(guān)；(3)如果是這個(gè)非齊次線性方程組的任意解，則線性無關(guān)；(4)中向量是這個(gè)非齊次線性方程組的解的充分必要條件是存在個(gè)數(shù),，使得.矩陣的初等變換與應(yīng)用0922021241078一、矩陣概念線性方程組系數(shù)的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為這就是矩陣。矩陣的定義由m×n個(gè)數(shù)排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列的矩陣，簡稱m×n矩陣。記作這m×n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數(shù)稱為矩陣A的（i,j）元。以數(shù)為（i,j）元的矩陣可記作或，m×n矩陣A也記作元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩稱為復(fù)矩陣。行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣.n階矩陣A也記作只有一行的矩陣稱為行矩陣，又稱行向量。只有一列的矩陣稱為列矩陣，又稱列向量。注意：1.矩陣是數(shù)表，行列式是由其元素經(jīng)適當(dāng)定義一種運(yùn)算而得到的數(shù)。2.矩陣中行數(shù)與列數(shù)可以相等，也可以不相等。而行列式中的行數(shù)與列數(shù)必須相等。兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們?yōu)橥途仃嚒Ｈ绻c是同型矩陣，并且它們的對應(yīng)元素相等，即那么就稱矩陣A與矩陣B相等。記作A=B。元素都是零的元素稱為零矩陣，記作0。二、矩陣的初等變換的定義1.定義矩陣的初等變換：下面的三種變換稱為矩陣的初等變換(1；.（換行或換列）(2；（數(shù)）（倍行或倍列）(3；..（倍行加或倍列加）2.矩陣與等價(jià)：經(jīng)過有限次的初等變換變成.記作.（1）等價(jià)的性質(zhì)：反身性；對稱性若，則；傳遞性若，則.（2）任何矩陣都等價(jià)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,即．即存在有限個(gè)初等矩陣,使.且矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形惟一確定.（3）行階梯矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全是零；每個(gè)臺階只有一行，臺階數(shù)為非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元.例如上述兩矩陣均為行階梯矩陣.（4）行最簡形矩陣：非零行的非零首元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為零的行階梯矩陣.為行最簡形矩陣.例1求所給矩陣A的行階梯矩陣、行最簡形矩陣以及等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣.（行階梯矩陣）.（行最簡形矩陣）（等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣）3.初等矩陣的概念（1）定義初等矩陣：由單位矩陣只經(jīng)過一次初等變換得到的方陣.①或均對應(yīng)初等方陣:②或均對應(yīng)初等矩陣:③或均對應(yīng)初等矩陣:（2）初等矩陣行列式的性質(zhì).重要結(jié)論：初等矩陣是可逆矩陣，且逆矩陣仍然是初等矩陣.(3初等矩陣的逆矩陣①;②,;③.(4初等矩陣的轉(zhuǎn)置也是初等矩陣.①;②,;③.4.矩陣初等變換的重要性質(zhì)【性質(zhì)1】設(shè)A是一個(gè)的矩陣，對A實(shí)施一次初等行(列變換，相當(dāng)于在A的左邊(右邊乘以相應(yīng)的階（階）初等矩陣.【性質(zhì)2】方陣可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣，使得，即.【定理】設(shè)與為矩陣，則①存在階可逆矩陣,使.②存在階可逆矩陣,使.③分別存在、階可逆矩陣、,使.5.用初等變換求逆矩陣或解矩陣方程的方法①若可逆,則也可逆,于是存在初等矩陣,使，又即，所以,用分塊矩陣運(yùn)算表示為..②用初等變換求解矩陣方程，求解線性方程組(1解矩陣方程，其中可逆，則即.(2解線性方程組，其中可逆.則，即.(3解矩陣方程，其中可逆，則即.【定理6】矩陣方程有解的充要條件是.例2設(shè)，求線性方程組的解.解設(shè).因?yàn)?，所以可逆，且，即線性方程組都有惟一解，且解依次為.3.矩陣的秩（1）定義矩陣的階子式：在矩陣中，任取行與列，位于這些行列相交處的個(gè)元素，按原相對位置構(gòu)成的階行列式.（）.的階子式共有個(gè).例3矩陣的階子式：(1