2021-2022學年湖南省懷化市高三（上）一輪診斷數(shù)學試

卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.設(shè)集合A={x|-2<x<2},B={x\x<-1},則ACI(CRB)=()

A.{x\x>一1}B.{x\x>2]

C.{x|-1<x<2]D.{x|-2VxV-1}

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)一。一2）+（。+1/是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）

A.1或2B.2C.-1或2D.1

3.已知平面向量五=（L2）,方=（0,2）,c=(2,1),若@一江)〃在則;1=()

；

A.74B.74C.4D.2

4.2sinl0°?cos350+sm25°=()

A.立B.一直C.立D.一夜

2222

6.國慶節(jié)假期，甲、乙、丙去旅游的概率分別轉(zhuǎn)、入假定三人的行動相互之間

沒有影響，那么這段假期內(nèi)至多1人去旅游的概率為（）

A3

A-5c

-iD送

Si+?：+Sn

7.設(shè)數(shù)列｛冊｝的前71項和是Sn,令.=,稱〃為數(shù)列內(nèi),。2,…，斯的“超

越數(shù)”，已知數(shù)列的,a2,&504的“超越數(shù)”為2020,則數(shù)列5,%,a2,

&504的''超越數(shù)"為（）

A.2018B.2019C.2020D.2021

8.古希臘時期，人們把寬與長之比為年(亨。0.618)的矩形稱為黃金矩形，把這

個比值專1稱為黃金分割比例.如圖，矩形4BCD,EBCF,FGHC,FGJI,LGJK,

MN/K均為黃金矩形，若M與K間的距離超過1.6m,C與F間的距離小于12m,則4與

B間的距離可能是()

(參考數(shù)據(jù)：0.6182^0.382,0.6183?0.236,0.6184?0.146,0.618s?0.090,

0.6186?0.056,0.6187?0.034)

A.28mD.32.5m

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.下列命題為真命題的是()

A.“a>b”是“ac2>bc2n的必要不充分條件

B.“a>b"是‘d<?’的充要條件

ab

C."aePnQ”是“aeP”的充分不必要條件

D."x或y為有理數(shù)”是“xy為有理數(shù)”的既不充分又不必要條件

10.已知函數(shù)/(x)=Asin(a)x+@)(4>0,>0,0<<p<

兀)的部分圖圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象縱坐

標不變，橫坐標縮短到原來的：，再向右平移￡個單位

長度，得到函數(shù)g。)的圖象，則下列命題正確的是()

A.函數(shù)f(x)的解析式為/(x)=2sin(|x+^)

Zo

B.函數(shù)g(x)的解析式為g(x)=2s譏(2工一》

C.直線％=是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸

D.函數(shù)g(x)在區(qū)間［兀,須上單調(diào)遞增

11.若實數(shù)a<b,則下列不等式成立的是()

第2頁，共20頁

A.若Q>1,則logaGb>2

B.(|)6<(|)a<?￥

C.若Q>0,則工>里

1+a1+b

D.若m>a,be(1,3),則-%3)-7n(合一塊)+a-bW0

12.已知正方體4BCD-4iBiG"i的棱長為2,M為的中

點，N為正方形4BCD所在平面內(nèi)一動點，則下列命題正

確的有（）

A.若MN=2,則MN的中點的軌跡所圍成圖形的面積為

71

B.若N到直線BBi與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線

C.若/N與48所成的角為梟則N的軌跡為雙曲線

D.若MN與平面4BCD所成的角為a則N的軌跡為橢圓

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知e為自然數(shù)，則函數(shù)/■（》）=1+Znx-e的零點為.

14.某公司生產(chǎn)了一批小零件，其綜合質(zhì)量指標值X服從正態(tài)分布N（50,22）,現(xiàn)從中隨

機抽取該小零件2000個，估計綜合質(zhì)量指標值位于（48,54］的零件個數(shù)為.

附：若X?>0）,則PQt-a<X<fj.+u）^0.683,P（〃-2o<X<n+

2（T）X0.954.

15.如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器

和位于其焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛

應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點.圖2是

圖1的軸截面，A,B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，尸是拋物線的焦點，Z4FB是饋

源的方向角，記為。.焦點尸到頂點的距離/與口徑d的比值5為拋物面天線的焦徑比，

它直接影響天線的效率與信噪比等.如果某拋物面天線的焦徑比等于0.5,那么饋

源方向角。的正切值為.

圖1圖2

16.如圖所示，已知圓柱。［。2的軸截面A8CD是邊長為2魚的正

方形，球。在圓柱01。2內(nèi)，且與圓柱。1。2的上、下底面均

相切.則球。的表面積為；若P為圓柱下底面圓弧比

的中點，則平面P4B截球0所得截面的周長為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.等差數(shù)列｛an｝中，ci3=4,a5+a8=15.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)設(shè)7=即*2%,求數(shù)列｛%｝的前n項和

18.已知AaBC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足V5acosB=bsinA.

(I)求用B的大??；

(11)若如2=苧,求sin(2"B)的值;

第4頁，共20頁

(DI)若b=2,c=2a,求邊a的值.

19.中國射擊隊在東京奧運會上共奪得4金1銀6銅11枚獎牌的成績，創(chuàng)下了中國射擊隊

奧運參賽史上獎牌數(shù)最多的新紀錄.現(xiàn)從某射擊訓練基地隨機抽取了20名學員(男

女各10人)的射擊環(huán)數(shù)，數(shù)據(jù)如表所示:

男生897976101086

女生10986879788

若射擊環(huán)數(shù)大于或等于9環(huán)，則認為成績優(yōu)異；否則，認為成績不優(yōu)異.

(1)分別計算男生、女生射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差;

(2)完成2X2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“成績優(yōu)異”與性別有關(guān).

男生女生總計

成績優(yōu)異

成績不優(yōu)異

總計

n(ad-bc')2

參考公式和數(shù)據(jù)：K2=，n=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PQK2>k)0.100.050.010

k2.7063.8416.635

20.如圖，在四棱錐中P-ABCD,底面4BCD是等腰梯形，AB//CD,AC與BD交點、為0,

且P。1BD,PA=PB.

(1)證明：2。1平面48。。；

(2)若4C_LBD旦40=2OC=6,PO=3,則在線段PC上是否存在一點E,使得二

面角P-E的余弦值為鬻，若存在,求出點E的位置；若不存在，請說明理

由.

21.阿基米德(公元前287年一公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學家、物理學家,

也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率兀等于橢圓的長半

22

軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系中，橢圓C：a+左=l(a>b>0)的

面積等于2兀，且橢圓C的焦距為2g.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)點P(4,0)是x軸上的定點，直線I與橢圓C交于不同的兩點4、B,已知4關(guān)于y軸

的對稱點為8點關(guān)于原點的對稱點為N,已知P、"、N三點共線，試探究直線I

是否過定點.若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

第6頁，共20頁

22.已知函數(shù)/(%)=+b%—a,a>0.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)當b=-泄，求使f(x)>0在區(qū)間［0,+8)上恒成立的a的所有值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：集合4={%|-2<x<2},B={x\x<-1},

???QB={x\x>—1},

則4n(CRB)={x|-1<x<2}.

故選：C.

先求出QB={x\x>-1},再利用交集定義求出An(CRB).

本題考查集合的運算，考查補集、交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：???(a2-a-2)+(a+l)i是純虛數(shù),

???產(chǎn)-"2=o,=2.

la+1于0

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的概念，即可求解.

本題主要考查純虛數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意,向量五=(1,2),b=(0,2)，c=(2,l),

則五一4至=(1,2-22),

若(五一/1萬)〃乙則有2(2—24)=1,

解可得：八不

故選:B.

根據(jù)題意，求出方-;I方的坐標，進而可得2(2-24)=1,解可得答案.

本題考查向量平行的坐標表示，涉及向量的坐標，屬于基礎(chǔ)題.

第8頁，共20頁

4.【答案】A

【解析】解：因為2sinl0°-cos350+sin25°=2sinl00cos35°+sin(35°-10°)

=2sinl0cos35°+sin35°cosl0°—cos35°sinl00

=s譏35%osl0。+cos35°si"0。=s譏45°=多

故選：A.

把25。寫成35。-10。，然后利用正弦的差角公式以及正弦的和角公式化簡即可求解.

本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，考查了學生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：函數(shù)的定義域為{x|xH0},

/(-%)=[(-x)2-l]ln|-x\=(%2-l)ln|x|=/(x),則/(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對

稱，排除4

由/'。)=。，得％=±1，

當0<x<l時，ln|x|<0,x2-1<0,則/(x)>0,排除B,C,

故選：D.

判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用當0<x<1時，/(%)>0,進行判斷即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)奇偶性和對稱性，利用排除法是解決本

題的關(guān)鍵，是中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：國慶節(jié)假期，甲、乙、丙去旅游的概率分別%入

假定三人的行動相互之間沒有影響，

那么這段假期內(nèi)至多1人去旅游的概率為：

P=[X(1_；)X(1_1)+(1-1)x；X(1_》+(1-1)X(1_；)x|+(1-i)(l-

令H

故選：C.

利用相互獨立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出這段假期內(nèi)至多1人去

旅游的概率.

本題考查概率的運算，考查相互獨立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)

知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：???數(shù)列內(nèi),a2.......。5。4的“超越數(shù)”為2020,

S]+S2+…+S504=504X2020,

5+(5+S[)+(5+S2)+…(5+S504)_5x505+504x2020

則數(shù)列5,%,。2,Q504的“超越數(shù)”505—505

5+504x4=2021,

故選：D.

數(shù)列出,a2,Q504的“超越數(shù)”為2020,可得S1+S2+???+$504=504x2020,代

入數(shù)列5,%,。2,…，。5。4的“超越數(shù)”=5+（5+&）+（5：：；）+”（5+SS1即可得出結(jié)論.

本題考查了數(shù)列求和、新定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：設(shè)a?0.618,

?.?矩形ABC。，EBCF,FGHC,FGJI,LGJK,MN/K均為黃金矩形，

23456

\BC\=ax,\CF\=ax,\FG\=ax,\G]\=axf\JK\=ax,\KM\=ax,

由題意可知，上：X>解得28.571<x<31.414.

<12

故選：B.

根據(jù)已知條件，可得|BC|=QX,|CF|=小不，|FG|=a3%,\GJ\=a4%,\JK\=a5%,

\KM\=a6x,再結(jié)合題意可得，上;即可求解.

lazx<12

本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】ACD

【解析】解：對于4由ac2>bc2,可得到a>b,反之，不成立，故A正確;

對于B：由工<：,可得a>b>0或a<0<b,故B錯誤；

ab

第10頁，共20頁

對于C：若“aePnQ"，則“aep”，是充分條件，反之不成立，故C正確；

對于D：比如：x=1,y=V2,則xy=應(yīng)，充分性不成立，

反之，若xy=2,則x,y可能都是加，必要性不成立，

故"％或y為有理數(shù)”是“xy為有理數(shù)”的既不充分又不必要條件，故。正確；

故選：ACD.

根據(jù)充分必要條件的定義分別判斷即可.

本題考查了充分必要條件，考查不等式問題，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)函數(shù)的圖象，得到力=2,

由于g=n,所以3=j

42

當％=0時，/（0）=2sin（p,由于0<cp<7,

故0=7-

所以/（X）=2sin（；x+^）,

乙O

將函數(shù)/（X）的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的;，得到y(tǒng)=2sin（2x+》的圖象,

再向右平移!個單位長度，得到函數(shù)9。）=25譏（2萬-9的圖象，故B正確；

對于C：當X=g時，f（^）=2sin^=V3,故C錯誤；

對于C：由于X€［兀,真故2x-昔用力，故函數(shù)g（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故。

正確.

故選：ABD.

首先利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷4、

B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的圖

象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)

題.

11.【答案】AC

【解析】解：對于4???Q>1且QVb,

\ogaab=logaa+\ogab=1+logab>1+logaa=2,故A正確，

對于B,當a=-l時，(|)a>C)a，故B錯誤，

對于C,va<匕且Q>0,

...去一￡=一言撩產(chǎn)>0,即七〉三，故c正確，

1+a1+b(l+a)(l+b)1+a1+b

對于。，設(shè)g(x)=1x3—mx2+X,

則g'(X)=x2-2mx+1,4=4m2—4>0,

22

令9'(%)=0,解得=m—Vm—1,x2=m+Vm—1,

Vm>~3,

**%1<1,%2>3,

二函數(shù)g(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，

???9(a)-g(b)>0,

???(a3-63)-m(a2—h2)+a—b>0,故￡>錯誤.

故選：AC.

對于4結(jié)合對數(shù)函數(shù)的公式，即可求解，對于B,結(jié)合特殊值法，即可求解，對于C,

結(jié)合作差法，即可求解，對于。，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.

12.【答案】BC

第12頁，共20頁

在平面4BCD內(nèi)，點N到定點B的距離與到定直線DC的距離相等，

所以點N的軌跡就是以B為焦點，0C為準線的拋物線，故B正確；

對于C,如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)N(x,y,O),

印;=-2)，荏=(。,2,。)，360。=器=缶*,

y242

化簡得3y2一/=4,即F-

3

所以N的軌跡為雙曲線，故C正確；

對于D,MN與平面4BCD所成的角為4MND,所以4MND=g,

則=所以點N的軌跡為以。為圓心，出為半徑的:的圓周，故。錯誤.

334

故選：BC.

A,由題意可得MN中點的軌跡為以MD中點為圓心，更為半徑且平行于平面4BCD的;圓

24

周，計算可判斷選項A：

B,由BBi_L平面ABCD,可得N8即為N到直線BB1的距離，由拋物線的定義即可判斷選

項B；

C,建立空間直角坐標系，設(shè)N(x,y,O),由。iN與所成的角為可得點N的軌跡方程，

從而判斷選項C；

D,由MN與平面ABCD所成的角為NMND,計算可得DN為定值，可判斷點N的軌跡為以

。為圓心，CN為半徑的:的圓周，從而判斷選項D.

4

本題主要考查命題真假的判斷，立體幾何與解析幾何的綜合，抓住解析幾何幾種特殊曲

線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于難題.

13.【答案】1

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=ex+lnx-e,

若/'(x)-ex+Inx—e=0,解可得x=1,

即函數(shù)的零點為1,

故答案為：L

根據(jù)題意，解/。)=1+"》—6=0可得%的值，即可得答案.

本題考查函數(shù)零點的計算，涉及函數(shù)零點的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1637

【解析】解：:X服從正態(tài)分布N(50,22),故正態(tài)曲線的對稱軸為X=50,

???P(50-2<X<50+2)=P(48<XW52)=0.683,

P(50-4<X<50+4)=P(46<X<54)=0.954,

???P(48<X<54)=0.683+—：683=08185；

則綜合質(zhì)量指標值位于(48,54)的零件個數(shù)為0.8185x2000=1637個.

故答案為：1637.

利用正態(tài)分布的對稱性以及正態(tài)曲線的性質(zhì)求出P(48<X<54),然后利用樣本容量為

2000,求解即可.

本題考查了正態(tài)分布曲線的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握正態(tài)分布曲線的對稱性，考查了運

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】若

【解析】解：建立平面直角坐標系，如圖,

設(shè)拋物線方程：y2=2px(p>0),則/=今又5=0.5,所以d=p,

所以嗚/鳴一0

P

直線的斜率卜=另=所以tan?=：,

―—―323

28

zi2tan02x724

所以血加==^=強=一亍，

9

所以饋源方向角。的正切值一段.

第14頁，共20頁

故答案為：-g.

根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程，且d=「，求得A和B點坐標，因此即可求得BF的斜率，即

tan|=利用二倍角公式即可求得饋源方向角。的正切值.

本題考查拋物線的方程及性質(zhì)，拋物線的應(yīng)用，直線的斜率公式及二倍角公式的應(yīng)用,

主要考查學生的閱讀材料的能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

16.【答案】阮縉兀

【解析】解：如圖，設(shè)球的半徑為r,則A8=BC=2r=2VL

得r-V2)

所以球。的表面積為S=4兀/=4TTx2=8?r；

作OH102P于H,因為。1。2圓柱的底面，所以3。21AB,

因為P為圓柱底面圓弧CD的中點，所以AP=BP,

又。2為AB中點，所以02P_L4B,

又01。2nPO2=。2,

所以ZB1平面。1。2「，所以4BJ.OH,

又1no,

OHO2PS.ABPO2=2

所以O(shè)H1平面4BP,

因為。1。2=2r=2\/2,0]P=V2＞。1。2J-OXP,

所以02P=+Oip2=V8T2=V10.

所以sin"”2P=籍=磊=1，

所以。"=OOzSin/。102P=&x?=?.

Vr2-OH2=12_/=嚕

平面P4B與球。的交線為一個圓，其半徑七

則圓周長沏=2a2=2兀x字=字m

故答案沏8兀,坐.

設(shè)球的半徑為r,根據(jù)球與圓柱相切的位置關(guān)系進行求解即可.

本題主要考查球的表面積和周長的計算，根據(jù)球與圓柱相切的條件建立方程求出球的半

徑是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,Va3=4,a5+a8=15.

???%+2d=4,2QI4-lid=15,

解得出=2,d=1.

Aan=24-(n—1)=n4-1.

ann+1

(2)cn=anx2=(n+1)-2,

則7；=2-22+3-23+...+n-2n+(n+1)-2n+1,

3nn+1n+2

2Tn=2-2+...+(n-l)-2+n-2+(n+1)-2,

34n+1n+2n+2

-Tn=8+2+2+...+2-(n+1)-2=-n-2.

n+2

Tn=n-2.

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列｛%?｝的公差為d,由=4,+。8=15.可得的+2d=4,2al+

lid=15,解出即可得出.

(2)利用錯位相減法即可得出.

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了推理能力

與計算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)因為V^acosB=bsinA,

所以乃sin4cosB=sinBsinA1

因為s譏/1H0,

所以tanB=V3>

因為Be(0.7r),

所以8=最

(II)因為cosA=F，sinA=V1—cos2/l=?可得sin2A=2sinAcosA=cos2A=

2

2COSA—1=--9

.c、....2V141,5、vb2V14+5V3

所以sin(24—B)=sin2nAcosBD—cos2oAstnBD=—xxy=———.

(Ill)因為B=g,b=2,c=2a,

由余弦定理=a2+c2—laccosB,可得4=a2+c2-ac=a2+4a2-2a2=3a2,

解得a=2.

3

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【解析】(I)利用正弦定理化簡已知等式，結(jié)合sizMKO,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系

式可求tanB的值，結(jié)合范圍Be可求B的值.

(II)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求s譏4的值，利用二倍角公式可求sin24cos24的

值，進而根據(jù)兩角差的正弦公式即可求解.

(IE)由已知利用余弦定理即可求解a的值.

本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，兩角差的正弦公式，

余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，男生射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)為《=2x(8+9+7+

…+8+6)=8,

女生射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)為反=^x(10+9+8+…+8+8)=8,

男生射擊環(huán)數(shù)的方差為瑯=2x[(8-8/+(9—8)2+…+(6-8)2]=2,

女生射擊環(huán)數(shù)的方差為s2=2x[(10-8)2+(9-8/+…+(8-8)2]=

故男生射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)為8,方差為2,女生射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)為8,方差為去

(2)2X2列聯(lián)表如下：

男牛.女生總計

成績優(yōu)異437

成績不優(yōu)異6713

總計101020

.??=2黑蕊小0.2198<2.706,

二沒有90%的把握認為“成績優(yōu)異”與性別有關(guān).

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差公式，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合獨立性檢驗公式，即可求解.

本題主要考查平均數(shù)和方差公式，以及獨

立性檢驗公式，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】(1)證明：因為力BCD為等腰梯

形，所以4。=BO,

y

因為PA=PB,PO=PO,所以APOA三APOB,

所以乙POA=4POB,因為POJ.BD,所以P0J.4C,

又因為B￡)n4C=。，BD,力Cu平面A8CD,

所以P。_L平面4BCD.

(2)解：因為4CJ.8D,再由(1)知。4、OB、OP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐

標系，

則4(6,0,0),D(0,-3,0),C(-3,0,0),尸(0,0,3),

設(shè)平面P4。的法向量為記=(Xi，%,zj,AD=(-6,-3,0).AP=(—6,0,3)，

嚼u所以｛曹志u

因為工令％i=1,得yi=-2,Zi=2,

所以沅=(1,一2,2),

設(shè)點E(x,y,z),CE=AEP=(%+3,y,z)=A(—x,-y,3—z),

”X=---3-

，=/=存=(-舞。，券)，

解得

Z=--

、A+l

設(shè)平面/DE的法向量為元=(x2,y2,z2)f

L77)—nf2x+=°

因為『>一，所以，62A+93Ac=%2=九=-2九Z2=22+3=S=

加TE=0「百&+而Z2=°

(尢一2尢24+3),

若這樣的點E存在,

則焉=I3心+黑”+3尸B3M+4"2。=。n4=2,%=-額舍去),

所以存在符合題意的點E,E為線段PC上靠近點P的三等分點.

【解析】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，考查了二面角的計算問題，屬于中檔題.

(1)只須證明P。垂直于相交直線。4與OB即可；

(2)用向量數(shù)量積計算二面角的余弦值，列方程求解.

ab=2

21.【答案】解：(1)根據(jù)題意有卜c=2V3,

U2=a2-b2

解得Q=2,b=l,c=V3,

所以橢圓C的標準方程為9+y2=1.

(2)設(shè)直線I：x=my+t,A(x1,y1),5(x2,y2)?

則”(一孫乃),W(-x2,-y2)>

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x=my+t

22

由蘭2_］得(zu?+4)y+2mty+t-4=0,

4y-

，,2mt