3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.2函數(shù)的表示法【素養(yǎng)目標(biāo)】1．了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點．(數(shù)學(xué)抽象)2．嘗試作圖并從圖象上獲取有用的信息．(直觀想象)3．會用解析法及圖象法表示分段函數(shù)．(數(shù)學(xué)建模)4．掌握求函數(shù)解析式的常見方法．(數(shù)學(xué)運算)5．能根據(jù)給出的分段函數(shù)，研究有關(guān)性質(zhì)．(數(shù)據(jù)分析)【學(xué)法解讀】1．函數(shù)的三種表示方法體現(xiàn)了“式”“表”“圖”的不同形態(tài)，特別是“式”與“圖”的結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)注意把它們相互結(jié)合，特別要注意加強“式”與“圖”的相互轉(zhuǎn)化，學(xué)生應(yīng)從不同的側(cè)面認識函數(shù)的本質(zhì)．2．學(xué)習(xí)分段函數(shù)時，學(xué)生要注意結(jié)合實例體會概念，還要注意書寫的規(guī)范．第1課時函數(shù)的表示法表示法定義解析法用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，這種表示方法叫做解析法，這個數(shù)學(xué)表達式叫做函數(shù)的解析式圖象法圖象以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，對應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出各個點，這些點構(gòu)成了函數(shù)y＝f(x)的圖象，這種用________表示兩個變量之間對應(yīng)關(guān)系的方法叫做圖象法圖象列表法表格列一個兩行多列的表格，第一行是自變量的取值，第二行是對應(yīng)的函數(shù)值，這種列出________來表示兩個變量之間對應(yīng)關(guān)系的方法叫做列表法表格思考：三種表示法的優(yōu)缺點分別是什么？提示：表示法優(yōu)點缺點解析法簡明、全面地概括了變量之間的關(guān)系，且利用解析式可求任一自變量對應(yīng)的函數(shù)值不夠形象直觀，而且并不是所有函數(shù)都有解析式圖象法能形象直觀地表示變量的變化情況只能近似地求出自變量所對應(yīng)的函數(shù)值列表法不需計算可以直接看出與自變量對應(yīng)的函數(shù)值只能表示有限個數(shù)的自變量所對應(yīng)的函數(shù)值，則等于（）A.B.C.D.不確定答案：B解析：因為，所以.2.已知函數(shù)的圖象如圖，則的定義域是（）A.B.C.D.答案：C解析：由圖象，知，即.，函數(shù)的圖象是曲線，其中點，，的坐標(biāo)分別為，，，則的值等于.答案：解析：據(jù)圖象，知，所以.函數(shù)，分別由下表給出：則的值為；當(dāng)時，.答案：解析：由對應(yīng)表，知，所以.由對應(yīng)表，得，所以.由對應(yīng)表，得當(dāng)時，，又，所以.又由對應(yīng)表，得時，.所以.題型一列表法表示函數(shù)例1某商場新進了臺彩電，每臺售價元，試求售出臺數(shù)與收款數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.[分析]函數(shù)的定義域是，值域是與關(guān)系的解析式，注意定義域.[解析]（1）列表法：（2）圖象法：如圖所示：（3）解析法：，.[歸納提升]列表法、圖象法和解析法是從三個不同的角度刻畫自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，同一個函數(shù)可以用不同的方法表示．在應(yīng)用三種方法表示函數(shù)時要注意：(1)解析法：必須注明函數(shù)的定義域．(2)列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征．(3)圖象法：是否連線．【對點練習(xí)】①某種筆記本的單價是元，買個筆記本需要元，試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù).[解析]這個函數(shù)的定義域是數(shù)集.用解析法可將函數(shù)表示為，.用列表法可將函數(shù)表示為用圖象發(fā)可將函數(shù)表示為如圖.題型二與函數(shù)圖象有關(guān)的問題例2作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域.（1），；（2），；（3），.[分析]（1）畫函數(shù)的圖象時首先要注意的是什么？（2）所給三個函數(shù)的大致圖象分別是什么形式的？[解析]（1）列表：當(dāng)時，圖象是直線的一部分，觀察圖象可知，其值域為.（2）列表當(dāng)，圖象是反比例函數(shù)的一部分，觀察圖象可知其值域為.（3）列表畫圖象，圖象是拋物線在之間的部分.由圖可得函數(shù)的值域是.[歸納提升]（1）常見函數(shù)圖象的特征：①一次函數(shù)是一條直線；②是與坐標(biāo)軸無限接近的雙曲線；③是頂點為，對稱軸為的拋物線.(2)作函數(shù)圖象時應(yīng)注意以下幾點：①在定義域內(nèi)作圖；②圖象是實線或?qū)嶞c，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象；③要標(biāo)出某些關(guān)鍵點，例如圖象的頂點、端點與坐標(biāo)軸的交點等．要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點．【對點練習(xí)】作出下列函數(shù)的圖象，并指出其值域.（1）；（2），且.[解析]（1）用描點法可以作出函數(shù)的圖象如圖①.由圖可知的值域為.（2）用描點法可以作出函數(shù)的圖形如圖②.由圖可知，且的值域為.題型三求函數(shù)解析式角度1待定系數(shù)法求解析式例3（1）（2020·湖北部分重點中學(xué)高一聯(lián)考）已知一次函數(shù)滿足，則的解析式為__.（2）已知二次函數(shù)滿足，，，則該二次函數(shù)的解析式為.【分析】已知函數(shù)類型分別為一次函數(shù)和二次函數(shù)，設(shè)出函數(shù)解析式求出參數(shù)即可.【解析】（1）設(shè)，則，于是有，解得或，所以或.（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，由題意得，解得，故.角度2換元法（或配湊法）求解析式例4（1）（2020·廣東六校教研協(xié)作體高一聯(lián)考）已知，則的解析式為.（2）（2020·湖北天門高聯(lián)考）已知函數(shù)，則的解析式為.【分析】已知求有兩種思路：一是將視為一個整體，應(yīng)用數(shù)學(xué)的整體化思想，換元求解；二是將函數(shù)解析式的右端湊成含的形式.【解析】（1）方法一（換元法）令，則，。所以，所以函數(shù)的解析式為.方法二(配湊法).因為，所以函數(shù)的解析式為.（2）方法一（換元法）兩條，則，，所以，即.方法二(配湊法)因為，所以，即.【歸納提升】函數(shù)解析式的求法（1）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)），可用待定系數(shù)法.（2）換元法：已知復(fù)合函數(shù)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.（3）解方程組法：已知與或）之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出.角度3方程組法求函數(shù)解析式例5（1）（2020·江西九校高一聯(lián)考）已知函數(shù)滿足，則函數(shù)的解析式為_.（2）（2018·武漢四校高一聯(lián)考）已知，其中，則函數(shù)的解析式為.【分析】（1）求函數(shù)的解析式，由已知條件知，必修消去，不難想到再尋找一個方程，構(gòu)成方程組，消去得.（2）類似于（1）的思路，利用與的關(guān)系，再列一個方程，通過方程組求解.【解析】（1）在已知等式中，將換成，的，與已知方程聯(lián)立，的，消去，的.（2）在原式中用替換，的，于是得，消去，得.故的解析式為，.[歸納提升]函數(shù)解析式的求法（1）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)），可用待定系數(shù)法.（2）換元法：已知復(fù)合函數(shù)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.（3）解方程組法：已知與或之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)