第二章一元二次方程2.1用配方法求解一元二次方程第1課時

2.在上一節(jié)的問題中，梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程x2＋12x－15＝0，你能求出距離x(m)的精確解嗎？你認為解這個方程的困難在哪里？10m8m1mxm實踐探究探究1:用直接開平方法解一元二次方程填上適當?shù)臄?shù)，使下列等式成立．x2＋12x＋____＝(x＋6)2；x2－6x＋____＝(x－3)2；x2＋8x＋____＝(x＋____)2；x2－4x＋____＝(x－____)2.36916442問題：上面等式的左邊常數(shù)項和一次項系數(shù)有什么關(guān)系？解下列方程：(1)x2－16＝0；(2)3x2－27＝0；(3)(2y－3)2＝16.解：(1)x＝±4；(2)兩邊同除以3得：x2＝9，x＝±3；(3)根據(jù)平方根定義得2y－3＝±4，所以y1＝

，y2＝

．

一般步驟：(以解方程x2－2x－3＝0為例)1．移項：將常數(shù)項移到右邊，得：_____________；2．配方：兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，得：_____________________，再將左邊化為完全平方形式，得：______________；x2－2x＝3x2－2x＋12＝3＋12(x－1)2＝4探究2:用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程3．開平方：當方程右邊為正數(shù)時，兩邊開________，得：x－1＝±2(注意：當方程右邊為負數(shù)時，則原方程無解)；4．化為一元一次方程：將原方程化為兩個一元一次方程，得：x－1＝2或____________；5．解一元一次方程，寫出原方程的解：x1＝____，x2＝_____．平方x－1＝－23－1歸納總結(jié)

通過配成完全平方式的方法，將一元二次方程轉(zhuǎn)化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，進而得到一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法．

解題步驟：一移項，二配方，三求解．解方程：x2＋12x－15＝0.把常數(shù)項移到方程的右邊，得x2＋12x＝15.兩邊都加62，得x2＋12x＋62＝15＋62，

即(x＋6)2＝51，兩邊開平方，得x＋6＝±，即

x＋6＝

或

x＋6＝－

.∴x1＝

－6，x2＝－

－6．

練一練在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.注意是在二次項系數(shù)為1的前提下進行的.方程配方的方法應(yīng)用舉例例1解方程：x2+8x-9=0

解：可以把常數(shù)項移到方程的右邊,得x2+8x=9,兩邊都加42（一次項系數(shù)8的一半的平方）,得

x2+8x+42=9+42,即 （x+4）2=25.兩邊開平方,得x+4=±5,即x+4=5或

x+4=-5.所以 x1=1,

x2=-9.解下列方程：x2+3x=1解：兩邊都加()2，得x2+3x+()2=1+()2

．即(x+)2=．兩邊開平方，得例21．方程4x2＝16的解是

(

)A．x1＝4，x2＝－4

B．x＝4C．x＝－4D．x1＝2，x2＝－22．用配方法解方程x2－2x－1＝0時，配方后得的方程為(

)A．(x＋1)2＝0

B．(x－1)2＝0

C．(x＋1)2＝2

D．(x－1)2＝2D隨堂練習D3．把多項式配成完全平方式．(1)x2＋10x＋_____＝(x＋_____)2；(2)x2＋5x＋_____＝(x＋_____)2；(3)x2_____x＋9＝(x±3)2.255±6

4．解方程：(1)x2＋6x＝－7；解：兩邊都加32，得x2＋6x＋32＝－7＋32，即(x＋3)2＝2.兩邊開平方，得x＋3＝±，即x＋3＝

，或x＋3＝－

.∴x1＝

－3，x2＝－

－3；

4．解方程：(2)x2＋2x＝4.解：兩邊都加()2，得x2＋2x＋(

)2＝4＋(

)2，即(x＋

)2＝6.兩邊開平方，得x＋

＝±

，即x＋

＝

，或x＋

＝－

.∴x1＝

－

，x2＝－

－

.

5.游行隊伍有8行12列，后又增加了69人，使得隊伍增加的行、列數(shù)相同，你知道增加了多少行或多少列嗎？解：設(shè)增加x行．(8＋x)(12＋x)－8×12＝69．x2＋20x－69＝0．(x＋23)(x－3)＝0．x1＝－23(舍去)，x2＝3．所以，增加了3行或3列．用配方法解一元二次方程直接開平方法：基本思路：解二次項系數(shù)為1的一元二次方程步驟形如（x+m）2=n(n≥0)將方程轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n

(n≥0)的形式，再用直接開平方法，直接求根.1.移項3.直接開平方求解2.配方課堂小結(jié)與作業(yè)第二章一元二次方程2.1用配方法求解一元二次方程第2課時

情景導入1．復習提問：用配方法解一元二次方程(二次項系數(shù)為1)的步驟是什么？2．比較下列兩個一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別．①

x2＋6x＋8＝0；②

3x2＋18x＋24＝0.探討：方程②應(yīng)如何去解呢？一移項、二配方、三求解．探究：用配方法解一元二次方程的步驟解方程：3x2+8x-3=0.

解：兩邊同除以3,得

x2+

x-

1=0.配方,得

x2+x+()2-(

)2-1=0,

(x+)2-

=0.

實踐探究移項,得x+=±

,即x+=

或x+=

－.所以x1=,

x2=

－3.

歸納總結(jié)用配方法解一元二次方程的一般步驟大致概括如下：(1)化二次項系數(shù)為1；(2)移項：使方程的左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；(3)配方：方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，使原方程變?yōu)?x＋m)2＝n(n≥0)的形式；(4)開平方；(5)解：方程的解為x＝－m±.

完成下面的填空：用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程的一般步驟是：(以解方程2x2－6x＋1＝0為例)練一練①系數(shù)化1：把二次項_____化為1，得______________；②移項：將常數(shù)項移到右邊，得x2－3x＝

；系數(shù)③配方：兩邊同時加上________________________，得：

．再將左邊化為完全平方形式，得：__________；④開平方：當方程右邊為正數(shù)時，兩邊開_____，得：(注意：當方程右邊為負數(shù)時，則原方程無解)；⑤解一次方程：得x＝

，∴x1＝

，x2＝______．一次項系數(shù)的一半的平方平方一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p.①當p>0時,則

,方程的兩個根為②當p=0時,則(x+n)2=0,x+n=0,開平方得方程的兩個根為

x1=x2=-n.③當p<0時,則方程(x+n)2=p無實數(shù)根.應(yīng)用舉例例1解方程3x2+8x–3=0解：方程兩邊都除以3，得移項，得配方，得兩邊開平方，得所以

如圖，一塊矩形土地，長是48m，寬是24m，現(xiàn)要在它的中央劃一塊矩形草地(空白部分)，四周鋪上花磚路，路面寬都相等，草地面積占矩形土地面積的

，求花磚路面的寬．例2【方法指導】若設(shè)花磚路面寬為xm，則草地的長與寬分別為(48－2x)m及(24－2x)m，根據(jù)等量關(guān)系：矩形草地的面積＝×矩形土地的面積，即可列一元二次方程求解．

解：設(shè)花磚路面的寬為xm.根據(jù)題意，得(48－2x)(24－2x)＝×48×24.整理，得x2－36x＝－128.配方，得x2－36x＋(－18)2＝－128＋(－18)2，即(x－18)2＝196.兩邊開平方，得x－18＝±14.即x－18＝14，或x－18＝－14.所以x1＝32(不合題意，舍去)，x2＝4.故花磚路面的寬為4m.

例3試用配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因為（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.若a,b,c為△ABC的三邊長，且

試判斷△ABC的形狀.解：對原式配方，得由代數(shù)式的性質(zhì)可知所以，△ABC為直角三角形.例4隨堂練習1．方程3x2－1＝2x的兩個根是_______________．2．方程2x2－4x＋8＝0的解是____________．無實數(shù)解3．用配方法解方程：(1)－

x2＋

x－

＝0；

(2)3x2＝5－6x.解：(1)x1＝

，x2＝

；

(2)x1＝

－1，x2＝－

－1.

4．已知a2－3a＋b2－

＋